2022-2023学年广东省佛山市南海区狮山石门高级中学高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区狮山石门高级中学高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过原点且与圆相切的直线方程是( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
2.已知椭圆的焦点为，过点的直线与交于，两点．若的周长为，则椭圆的标准方程为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的公差为，若，，成等比数列，是数列的前项和，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知函数在时有极值为，则( )
A. B. 或 C. D.
5.已知等差数列的前项和为，，，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的各项均为正数，且，，成等差数列，则( )
A. B. C. D.
7.在某班进行的歌唱比赛中，共有位选手参加，其中位女生，位男生．如果位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的不同排法种数为( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的奇函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若是双曲线上一点，的一个焦点坐标为，则下列结论中正确的是．( )
A. B. 渐近线方程为
C. 的最小值是 D. 焦点到渐近线的距离是
10.甲、乙两盒中皆装有若干个不同色的小球，从甲盒中摸出一个红球的概率是，从乙盒中摸出一个红球的概率是，现小明从两盒各摸出一个球，每摸出一个红球得分，摸出其他颜色小球得分，下列说法中正确的是( )
A. 小明得分的概率为 B. 小明得分低于分的概率为
C. 小明得分不少于分的概率为 D. 小明恰好得分的概率为
11.已知函数，下列命题中为真命题的是( )
A. 的单调递减区间是
B. 的极小值点是
C. 有且只有一个零点
D. 过点只能作一条直线与的图象相切
12.数列的前项和为，若，，则有( )
A. B. 为等比数列
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知的展开式中，二项式系数之和为，则展开式中常数项为 ．
14.若函数在处的切线过点，则实数______．
15.函数的最大值为______．
16.已知数列满足，，则数列的前项和 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在数列中，，点在直线上．
求数列的通项公式；
记为数列的前项和，且，求数列的前项和．
18.本小题分
设．
求曲线在处的切线方程；
求的单调区间与极值；
若有实数解，求实数的范围．
19.本小题分
如图，在直三棱柱中，为的中点，交于点，，．
求证：平面；
求平面与平面的夹角的余弦值．
20.本小题分
猜灯谜又称打灯谜，是我国从古代就开始流传的元宵节特色活动．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了道，乙同学猜对了道，丙同学猜对了道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求的值．
21.本小题分
已知在各项均为正数的等差数列中，，且，，构成等比数列的前三项．
求数列，的通项公式；
设，求数列的前项和．
22.本小题分
已知函数
当时，求函数在上的最大值和最小值；
讨论函数的单调性；
若函数在处取得极值，不等式对恒成立，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，圆的方程为，圆心为，半径为，
当切线的斜率存在时，设切线方程为，
由圆心到直线的距离等于半径，即，可得，
因此一条切线方程为；
当切线斜率不存在时，轴是符合条件的切线，方程为．
故选：．
根据圆的方程写出圆心坐标、半径，讨论切线斜率存在性，结合点线距离公式求切线方程．
本题考查的知识点：直线与圆的位置关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义以及标准方程，注意的周长为，属于基础题．
由椭圆的焦点坐标分析可得椭圆的焦点在轴上，且，结合椭圆的定义可得的周长为，则有，即可得的值，计算可得的值，得到答案．
【解答】
解：根据题意，椭圆的焦点为，，即椭圆的焦点在轴上，且；
又由的周长为，
则有
，
变形可得，
则；
故要求椭圆的方程为；
故答案选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了等比数列的性质，等差数列的通项公式及其前项和公式，属于基础题．
由，，成等比数列，可得，再利用等差数列的通项公式及其前项和公式即可得出．
【解答】
解：，，成等比数列，
，，
