2022-2023学年辽宁省大连八中高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年辽宁省大连八中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
3.已知数列，若，则( )
A. B. C. D.
4.某口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩两种产品，这两种产品的生产比例分别为，，且这两种产品中绑带式口罩的比例分别为，若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和，若，则( )
A. B. C. D.
6.设等差数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.下列有关事件的说法正确的是( )
A. 若，则事件，为对立事件
B. 事件，中至少有一个发生的概率一定比，中恰有一个发生的概率大
C. 若，为互斥事件，则
D. 若事件，，满足条件和为互斥事件，则
8.标有数字，，，，，的六张卡片，从中有放回地随机抽取两次，每次抽取一张，表示事件“第一次取出的数字是”，表示事件“第二次取出的数字是”，表示事件“两次取出的数字之和是”，表示事件“两次取出的数字之和是”，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知数列是等比数列，以下结论正确的是( )
A. 是等比数列
B. 若，，则
C. 若，则数列是递增数列
D. 若数列的前项和，则
10.个不同的小球随机投入个不同的盒子，设随机变量为空盒的个数，下列说法正确的是( )
A. 随机变量的取值为，， B.
C. D.
11.已知数列中，，且点在函数的图象上，则下列结论正确的是( )
A. 数列单调递增 B.
C. D.
12.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量，，其中，则
B. 若事件与互斥，且，则
C. 若事件发生，则事件一定发生，且，则
D. 甲、乙两个箱子里各装有个大小形状都相同的球，其中甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球，先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.随机变量服从正态分布，若，则 ______．
14.已知甲每次投掷飞镖中靶的概率为，若甲连续投掷飞镖次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过，至少需要投掷飞镖______次参考数据：
15.甲乙两个盒子中分别装有大小、形状完全相同的三个小球，且均各自标号为、、分别从两个盒子中随机取一个球，用表示两球上数字之积，的方差为，则 ______．
16.某工厂为研究某种产品的产量吨与所需某种原材料的质量吨的相关性，在生产过程中收集组对应数据，如表所示．残差观测值预测值
根据表中数据，得出关于的经验回归方程为据此计算出在样本处的残差为，则表中的值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
广州市届高三年级阶段为培养学生对传统文化的兴趣，某市从甲，乙两所学校各抽取名学生参加传统文化知识竞赛，竞赛成绩分为优秀和非优秀两个等级，成绩统计如表：
优秀人数 非优秀人数 总计
甲校
乙校
总计
甲，乙两所学校竞赛成绩优秀的频率分别是多少？
能否有的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异？
．
18.本小题分
已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列．
求的通项公式；
设，求数列的前项和为．
19.本小题分
甲乙两位同学进行乒乓球单打比赛，约定：每赢一球得分；采用两球换发制，即每比赛二球交换发球权假设甲发球时甲得分的概率是，乙发球时甲得分的概率是，各球的结果相互独立根据抽签结果决定，甲先发球．
求比赛二球后甲得分的期望；
求比赛六球后甲得分比乙得分多分的概率．
20.本小题分
已知数列满足，．
记，写出，，并求数列的通项公式；
求的前项和．
21.本小题分
记是各项均不为零的数列的前项和，已知．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
22.本小题分
甲、乙两人各有一只箱子甲的箱子里放有大小形状完全相同的个红球、个黄球和个蓝球乙的箱子里放有大小形状完全相同的个红球、个黄球和个蓝球，现两人各从自己的箱子里任取一球，规定同色时乙胜，异色时甲胜．
当，，时，求乙胜的概率；
若规定：当乙取红球、黄球和蓝球获胜的得分分别是分、分和分，否则得零分，求乙得分均值的最大值，并求此时，，的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为等比数列中，，，
所以，即．
故选：．
利用等比中项的公式进行求解．
本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的递推公式，及与的关系，属于基础题．
根据计算，即可得出答案．
【解答】
解：，
．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由，可得，
解得，
则，
．
故选：．
由已知递推式可令，解得，再令，可得的值．
本题考查数列的递推式的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为．
故选：．
根据相互独立事件乘法公式列式计算即可．
本题考查相互独立事件的乘法公式，是基础题．
5.【答案】
【解析】解：根据题意，等差数列中，若，则，
故．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，由此计算可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：根据题意，数列为等差数列，则，，成等差数列，
则有，即，
解可得：．
故选：．
根据题意，由等差数列的性质可得，，成等差数列，由此分析可得答案．
本题考查等差数列的求和，涉及等差数列的性质，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，若事件，发生在不同的试验中，可能满足，但事件，不对立，A错误，
，抛掷一个骰子，设事件出现点数不超过，出现点数不小于，则与为互斥事件，
则事件与事件中至少有一个发生的概率，
与中恰有一个发生的概率，B错误，
，若，为互斥事件，则，C正确，
，若，和为互斥事件，则，D错误，
故选：．
利用互斥事件，对立事件的定义判断，利用举实例判断，利用条件概率公式判断．
本题考查对立事件、互斥事件的定义，条件概率公式的运用，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：由题意得，从张卡片中有放回地随机抽取两次，所有的基本事件为：
共个．
事件有：，，，，共个，
事件有：，，，，，共个，
则事件有：，，，，，共个，
事件有：，，，，，共个，
所以，，，，
，
所以，而，故A错误；
，而，故B错误；
，而，故C错误；
，而，故D正确．
故选：．
