2022-2023学年广东省肇庆市加美学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省肇庆市加美学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设函数，则等于( )
A. B. C. D.
2.将支不同的钢笔分给名同学中的人，每人一支，则不同分法的种数是( )
A. B. C. D.
3.函数在点处的切线方程是( )
A. B. C. D.
4.函数在区间上的最大值是( )
A. B. C. D.
5.已知，，，求( )
A. B. C. D.
6.若的展开式中所有二项式系数和为，则展开式中的常数项是( )
A. B. C. D.
7.已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数求导正确的是( )
A. B.
C. D.
10.若，则( )
A. B.
C. D.
11.有台车床加工同一型号的零件第台加工的次品率为，第，台加工的次品率均为，加工出来的零件混放在一起已知第，，台车床的零件数分别占总数的，，则下列选项正确的有( )
A. 任取一个零件是第台生产出来的次品概率为
B. 任取一个零件是次品的概率为
C. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为
D. 如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率为
12.已知函数，若的零点为，极值点为，则( )
A. B.
C. 的极小值为 D. 有最大值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若，则 ______．
14.计算______．
15.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节，且“射“和“御“两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有 种
16.已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
请从下面二个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并作答．
第项的二项式系数比第项的二项式系数大；
二项式的常数项为．
问题：在二项式展开式中，_____．
求奇数项的二项式系数的和；
求该二项展开式中的系数．
18.本小题分
已知函数．
求函数在点处的切线方程；
求函数的单调区间．
19.本小题分
一组学生共有人．
如果从中选出人参加一项活动，共有多少种选法？
如果从中选出男生人，女生人，参加三项不同的活动，要求每人参加一项且每项活动都有人参加的选法有种，问该组学生中男、女生各有多少人？
20.本小题分
如图，一个面积为平方厘米的矩形纸板，在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒如图设小正方形边长为厘米，矩形纸板的两边，的长分别为厘米和厘米，其中．
当，求纸盒侧面积的最大值；
试确定，，的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
21.本小题分
已知函数．
求函数的最小值；
求证：．
22.本小题分
已知函数．
判断函数的单调性；
设，求证：当时，．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，
故选：．
根据求导公式进行求解，即可得到答案．
本题主要考查导数的求导公式，属基础题，送分题．
2.【答案】
【解析】解：将支不同的钢笔分给名同学中的人，则只要从人选人进行排列即可．
即种．
故选：．
从人选人进行排列即可．
本题主要考查简单的计数问题，利用排列公式进行计算是解决本题的关键，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：由，得，
，
则函数在点处的切线方程是，
即，
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
4.【答案】
【解析】解：函数，
则，
令，解得，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
所以当时，函数取得唯一的极大值，即最大值，
所以的最大值为．
故选：．
求出，利用导数研究函数的单调性，结合极值的定义求解最大值即可．
本题考查了导数的应用，主要考查了利用导数研究函数的单调性以及函数最值的求解，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，，，，
则．
故选：．
根据题意，直接利用条件概率公式计算．
本题考查条件概率的计算，注意条件概率的计算公式，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：因为的展开式中所有二项式系数和为，
所以，解得，
所以展开式的通项公式为，
令，解得，
所以展开式中的常数项为．
故选：．
根据二项展开式中所有二项式系数和求出，再利用展开式的通项公式求出展开式的常数项．
本题考查了二项式系数和与二项展开式的应用问题，是基础题．
7.【答案】
【解析】解：函数，其导数，
若函数在上单调递增，
则在上恒成立，
变形可得在上恒成立，
则必有，即的取值范围为．
故选：．
根据题意，求出函数的导数，分析可得在上恒成立，变形可得在上恒成立，据此分析可得答案．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题知：，当时，，单调递增，至多有一个零点，不合题意；
当时，令，易知在单调递减，在单调递增，故的最小值为．
有两个零点，当时，，
，解得，
故选：．
先对求导，根据的范围研究的符号，判断的单调性，结合有两个零点，求出的取值范围．
本题考查导数的简单应用，函数最值的求法，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：，选项正确；
，选项正确；
，选项错误；
，选项错误．
故选：．
对各个选项进行导数运算验证即可．
本题考查导数运算，考查数学运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，
令得，故A正确．
令得，故C正确．
故选：．
根据选项的特点，采用赋值法求解．
本题考查二项式定理展开式的项的系数和系数的和，属于基础题．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的计算，属于基础题．
假设台车床生产的零件总数为，则第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为，一共有次品，根据古典概型判断，根据条件概率和古典概型判断，。．
【解答】解：根据题意，假设台车床生产的零件总数为，则第台车床生产的零件数为，第台车床生产的零件数为，第台车床生产的零件数为，
依次分析选项：
对于，第台加工的次品率为，则第台车床生产的次品数为，则任取一个零件是第台生产出来的次品概率，A错误，
对于，第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为，第台车床生产的次品数为，则一共有次品，
则任取一个零件是次品的概率为，B正确，
