数学人教A版（2019）必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件（共35张ppt）

(共35张PPT)
人教版必修第二册A版
8.3.2《 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 》
（ 3 课 时 ）
教学目标
学习目标：1.理解与掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式.（直观想象、数学运算）
2.能灵活地圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式解决简单的实际问题.（直观想象、数学运算）
教学重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式及其实际应用.
教学难点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式的实际应用.
一
复习导入——棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（导学）
（一）多面体的表面积
由刷漆原理可知：
1.多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
（二）棱柱、棱锥、棱台的体积
1.由堆积原理可知： ；
2.由灌注原理可知：
3.由截去原理可知：
其中与分别为棱台的上、下底面面积，为棱台的高.
一
（三）问题
那么对于圆柱、圆锥、圆台、球等旋转体，它们的表面积和体积又该如何计算呢？
相信各位同学通过今天的学习，将能回答这一问题.
复习导入——棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积（导学）
母
线
母
线
母
线
二
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
（一）探究1：各位同学，如果你是一名刷漆工人，面对如下的圆柱，要求用不同的颜色给它的每个面都涂上颜料，你将刷几个面？由刷漆工作，你能从中体会到求解圆柱侧面积与表面积的方法吗？
分析：
由上圆柱的展开图可知刷漆工将刷1个矩形侧面(这个侧面展开图矩形的长为底面圆周长, 宽为母线长 )，以及2个圆形底面.
∴ ,
注：其中 为底面圆半径， 为母线长.
二
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
如图，一般地，设圆柱的底面圆半径为 ，母线长为，则它的侧面积和表面积分别为
（二）圆柱的侧面积和表面积
例如 已知一圆柱的底面圆半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积与表面积分别为
二
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
（三）探究2：各位同学，如果你是一名刷漆工人，面对如下的圆锥，要求用不同的颜色给它的每个面都涂上颜料，你将刷几个面？由刷漆工作，你能从中体会到求解圆锥侧面积与表面积的方法吗？
分析：
由上圆锥的展开图可知刷漆工将刷1个扇形侧面(这个侧面展开图扇形的弧长为底面圆周长, 半径为母线长 )，以及1个圆形底面.
∴ ,
注：其中 为底面圆半径， 为母线长.
二
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
如图，一般地，设圆锥的底面圆半径为 ，母线长为，则它的侧面积和表面积分别为
,
（四）圆锥的侧面积与表面积
例如 已知一圆锥的底面圆半径为，母线长为，则这个圆柱的侧面积与表面积分别为
二
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
（五）探究3：各位同学，如果你是一名刷漆工人，面对如下的圆台，要求用不同的颜色给它的每个面都涂上颜料，你将刷几个面？由刷漆工作，你能从中体会到求解圆台侧面积与表面积的方法吗？
分析：
由上圆台的展开图可知刷漆工将刷1个圆环侧面(这个侧面展开图圆环的内弧长为上底面圆周长,外弧长为下底面周长 )，以及2个圆形底面.
∴ ,
注：其中 为上、下底面圆半径， 为母线长.
二
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
如图，一般地，设圆台的上、下底面圆半径分别为，母线长为 ，则它的侧面积和表面积分别为
∴
,
（六）圆锥的侧面积与表面积
例如 已知一圆台的上下底面圆半径分别为, 母线长为，则这个圆台的侧面积和表面积分别为
（七）圆柱、圆锥、圆台的表面积之间的关系
二
1、思考：观察圆柱、圆锥、圆台的表面积公式
，
它们之间有什么关系 你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗
2、圆柱、圆锥、圆台的表面积之间的关系
（1）当 时，圆台变为圆柱，圆台的表面积公式也就是圆柱的体积公式;
（2）当 时，圆台变为圆锥，圆台的表面积公式也就是圆锥的体积公式.
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
二
小结
由刷漆原理可知：
(1)旋转体的表面积就是围成旋转体各个面的面积的和.