化为，解得．
则，
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了导数求极值时的应用，注意函数要产生增减区间才可以．
求导，由题意列方程组及不等式，从而解出，的值．
【解答】
解：
由题意，
且．
解得，，；
故选A．
5.【答案】
【解析】解：设等差数列的公差为，，，
，，
联立解得：，
．
．
则数列的前项和．
故选：．
设等差数列的公差为，由，，可得，，联立解得：，，可得利用裂项求和方法即可得出．
本题主要考查等差数列的通项公式与求和公式、裂项求和方法，考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，求出公比是解决问题的关键，属于基础题．
设各项都是正数的等比数列的公比为，，由题意可得关于的式子，解之可得，而所求的式子等于，计算可得．
【解答】
解：设各项都是正数的等比数列的公比为，，
由题意可得，即，
解得舍去，或，
．
故选：．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了排列组合的简单计数问题，涉及到分类讨论思想的应用，考查了学生的理解能力以及运算能力，属于基础题．
分两种情况讨论：第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，第二种：当第一个出场的是女生不是女生甲，则将剩下的个女生排好，个男生插空，然后分别求解即可．
【解答】
解：分两种情况讨论：
第一种：当第一个出场的是男生，则第二个出场的是女生，以后的顺序任意排，此种情况有种排法，
第二种：当第一个出场的是女生不是女生甲，则将剩下的个女生排好，个男生插空，此种情况有种排法，
所以共有种排法，
故选：．
8.【答案】
【解析】解：令，则，
在时单调递增，又，
时，，时，，
当时，，，，
时，，，，
在上恒成立，
又是奇函数，，
在上恒成立，
当时，，，即，
当时，，，即，
由得不等式的解集是，
故选：．
令，根据函数的单调性和奇偶性求出不等式的解集即可．
本题考查了函数的单调性，奇偶性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是中档题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线方程及性质，属于基础题．
利用双曲线的一个焦点坐标为，可得，即可逐一判定．
【解答】
解：对于，因为双曲线的一个焦点坐标为，
，，故A错；
对于，渐近线方程，故B正确；
对于，的最小值是，故C正确；
对于，焦点到渐近线的距离是，故D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意相互独立事件概率乘法公式的灵活运用，是基础题．
根据相互独立事件的乘法公式逐一求解即可．
【解答】
解：对选项A，小明得分的概率为，故A错误；
对选项B，小明得分低于分的概率为，故B正确；
对选项C，小明得分不少于分的概率为，故C错误；
在中，小明恰好得分的概率为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：由题意得函数的定义域为，，
由得，由得或，由得，
在上单调递减，在和上单调递增，故A正确；
当时，取得极小值，即的极小值点是，故B正确；
当时，取得极大值，
，，
有个零点，故C错误；
设切点，则，
又切线经过，则切线的斜率，
，解得，故切点只有一个，即过点只能作一条直线与的图象相切，故D正确．
故选：．
由题意得函数的定义域为，，可得在上单调递减，在和上单调递增，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：因为，
所以当时，，
两式相减得：，即，
当时，，
所以数列是从第二项起，以为首项，为公比的等比数列，
所以故B，C错误，D正确；
由当时，，所以，
又满足上式，所以，故A正确．
故选：．
直接利用数列的递推关系式的应用求出数列的通项公式可判断，，；进一步利用关系式的变换求出数列的通项公式，可判断．
本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，等比数列的求和，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，的展开式中，二项式系数之和为，则，解可得，
则的展开式为：，
令可得：，即展开式中常数项为；
故答案为：．
根据题意，由展开式的二项式系数之和为，即，求出的值，进而求出展开式，分析可得答案．
本题考查二项式定理的应用，关键是求出的值，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由，得，
，又，
函数在处的切线为，
把点代入，可得，即．
故答案为：．
求出原函数的导函数，得到函数在处的切线方程，代入已知点的坐标，即可求得值．
本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，考查运算求解能力，是中档题．
15.【答案】
【解析】解：函数的导数为，
由，解得，