根据题意，利用列表法写出所有的基本事件，由古典概型的概率公式分别求出，，，，结合条件概率的计算公式依次求解即可．
本题主要考查条件概率公式，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：令等比数列的公比为，则，
对于，，且，则是等比数列，A正确；
对于，，则，B错误；
对于，由知，，则，，
即，，数列是递增数列，C正确；
对于，显然，则，而，
因此，D正确．
故选：．
根据给定条件，利用等比数列定义、性质逐项分析判断作答．
本题考查的知识点：等比数列的性质，数列的求和公式，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：根据题意知，随机变量为空盒的个数，则的可能取值为，，，；
计算，
，
，
；
．
故选：．
根据题意知随机变量的可能取值为，，，，由此计算对应的概率值和数学期望值．
本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：由题意可知，所以，所以，
当时，与矛盾，所以，则，
所以数列单调递增，项正确；
又，所以，项错误；
由上可知，
，
所以，项正确；
由上可知，则当且仅当时取得等号，
当时，，所以，项正确．
故选：．
利用数列单调性的定义可判断选项；由结合不等式的基本性质可判断选项；利用累加法结合不等式的基本性质可判断选项；利用累乘法结合不等式的基本性质可判断选项．
本题主要考查数列和函数知识的综合，考查计算能力和逻辑推理能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：若随机变量，，其中，，
而，则，故A错误；
若事件与互斥，且，则，，故B正确；
若事件发生，则事件一定发生，则，不相互独立，不成立，则，故C错误；
先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，考虑甲中取得个红球，乙中取得个红球，有种方法；
甲中取得个白球，乙中取得个红球，有种方法；而甲中取得个球，乙中取得个球，有种方法，
则取出的球是红球的概率为，故D正确．
故选：．
由正态分布的对称性计算可判断；由互斥事件的定义可得，结合条件概率公式可判断；由，不相互独立，结合条件概率公式可判断；由古典概率公式和分类讨论思想可判断．
本题考查概率的求法和性质，以及条件概率和正态分布的特点，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为随机变量服从正态分布，，
所以．
故答案为：．
根据给定条件，利用正态分布的对称性计算作答．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：甲每次投掷飞镖中靶的概率为，若甲连续投掷飞镖次，要使飞镖最少中靶一次的概率超过，
所以中靶次的概率为，
所以，
两边取对数，，
故，
由于，
故至少投掷次．
故答案为：．
直接利用独立重复试验和对立事件的关系建立，进一步利用对数的运算求出结果．
本题考查的知识要点：独立重复试验，对数的运算，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：由题意可得的可能取值为：、、、、、，
其分布列为：
所以，
，所以．
故答案为：．
根据离散型随机变量，先列出分布列得出期望，再计算方差，后根据公式得出．
本题考查离散型随机变量期望与方差，考查运算求解能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：在样本处的残差为，
，解得，
经验回归方程为，
，，
则，解得．
故答案为：．
由在样本处的残差求，可得线性回归方程，再求出样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得值．
本题考查线性回归方程的应用，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，是基础题．
17.【答案】解：甲校竞赛成绩优秀的频率为，
乙校竞赛成绩优秀的频率为；
，
没有的把握认为甲校成绩优秀与乙校成绩优秀有差异．
【解析】本题主要考查独立性检验公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
根据已知条件，结合频率与频数的关系，即可求解．
根据已知条件，结合独立性检验公式，即可求解．
18.【答案】解：设等差数列的公差为，前项和为，
由，可得，即，
又，，成等比数列，可得，
即，化为，
解得，
则；
，
则，
，
两式相减可得
，
化简可得．
【解析】由等差数列的通项公式和求和公式，以及等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求；
求得，由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：方法一：记甲得分为，则的所有可能取值是，，．
因为，，，
所以．
方法二：因为服从二项分布，
所以．
因为，所以，即比赛六球后甲赢四球，乙赢两球．
比赛六球时发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲，
记“比赛六球后甲得分比乙得分多分”为事件，
“乙赢两球均在乙发球时”为事件，“乙赢两球均在甲发球时”为事件，
“乙赢两球一球在甲发球时，一球在乙发球时”为事件．
因为，，，
所以．
【解析】本题主要考查离散型随机变量的期望，相互独立事件得概率乘法公式，属于中档题．
方法一：记甲得分为，则的所有可能取值是，，，求出所对应的概率，即可得到数学期望．方法二：可得服从二项分布，直接利用二项分布的期望公式计算可得．
依题意比赛六球后甲赢四球，乙赢两球，且发球的次序依次是甲甲乙乙甲甲，再分类讨论，利用相互独立事件及互斥事件的概率公式计算可得．
20.【答案】解：，，，
，，，
又，则，
数列是首项为，公差为的等差数列，
；
当为奇数时，，
的前项和为．
【解析】由题意分析出数列是等差数列，通过等差数列通项公式求解，即可得出答案；
通过等差数列前项和求和公式求解，即可得出答案．
本题考查数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：因为，所以，
即，
整理得，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
则，于是有，
当时，，且时，，不符合该式，
故；
，
所以．
【解析】将已知等式化简可得，再利用与的关系，整理得，即可得等差数列，求得，由相减法即可得数列的通项公式；
根据裂项相消法求得数列的前项和即可．
本题主要考查了数列的递推式，考查了等差数列的性质，以及裂项相消法求和，属于中档题．
22.【答案】解：同色时乙胜，
同为红色：甲取红球且乙取红球：，
同为黄色：甲取黄球且乙取黄球：，
同为蓝色：甲取蓝球且乙取蓝球：，
所以乙胜的概率为；
得分均值等于每种颜色的获胜概率乘以对应分数，再求和，
即，
因为，
所以，
所以当最大时，均值最大，
，的最小值为，所以最大为，
所以乙得分均值的最大值为，此时，，．
【解析】同色时乙胜，则计算种颜色分别相同的概率，求和即可；
得分均值等于每种颜色的获胜概率乘以对应分数，再求和，即，再结合求解即可．
本题主要考查了独立事件的概率乘法公式，考查了均值的求法，属于中档题．
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