“度量”概念的教学设计——以《角的度量》为例精品课程教学设计与反思

“未来课堂”下“度量”概念的教学设计
——以《角的度量》为例
一、教学内容：人教版四年级上册第三单元第二课时《角的度量》。
二、新旧教材分析：
新旧人教版版本关于“角的度量”教学内容的编排：
图 1-2（2014 年版教材）
图 3-4（2001 年版教材）
新旧版本的人教版关于“角的度量”教学内容的编排，主要有以下方面发生较大变化。
第一，引入情境的创设。旧教材直接介绍量角器不突出角度量单位产生的必要性，新教
材采用数学情景引入，比较两个角的大小中突出间接比较大小的活动经验，然后引出“要准
确测量一个角的大小，应该用一个合适的角作单位来量。”
第二，新旧版本的教材呈现度量单位 1°和量角器的顺序相反。新教材先认识 1°角，
再认识量角器更符合学生的认知过程。
第三，量角器使用方法的呈现。旧教材中对于量角的方法，并没有用文字给出相应的步
骤或说明。新教材则让学生先用量角器尝试测量，并以示意图的形式展示量角器正确摆法，
还用文字填空形式分步骤解释测量的方法。
可见，新教材的逻辑脉络更加清晰，更注重经历度量实践的基础上形成度量概念。此外，
“量感”是数学核心素养之一，史宁中教授认为核心素养中加入这个词是为了强调度量。基
于以上分析，“未来课堂”背景的教学中，为帮助学生形成正确的量感，在“度量”的学习中
经历必要的实践和学习方法，为后续学习能更顺利迁移度量经验，教师要重视度量单位的教
学价值，在度量过程和度量单位产生的过程让学生深度交流与探究，并在教学过程中渗透正
确量角的方法。
三、学情分析：
四年级学生在学习角的度量之前已有了一定的基础，但是百分之九十的学生还没形成对
角大小的正确认识。二年级已经初步认识了直角、锐角和钝角，知道角的各部分名称，并能
运用三角板的直角判断这些角。此外，学生还有丰富的测量经验，他们已会用直尺测量长度、
小面积测量大面积，用钟表测量时间、用秤测量质量等。
据调研，在度量教学前测时，面对用来自三角板上同一个角画出的 4 个角，这 4 个角
的长短和朝向各自不同时，只有百分之十的学生发现这些角是一样大的。学生目光中似乎有
一条无形的线把角给封闭了，有的认为看起来大角就大，有的认为角的边较长的角较大，有
的认为看起来胖的角较大，有的认为“面积”大的角较大等。由于角的大小与角的定义是脱
节的，角的大小的理解不在学生的最近发展区中，因此学生在二年级学习后还不能正确理解
“角的大小”。
为此，角的大小概念不明，角就无法比大小和度量。未来课堂教学中，“角的度量”的
教学环节必须充分暴露学生各种层次的已有经验，借助工具（标准）帮助学生理智认识角的
大小，借助工具进行直接比较和间接比较的过程中感悟角的度量单位产生的必要性。
四、基于 SOLO分类理论制定的学习目标
香港大学教育心理学教学约翰·比格斯首创的一种学生学业评价方法，有着成熟的评测
框架。它是以等级描述为特征的质性评价方法，能对学生的理解程度进行具体、清晰的层级
划分，使得每个学生的理解水平变得可见、可评价，是评价学生理解能力的一种好方法。图
5 依据 SOLO理论思维层级和学生认识水平把本课具体知识目标划分为四个层次，并用列表
的形式把对应的教学环节分析学生的学习路径：
图 5
教学重点：
正确认识角的大小，经历借助（非标准角）工具比较角的大小过程，感悟角的度量单位
产生的必要性。
教学难点：
借助工具（非标准角）合理表示度量单位，能用度量单位精准度量和表示角的大小，正
确建立角度的量感。
五、 基于思维层级分析的“五构法”教学设计
一、散构：头脑风暴，激活经验
(课件：动态出示 4 个角)
师：这 4 位“老朋友”你都认识吗？你知道角的哪些知识？
预设：
生 1：介绍角的各部分名称
生 2：这是一个钝角，还知道直角、锐角。
生 3：角都是尖尖的
生 4：知道角的大小与角的两边长短没有关系，与两边张开的大小有关系。
（对于提到角的大小的学生，让学生指一指，说一说角的大小在哪里，并用活动角表示角的
大小变化）
【设计意图：“散构”过程激活学生已有经验，在回顾中充分暴露
学生对角的认识。以“4 个不同的角比大小”的数学问题引入，其中
两个角一眼就能比出大小，而剩余两位角是无法直接确定的，明确指