(2)圆柱、圆锥、圆台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
温馨提示：
解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：
(1)得到空间几何体的平面展开； (2)依次求出各个平面图形的面积；
(3)将各平面图形的面积相加.
探究新知1—— 圆柱、圆锥、圆台的表面积（互学）
三
小组合作、讨论交流1(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
方法提示：这两道题考察了圆锥、圆台的表面积公式及其应用.
例1已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径．
例2 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，求圆台较小底面的半径.
四
成果展示1(迁移变通)
解：设圆锥的底面半径为,底面直径为,圆锥的母线长为,
∵已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，
∴满足，即 , 解得
又∵已知
∴满足 , 即
解得 , 故这个圆锥的底面直径为
例1已知圆锥的表面积为 ，且它的侧面展开图是一个半圆，
求这个圆锥的底面直径．
四
成果展示1(迁移变通)
解：设圆台的上、下底面圆半径分别为，母线长为 ，
∵已知
∴满足，解得 ,
又∵已知母线 ，
∴满足，
即
，解得 ,
故这个圆台较小底面的半径为
例2 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，
求圆台较小底面的半径.
如图，已知一位买早点的师傅在用一个圆形厨具烙面饼，烙好的第一个面饼可以看做一个圆面，那么如果把10个烙好的面饼（这些面饼都是全等的圆面）堆积在一起，会形成一个什么样的旋转体？受这一生活场景的启发，我们是否能从中得出圆柱的体积公式？
（一）探究1
五
探究新知2——圆柱、圆锥、圆台的体积（互学）
分析：1.把10个烙好的面饼（这些面饼都是全等的圆面）堆积在一起，会形成一个圆柱；
2.受这一生活场景的启发，如果把第一个面饼看作圆柱的底面圆面积，面饼的个数看作圆柱的高，那么
由堆积原理可知：
一般地，如果圆柱的底面圆半径是，高是，那么这个圆柱的体积为
（二）圆柱的体积
五
探究新知2——棱柱、棱锥、棱台的体积（互学）
简述为：“ 圆柱的体积等于它底面圆面积与高的乘积 ”
例如 已知一圆柱的底面圆半径为，高为，则这个圆柱的体积为
（三）探究2
仔细观察下面的实验视频，你能从中发现等底等高的圆柱与圆锥的体积有什么关系吗？
五
探究新知2——棱柱、棱锥、棱台的体积（互学）
分析：由灌注实验可以看出
（1）等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍；
（2）反之，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的 .
由灌注原理可知：
一般地，如果圆锥的底面圆半径是，高是，那么这个圆锥的体积为
（四）圆锥的体积
五
探究新知2——棱柱、棱锥、棱台的体积（互学）
简述为：“ 圆锥的体积等于与它等底等高圆柱体积的 ”
例如 已知一圆锥的底面圆半径为，高为，则这个圆柱的体积为
如下图所示，由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式，大家能根据这一原理推导出棱台的体积公式吗？
（五）探究3
五
探究新知2——棱柱、棱锥、棱台的体积（互学）
推导：如图，设圆锥与的高分别为与，底面积分别为与,截面与底面之间的距离（即圆台的高）为 ,则有
即 ①
又∵ 圆锥 圆锥
∴ , 即 （注：相似图形的面积比等于相似比的平方）
∴ , 即
整理得 ② , 将②代入①可得
由截去原理可知：
一般地，圆台的体积公式为
其中与分别为圆台的上、下底面圆面积，为圆台的高，与分别为上、下底面圆半径.
（六）圆台的体积
五
探究新知2——棱柱、棱锥、棱台的体积（互学）
简述为：“ 圆台的体积等于上下底面圆的面积与它们的几何平均数之和，再乘以圆台高的乘积的 ”
例如 已知一圆台的上下底面圆半径分别为, 高为，则这个圆台的体积为
（七）圆柱、圆锥、圆台的体积之间的关系
五
探究新知2——棱柱、棱锥、棱台的体积（互学）
1、思考：观察圆柱、圆锥、圆台的体积公式
， ，
它们之间有什么关系 你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗
2、圆柱、圆锥、圆台的体积之间的关系
（1）当 时，圆台变为圆柱，圆台的体积公式也就是圆柱的体积公式;
（2）当 时，圆台变为圆锥，圆台的体积公式也就是圆锥的体积公式.