对于，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率，C正确，
对于，如果取到的零件是次品，且是第台车床加工的概率，D错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】解：，
当时，，即，解得；
当时，恒成立，
的零点为．
又当时，为增函数，故在上无极值点；
当时，，，
当时，，当时，，
时，取到极小值，即的极值点，且，
，
故选：．
令可求得其零点，即的值，再利用导数可求得其极值点，即的值，从而可得答案．
本题考查利用导数研究函数的极值，考查函数的零点，考查分段函数的应用，突出分析运算能力的考查，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：
解得或
又为正整数，不成立，
故答案为
利用排列数公式，把展开，再解关于的一元二次方程即可．
本题考查了排列数公式的应用，属于基础题，必须掌握．
14.【答案】
【解析】解：，
原式
．
故答案为：．
先把化为，再根据组合数的性质，，逐个化简，即可求出的值．
本题考查了组合数性质，做题时应认真计算，避免出错．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查分类加法计数原理，排列与排列数公式，属于较易题．
根据题意按“数”的排课方法分种情况讨论，求出每种情况的排课顺序，由分类加法原理即可求出“六艺”课程讲座不同的排课顺序的方法种数．
【解答】
解：根据题意可知，“数”必须排在前三节，据此分种情况讨论：
“数”排在第一节，“射”和“御”两门课程联排的情况有种，剩下的三门课程有种情况，此时有种排课顺序；
“数”排在第二节，“射”和“御”两门课程联排的情况有种，剩下的三门课程有种情况，此时有种排课顺序；
“数”排在第三节，“射”和“御”两门课程联排的情况有种，剩下的三门课程有种情况，此时有种排课顺序；
则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有种．
故答案为：．
16.【答案】
【解析】解：函数，，
因为对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，
则，
令，
则，
所以在上单调递增，
则，
故，所以在上单调递增，
则，
又，
所以的最大值为．
故答案为：．
将不等式利用参变量分离，得到对任意恒成立，构造，求出，构造，利用导数研究的单调性，求出的取值范围，从而得到的正负，确定的单调性，求出的取值范围，从而得到的最大值．
本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性与函数最值的应用，不等式恒成立的求解，利用导数研究不等式恒成立问题的策略为：通常构造新函数或参变量分离，利用导数研究函数的单调性，求出最值从而求得参数的取值范围，属于中档题．
17.【答案】解：选择条件
由题意可知，，，
解得：，
奇数项的二项式系数的和．
由二项式定理得展开式的通项为，
根据题意，得，，
因此，的系数是．
选择条件
由二项式定理得展开式的通项为，
根据题意，得，
因此，为奇数，
当时，，不合题意，
当时，，符合题意．
所以．
奇数项的二项式系数的和．
由二项式定理得展开式的通项为，
根据题意，得，，
因此，的系数是．
【解析】选择条件，由题意可知，，解得，
根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
选择条件，由二项式定理得展开式的通项为，根据题意，得，分，讨论，即可求得，
根据题意，分别列出奇数项的二次项系数，并求和，即可求解．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查了二项式定理的应用，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
18.【答案】解：函数的定义域为，
，，
函数在点处的切线方程，
即；
，
令，得，
当时，，可知在区间上单调递增，
当，或时，，可知在区间和上单调递减，
单调递增区间，单调递减区间和．
【解析】求出原函数的导函数，得到函数在处的导数，再由直线方程的点斜式得答案；
求出函数的定义域，由导函数大于得原函数的增区间，由导函数小于得函数的减区间．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用导数求函数的单调区间，是中档题．
19.【答案】解：所有的不同选法种数，就是从名学生中选出人的组合数，所以选法种数为．
设有男生人，女生则有人，
从这人中选出名男生女生方法有种
要求每人参加一项且每项活动都有人参加种，
根据分步乘法计数原理得，
所以，且，
解得，或，
所以该组学生中男生人，女生人或男生人，女生人．
【解析】根据组合的定义即可求出；
设有男生人，女生则有人，根据分步计数原理得，列出方程，解方程求得．
本题考查了组合数公式的应用，应注意未知数的范围限制．
20.【答案】解：当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为，
所以纸盒的侧面积，其中，
令，得，
所以当时，，可知在区间上单调递增，
当时，，可知在区间上都单调递减，
的最大值为，
所以当时，纸盒侧面积的最大值为平方厘米．
纸盒的体积，其中，且，
因为，
当且仅当时取等号，
所以，，
记，，
则，
令，得，列表如下：
单调递增 极大值 单调递减
由上表可知，的极大值是，也是最大值，
所以当，且时，纸盒的体积最大，最大值为立方厘米．
【解析】当时，，纸盒的底面是正方形，边长为，周长为，所以纸盒的侧面积，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
纸盒的体积，其中，且，因为，当且仅当时取等号，所以，，记，，再利用导数研究函数的单调性，即可求解．
本题主要考查根据实际问题选择函数类型，掌握利用导数研究函数的单调性是解本题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：函数，
则，
令，解得，
所以当时，，可知在区间上单调递增，
当时，，可知在区间上单调递减，
所以当时，取得最小值；
证明：
，
令，
则，
所以，
所以．
【解析】求出，利用导数判断函数的单调性，由此求解函数的最值即可；
将进行化简变形，然后令，求出，从而得到的取值范围，即可证明不等式．
本题考查了利用导数研究函数的单调性的应用，利用单调性求解函数的最值，不等式的证明问题，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域为．
因为，
当时，，所以在区间上单调递增；
当时，令，得，
所以当时，，可知在区间上单调递增；
当时，，可知在区间上单调递减．
证明：当时，
．
令，则，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，
所以．
所以，
所以，
所以．
【解析】求出的定义域，的导函数，对分类讨论，利用导数与单调性的关系即可求解；
当时，利用放缩法可得，令，利用导数可求得，从而证得．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及不等式的证明，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查逻辑推理与运算求解能力，属于难题．
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