向要研究的问题，并以“大任务”驱动学习，贯穿探究始终，改变教
学环节碎片化。】
二、建构：尝试度量，建构经验
1.直接比较
独立思考：大家能否从大到小，给他们排排序吗？
预设 1：∠ 1 比∠ 2 大，∠ 3 和∠ 4 不确定。
预设 2：∠ 4 最大，因为它的边看上去最长
（如果大部分学生出现预设 2 等情况，教师追问学生如何证明他的想法正确，引向借用工具
比较说明角的大小。）
2.间接比较
师：对于∠1 和∠ 3，你的火眼金睛还能一眼就确定大小吗？
能大胆地猜一猜哪个角更大吗？
师：看来同学们的猜想都不一样，角的大小要如何比较和度量？
（出示课题）这节课我们一起学习《角的度量》
独立思考：用什么方法可以比较∠3 和∠4 的大小？
（小组讨论，给出初步的方案）
方案一：直接重合（学生演示，过程明确是角的顶点和一边重合）
方案二：用三角板上的角重合。
方案三：用更小的角比较。
师：小组长这里有一些学具：分别是一个三角板，信封里面分别装着一些小角，编号一样的
角大小是一样的，编号不同角的大小也不同。你能用它们比出角 3 和角 4 的大小吗？
小组讨论：这些工具能帮助你比较∠ 3 和∠ 4 的大小吗？你打算怎样比？
（小组讨论，全班交流）
交流结果中教师对“拼小角量大角”的方法给予肯定。
3.小组合作：在学习探究单尝试度量。
提供学具
①三角板（2 个 45°，1 个 90°），
②两个∠4（20°），
③四个∠5（10°）。
小组学习任务：
选一选、比一比：每次选择合适的学具比较∠ 3 和∠ 4 的大小。
想一想、写一写：比较后，我的发现：
如果操作时间有剩余，可以再选一种学具比较这两个角的大小。
挑战一下，三分钟里哪个小组想的办法多。
4.小角累加，体验用数初步表示度量结果
小组展示汇报预设：
生 1：用三角板比，∠ 3 刚好是一个小角，∠ 4 是 1 个小角小一点，发现∠ 3＞∠ 4
生 2：用 2 个∠ 5 来比，∠ 3 是 2 个∠5 大一点，∠ 4 刚好是 2 个∠ 5，发现∠ 3＞∠ 4
生 3：用 4 个∠ 6 来比，∠ 3 是 4 个∠6 大一点，∠ 4 刚好是 4 个∠ 6，发现∠ 3＞∠ 4
生 4：（用组合角的方式来比）∠5＋2 个∠6 大一点，∠5＋2 个∠6
师：同学们用数学智慧比出∠ 3 和∠ 4 的大小，都能比出∠ 3 比∠ 4 大 。而且还能用数把
角 3 和角 4 的大小表示得更具体了。
教师依据学生进行板书：
【设计意图：本环节发挥学生主体性，学生度量的过程与方法各
有秋千，各有智慧，间接度量后能自然过渡到赋“形”以“数”，呈
现度量结果的多样性，让不同层次的思维可视化，帮助学生建立量感
的同时养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，形成抽象意识和数
学应用意识。】
5.统一度量标准，感悟标准角产生的必要性
①比较讨论：同样是∠ 3，有时候它是 1 个小角，有时候却是 2 个多一些，还有的是 4 个多
一些等等，同样是∠ 3 ，为什么表示的数却不一样了？
生：因为拼在一起的角有的大有的小。（因为使用的工具不同）
师：也就是比较的标准角不一样，智慧的你有什么好方法能让说法一样，更便于精准比较呢？
生：都用同样大小的角比较。
小结：统一度量的标准。
②认识角度量的单位
介绍：为了统一度量的标准。人们规定角度量的单位是度，度可以用符号“°”来表示，写
在数字的右上方。
直接告知：刚才用到的标准角里∠5 是 20°，∠ 6 是 10°。
对比辨析：通过刚才的比较我们看出，∠3 比∠ 4 多出的一点，其实也是一个角，但是这个
角比∠5 和∠6 更(小)？（课件演示，有时候这个小角可能是更小，更小的角）
为了精准度量，用∠5 和∠6 还合适吗？怎么办？
小结：为此有必要重新统一标准角，对标准角继续细分。
【设计意图：本环节注重角度量单位产生的必要性的感悟。为此，
设计了用不同大小的角比较两个角的大小，整个活动中学生利用小角
拼大角，选用工具的不同，学生表达的数量就不同。比较结果来看，
虽然能比较出大小，但是表达得数量还不够精准。以上两处感悟引发
学生思考是否需要再创造一个统一的标准来度量角的大小。】
三、解构：解开结构，寻找意义