六
小组合作、讨论交流2(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
方法提示：这两道题考察了圆柱、圆锥、圆台的体积公式及其实际运用.
例3 已知某圆柱高为，底面周长为，求圆柱的体积.
例4 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，求圆锥的体积.
例5 已知圆台的上、下底面半径分别为 和 ，它的高为 6 ，求圆台的体积.
七
成果展示2(迁移变通、检测实践)
解：设圆柱的底面圆半径为
∵ 已知
∴ 满足 ,
解得
又∵已知
∴
答：这个圆柱的体积为
例3 已知某圆柱高为，底面周长为，求圆柱的体积.
七
成果展示2(迁移变通、检测实践)
例4 已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，侧面积是，求圆锥的体积.
解：作圆锥的轴截面，如图所示
∵ 已知轴截面是等腰直角三角形
∴ 在中，, 且
设圆锥的底面圆半径是，高是
则
又∵已知
∴ , 即
解得 ，∴
∴
七
成果展示2(迁移变通、检测实践)
解：设圆台的高为，上、下底面圆半径分别为与，则
答：这个圆台的体积为
例5 已知圆台的上、下底面半径分别为 和 ，它的高为 6 ，求圆台的体积.
八
探究新知3——球的表面积和体积（互学）
一般地，设球的半径为,那么它的表面积为
（一）球的表面积公式
简述为：“ 球体的表面积等于赤道圆（经过球心的截面圆叫赤道圆）面积的4倍 ”
例如 已知一球体的半径为，则这个球体的表面积为
八
探究新知3——球的表面积和体积（互学）
在小学，我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗 类比这种方法，你能由球的表面积公式推导出球的体积公式吗
（二）探究
分析： 类比利用圆周长求圆面积的方法，我们可以利用球的表面积求球的体积.
如图8.3-5.把球的表面分成个小网格，连接球心和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成个“小锥体”.
当越大，每个小网格越小时，每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥，其高越近似于球半径.设是其中一个“小锥体”，它的体积
由于球的体积就是这个“小锥体”的体积之和，而这”个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此，球的体积
由此，我们得到球的体积公式
八
探究新知3——球的表面积和体积（互学）
（三）球的体积
一般地，设球的半径为,那么它的体积为
注：球的表面积公式与体积公式的关系为
例如 已知一球体的半径为，则这个球体的体积为
九
小组合作、讨论交流3(自学)
各位同学，请大家每4个人组成一组，分别交流讨论后，解决下列问题：
方法提示：这两道题考察了圆柱、球的表面积、体积公式及其实际运用.
例6 如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是，圆柱高.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料，那么给100个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (取3.14)
例7 如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
十
成果展示3(迁移变通、检测实践)
解：由题意可知一个浮标的表面由1个球面和1个圆柱体的侧面组成
∴
∴给100个这样的浮标涂防水漆约需要涂料
例6 如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是，圆柱高.如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要涂料，那么给100个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料 (取3.14)
十
成果展示3(迁移变通、检测实践)
例7 如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，
求球与圆柱的体积之比.
解：设球的半径为,
则圆柱的底面半径为，高为
∵ ,
∴ :
课堂小结
十一
本节课我们学习了哪些内容？
1.理解与掌握了棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式.（直观想象、数学运算）
2.能灵活地运用棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积公式解决简单的实际问题.（数学运算）
十二
学生自评
请小老师组对所负责组员的课堂表现进行评价
十三
家庭作业
1.整理导学案中本节课知识点并记背；
2.完成导学案上相关题型.