当时，，递增；
当时，，递减．
可得在处取得极大值，且为最大值．
故答案为：．
求出的导数，令导数为，可得极值点，求出单调区间，可得极大值，且为最大值．
本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运算能力，属于基础题．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了数列的递推公式和数列的通项公式的求法和错位相减法求和，属于拔高题．
先求出数列的通项公式，再根据错位相减法求和即可．
【解答】
解：当时，，即，
，，
当时，，，
由可得，
，
当时，上式也成立，
，
．
，
，
，
设数列的前项和，
，
，
由可得
，
，
，
故答案为：．
17.【答案】解：点在直线上，
，即，，
数列是以为公差的等差数列，
又，数列的通项公式；
由知，，，．
，
．
【解析】本题考查等差数列的通项公式与前项和，训练了裂项相消法求数列的前项和，是中档题．
由题意可得，，则数列是以为公差的等差数列，结合，可得数列的通项公式；
由求得首项，进一步求得，代入，利用裂项相消法求数列的前项和．
18.【答案】解：的定义域为，
，，又，
曲线在处的切线方程为，即；
，令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
的单调递减区间是，单调递增区间是，
所以，无极大值；
由知在处取极小值，无极大值，则，无最大值，所以的值域为
因为方程有实数解，即方程有实数解，
所以实数的范围为．
【解析】根据导数的几何意义可求得结果；
利用导数可求得单调区间与极值；
将方程有实数解问题转化为求函数值域问题即可求解．
本题考查了导数的综合运用，属于中档题．
19.【答案】证明：四边形是平行四边形，为的中点，
又为的中点，，
又平面，平面，
平面C.
解：在直三棱柱中，平面，又，
，，两两互相垂直，
以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，则，，，，，
，，，，
设平面的一个法向量为，则，
，不妨令，则，
设平面的一个法向量为，则，，
不妨令，则，
，，
平面与平面的夹角的余弦值为．
【解析】由三角形中位线定理可得，再利用线面平行的判定定理即可证得平面；
依题意，以点为坐标原点，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，再利用法向量的夹角即可求出平面与平面的夹角的余弦值．
本题主要考查了线面平行的判定，考查了平面与平面的夹角，同时考查了学生的计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”，
则，，，
故，，，
所以任选一道灯谜，求，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为．
设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，
则，
解得，
即的值为．
【解析】由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件概率加法公式求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求．
本题主要考查了对立事件的概率关系，考查了对立事件的概率乘法公式，属于基础题．
21.【答案】解：根据题意，因为数列为各项均为正数的等差数列，
所以，即得，
设公差为，则有，，，
又因为，，构成等比数列的前三项，
所以，
即，
解之可得或舍去，
所以，
即得数列是以为首项，为公差的等差数列，
故可得，
由题可得，，，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
故可得；
设，
则，
在上式两边同时乘以可得，，，
可得，，
即得．
【解析】由等差数列、等比数列通项公式的求法求解即可；
利用错位相减法求和即可．
本题考查了等差数列、等比数列通项公式的求法，重点考查了错位相减法求和，属中档题．
22.【答案】解：当时，，由，得．
当时，，当时，因为，所以
又，所以函数在上的最大值是，最小值是．
当时，令，得，由得，所以在上单调递减．在上单调递增．
当时，恒成立．所以在为减函数
当时，恒成立，所以在单调递减．
综上，当时，在上单调递减，在单调递增，
当时，在单调递减
，依题意：，，所以
又对恒成立恒成立．
即，所以在上恒成立
令，则
当时，当时，，
所以当时，，所以．
【解析】当时，然后求导利用导数求函数的极值，然后与区间端点的函数值进行比较，从而可求出函数的最大值和最小值；
求函数的导数，通过讨论参数的取值，令，可求出函数的增区间，令，从而确定函数的单调减区间；
利用函数在处取得极值，建立方程求的，然后把不等式转化为最值恒成立，然后利用导数求最值．
本题考查了利用导数研究函数的单调性以及求函数的最大值和最小值问题，以及对于不等式恒成立问题，解决不等式恒成立问题的常用方法是转化为最值恒成立．
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