在细分中找到度量单位，初步建立“标准角”的量感。
①独立思考：
10°角与 1°有什么关系？
你能在 10°中找到度量单位 1°吗？
你打算怎样表示？
②请同学们用喜欢的方法在 10°中找出 1°？
③展示学生寻找的 1°，并说明是如何找的。
预设 1：
预设 2：
预设 3：
（想把 10°分 10 份，但是没有注意到平均分）
预设 4：
（把角两边相连的弦平均分，角的边不见了，但是两点和一个顶点组成了标准角）
④呈现 1°，请说一说你对 1°度有什么感觉。
【设计意图：本环节学生用数学智慧借助“非标准角”抽象出标
准角，从“上”到“下”，从“1份”到“10份”，从“任意分”到
“均分”，从“有边”到“无边”用数学的方法去刻画和把握“标准
角”，展示交流中层层展示学生思维的不同，帮助学生在深度探究中
构建标准角的量感，突破教学的重、难点。】
四、固构：标准累加，活化新知
1.利用 1°的累加创造量角工具
累加创造初始的度量工具
2.利用标准角度量
教师出示一个用卡纸做的角
独立思考：你能用两小工具度量角的大小吗？
学生代表分别尝试度量
比较成功度量和失败度量的情况讨论交流
发现 1：度量过程要把角和量角工具的中心对齐
发现 2：角的定点和一边要和标准角的顶点和一边分别重合（量角工具的中心）
3.用标准角表示角的大小
发现：待测角中有几个 1°角，这个角就是几度。
4.合理选择度量工具体验精准度量
师：现在有三角尺、不同大小的小角、还要量角器，如果老师希望精准度量出∠ 3 比∠ 4 大
多少，你觉得选择哪一种工具进行度量呢？为什么？为什么不用三角尺呢？为什么不用这些
小角了？
学生利用量角工具对∠ 3 和∠ 4 进行测量
5.初步总结角度量的方法：
待测角和标准角的顶点和边重合，待测角中有几个 1°角，这个角就是几度。
【设计意图：经历标准角的累加创造量角工具，初步总结量角的
方法，让学生不仅对那些角的边的由来有个清晰的认识,为后续学习
和使用量角器度量奠定基础，且让学生理解量角器是标准角累加物化
的工具。】
五、延构：联系生活，共建成网
1.猜一猜：这里有三个滑梯，猜一猜，第一个滑梯和第二个滑梯哪一个滑得更快？你认为第
三个滑梯和哪一个滑梯一样好玩？
2.估一估：小轿车座椅的面和靠背形成了的角是几度？行车中教练员有一些提醒，我们一起
听一听（播放视频）。教练员说座椅要调整到比 90°还要大，你认为 大多少合适呢？
看来差 5°不会影响滑滑梯给我们带来的快乐，但是相差 5°很可能会影响到驾驶座椅的舒
适性和安全性。
教师小结：看来生活中有时候不需要精准度量，特别涉及到生命安全等事情，精准度量尤为
重要。
3.总结，畅谈收获。
以一句话总结收获，“数起源于数，量起源于量。”
【设计意图：联系生活的思考让学生发现不同的情景下度量的作
用可大可小，感悟精准度量在生活中的必要性。在学生畅谈收获后用
一句话总结“度量”的学习，学生再次感悟“度量”的本质，“度”
是标准，“量”的过程给标准量赋予“数”自然就产生了“度量”】
“未来课堂”下“度量”概念的教学反思
——以《角的度量》为例
长度和面积的度量拓展到角的度量，是学生度量概念发展的一次
飞跃。“角的度量”教学中，教师以往更重视知识技能层面的教学，
如度量工具的认识与使用，忽视度量本质的体现，如何让度量概念的
构建源于自然悟于深刻？本文对《角的度量》提出以下几点反思：
一、“未来课堂”下“度量”教学层面的新认识
史宁中认为，“量感对应的数源于度量，是借助工具得到的，
是人实践的结果。”依据对这句话的理解 “角的度量”的起始课并
不是要让不会量角的学生学习如何运用量角器量角，而是教师从度量
的本质出发，创设角的大小比较的活动，让学生充分经历角的间接比
较，在角的大小比较的过程中产生用数表示角的度量结果的需求，通
过不同的度量结果的对比，引导学生产生需要找到一个更合适的角作
为度量标准去说明角的大小。也就是说，《角的度量》一课教学中学
生需要经过以下几个层面进行：一是在二年级的基础上对角进行“再”
认识，知道角的大小的属性，知道角的大小在哪里。第二，会用观察、
重叠等直接比较的方法比较角的大小，从角张开的大小考虑角的大小。
第三，无法进行直接比较时，借用工具比较角的大小，产生用数表示
