数学人教A版（2019）必修第二册8.3简单几何体的表面积与体积 课件（共37张ppt）

(共37张PPT)
第八章
立体几何初步
8.3　简单几何体的表面积与体积
1. 阅读课本，了解多面体的表面积的概念：
棱柱、棱锥、棱台的表面积的概念
【解析】 多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
思考1
棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的侧面展开图是什么？如何计算它们的表面积？
【解析】 棱柱的侧面展开图是几个平行四边形，棱锥的侧面展开图是几个三角形，棱台的侧面展开图是几个梯形．它们的表面积是上、下底面面积与侧面展开图的面积的和．
例1　如图，四面体P－ABC的各棱长均为a，求它的表面积．
棱柱、棱锥、棱台的表面积的计算
【解析】 因为△PBC是正三角形，其边长为a，
如图，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，则制造这个滚筒需要________m2铁板．(精确到0.1 m2)
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【答案】 5.6
2. 了解棱柱、棱锥、棱台的体积
(1) 我们以前已经学习了特殊的棱柱——正方体、长方体的体积公式，它们分别是
V正方体＝a3(a是正方体的棱长)，
V长方体＝abc(a，b，c分别是长方体的长、宽、高)．
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h，那么这个棱柱的体积V棱柱＝Sh.
棱柱、棱锥、棱台体积的概念
(3) 由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
其中S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高．
注意：棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向另一个底面作垂线，这点与垂足(垂线与底面的交点)之间的距离．
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离．
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离．
思考2
例2　如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是 0.5 m，公共面ABCD是边长为1 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米(精确到0.01 m3)
棱柱、棱锥、棱台体积的计算
1. 常见的求几何体体积的方法：
①公式法：直接代入公式求解；②等积法：如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可；③分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积．
2. 求几何体体积时需注意的问题：
柱、锥、台的体积的计算，一般要找出相应的底面和高，要充分利用截面、轴截面，求出所需要的量，最后代入公式计算．
如图，正方体ABCD－A1B1C1D1 的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1 的体积为________.
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思考3
圆柱OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
圆柱、圆锥、圆台的表面积
【解析】 S圆柱侧＝2πrl，
S圆柱表＝2πr(r＋l)．
思考4
圆锥SO及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
【解析】 S圆锥侧＝πrl，
S圆锥表＝πr(r＋l)．
思考5
圆台OO′及其侧面展开图如图所示，则其侧面积为多少？表面积为多少？
【解析】 S圆台侧＝ ，S圆台表＝ ．
名称 图形 表面积公式
旋转体 圆柱 S圆柱＝2πr(r＋l)
圆锥 S圆锥＝πr(r＋l)
名称 图形 表面积公式
旋转体 圆台 S圆台＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)
思考6
圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？
例3　若一个圆锥的轴截面是边长为4 cm 的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为________cm2，表面积为________cm2.
【解析】 如图，因为圆锥的轴截面是边长为4 cm的等边三角形，所以OB＝2 cm，PB＝4 cm，所以圆锥的侧面积S侧＝π×2×4＝8π(cm2)，表面积S表＝8π＋π×22＝12π(cm2)．
【答案】 8π　12π
圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)
A. 81π　 B. 100π C. 168π D. 169π
【答案】 C
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1. 圆柱、圆锥、圆台的体积
我们以前学习过圆柱、圆锥的体积公式，即
由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式
圆柱、圆锥、圆台的体积
思考7
圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式，你能将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？柱体、锥体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？
V柱体＝Sh(S为底面积，h为柱体高)；
当S′＝S时，台体变为柱体，台体的体积公式也就是柱体的体积公式；当S′＝0时，台体变为锥体，台体的体积公式也就是锥体的体积公式．
V圆柱＝π×52×10≈785(mm3)，
所以V螺帽＝3 741－785＝2 956(mm3)＝2.956(cm3)，
故这堆毛坯约有260个．
例4　有一堆相同规格的六角螺帽毛坯共重6kg.已 知毛坯底面正六边形的边长是12mm，高是10mm，内 孔直径是10mm.那么这堆毛坯约有多少个？(铁的密度 是7.8g/cm3)
用一张长 12 cm，宽 8 cm 的矩形纸片围成圆柱形的侧面，求这个圆柱的体积．
【解析】 设圆柱的底面半径为R.
当圆柱的高为8cm时，则2πR＝12，
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2. 球的表面积公式：S＝4πR2(R为球的半径)．
例5　如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球 的直径是0.3 m，圆柱高0.6 m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每 平方米需要0.5 kg涂料，那么给1 000个这样的浮标涂防水漆需要多 少涂料？(π取3.14)
球的表面积和体积
【解析】 一个浮标的表面积为2π×0.15×0.6＋4π×0.152＝0.847 8(m2)，
所以给1 000个这样的浮标涂防水漆约需涂料
0.847 8×0.5×1 000＝423.9(kg)．
思考8
在小学，我们学习了圆的面积公式，你记得是如何求得的吗？类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积吗？
【解析】 类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积．如图，把球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”．
3. 球体截面的特点：
球既是中心对称的几何体，又是轴对称的几何体，它的任何截面均为圆．
例6　如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比．
【解析】 设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为2R.
利用球的表面积与体积公式去计算．
平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　 )
【答案】 B
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拓展：
1. 正方体的内切球．
图1
2. 球与正方体的各条棱相切．
图2
3. 长方体的外接球．
图3
4. 正方体的外接球．
当多面体与球组成组合体后，一定要分清是内切还是外接，然后可以画出几何体的截面图，有利于一些长度的计算.