角的大小的需要。第四，间接比较满足精准度量的时候，产生寻找标
准角的需要，统一度量标准。度量工具是度量标准的物化，在创造度
量标准中自然深刻第领悟工具的使用方法。
二、“未来课堂”下“度量”教学目标与 SOLO 分类理论的新融合
香港大学教育心理学教学约翰·比格斯首创的一种学生学业评
价方法，有着成熟的评测框架。它是以等级描述为特征的质性评价方
法，能对学生的理解程度进行具体、清晰的层级划分，使得每个学生
的理解水平变得可见、可评价，是评价学生理解能力的一种好方法。
图 1 依据 SOLO 理论思维趁机把本课具体知识目标划分为四个层次，
并用列表的形式把对应的教学环节分析学生的学习路径。
图 1
利用该理论与“度量”教学相融合，教师在分析学生经验的基础上对
教学的目标进行细化，能更好地促进“度量”概念的结构化认识，这
中结构化不是告知的结构化，而是内化的结构化，有利于学生在大单
元学习把度量经验进行迁移。最后，结构化地呈现教学目标，有利于
教师评价学生“度量”学习过程中的可视化成果，有利于以学定教。
三、“未来课堂”下“度量”课堂探究的新重构
1.问题导入的重构：笔者以往教学角的度量的开始是创设了“猴子
滑滑梯”的情景引入角的大小的比较，情景虽然有趣，但是不足以引
发“角大小比较”的必要性。本设计是以“4个不同的角比大小”数
学问题引入，其中两个角一眼就能比出大小，而剩余两位角是无法直
接确定的，明确指向要研究的问题，并以这样的“大任务”作为主线
驱动学生的实践活动，贯穿全课的始终，改变教学环节碎片化。
2.探究活动的重构：基于对“量感”认识的转变，为了让学生进一
步积累操作活动经验，在活动探究中理解度量的本质，教学设计中摒
弃在量角器产生过程的探究中教学量角，而是进行了以下两个活动。
重构活动一：小角量大角
本课教学设计注重角度量单位产生的必要性的感悟。为此，设计
了用不同大小的角比较两个角的大小，整个活动中学生利用小角拼大
角，选用工具的不同，学生表达的数量就不同。比较结果来看，虽然
能比较出大小，但是表达得数量还不够精准。以上两处感悟引发学生
思考是否需要再创造一个统一的标准来度量角的大小。
图 2 图 3
图 4 图 5
本环节发挥学生主体性，学生度量的过程与方法各有秋千，各有
智慧（图 2-图 5），间接度量后能自然过渡到赋“形”以“数”，呈现
度量结果的多样性，让不同层次的思维可视化，帮助学生建立量感的
同时养成用定量的方法认识和解决问题的习惯，形成抽象意识和数学
应用意识。
重构活动二：创造度量标准
利用原有的比较工具中抽象并创造出度量标准，在这个活动经验
让学生自我构建了一次标准角，抽象出标准角的大小是多大才适合度
量所有的角。本环节学生用数学智慧借助“非标准角”抽象出标准角，
从“上”到“下”（图 6-图 7），从“1份”到“10份”，（图 6-图 7）
从“任意分”到“均分”，从“有边”到“无边”（图 8-图 10）用数
学的方法去刻画和把握“标准角”，展示交流中层层展示学生思维的
不同，帮助学生在深度探究中构建标准角的量感，突破教学的重、难
点。
图 6 图 7
图 8 图 9
重构的两个活动不仅能帮助学生建立对角度量单位的认识，感悟
度量本质就是用数表达量的过程，同时为后续学生认识量角器构造和
正确使用量角器精准度量奠定基础。在大任务的驱动下改变教学的单
一化，学生的实践结果是多样的，同时让让思维可视，这两个都是度
量教学中的必要环节，渗透结构化教学。
四、“未来课堂”下“度量”课堂与信息技术的融合
当直接比较出现局限性时，学生需要想到间接比较∠3 和∠4 的
大小。在“大角量小角”的活动中对学具的设计非常讲究。但是在教
学中发现，分别以∠5 和∠6 作为标注进行小角拼大角的活动中，利
用不透明的纸片做的小角难以重合角的顶点和边线，甚至可能影响学
生观察和正确判断比较的结果。为此，教学中运用希沃白板 5 的克隆
和动态触屏移动功能，让学生顺利进行比较，而且能够清晰看到比较
后的结果。大大提高小组展示的效率（图 10-12）。又如利用希沃的
动态动画呈现标准累加成量角工具的过程，让学生动态化下认识量角
工具的产生，感悟量角器是标准角累加物化的工具（图 13-14）。
图 10 图 11 图 12
图 13 图 14