2022-2023学年安徽省芜湖市中华艺术学校高二（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省芜湖市中华艺术学校高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共7小题，每小题4分，共28分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列的通项公式是，则下列各数是中的项的是( )
A. B. C. D.
2.下列求导运算正确的是( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列，若，，则( )
A. B. C. D.
4.在等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
5.已知定义在上的函数的图像如图，则不等式的解集为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值为( )
A. B. C. D.
7.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一道题目：把个面包分给个人，使每个人所得面包个数成等比数列，且使较小的两份面包个数之和等于中间一份面包个数的四分之三，则中间一份面包的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
8.下列选项中能满足数列，，，，，，的通项公式的有( )
A. B.
C. D.
9.若为等差数列，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 是数列中的项
C. 数列单调递减 D. 数列前项和最大
10.下列曲线在处的切线的倾斜角为钝角的是( )
A. 曲线 B. 曲线
C. 曲线 D. 曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分。
11.设等差数列的前项和为，若，，则公差 ．
12.函数的单调递减区间为______．
13.设函数，若，则 ______．
14.已知函数，是的导函数，则______．
四、解答题：本题共4小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列为等差数列．
，，求；
若，求．
16.本小题分
等比数列的公比为，且，，成等差数列．
求数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
17.本小题分
已知
Ⅰ求曲线在处的切线方程．
Ⅱ求的单调递增区间．
18.本小题分
已知：函数．
若，求的单调性；
若在上是增函数，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：对于，，解得，不是正整数，故A错误；
对于，，解得，，均不是正整数，故B错误；
对于，，解得，不是正整数，故C错误，
对于，，解得或，
故数列的第项为．
故选：．
依次将选项中的代入，解出的值，即可求解．
本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：对，，正确；
对，，错误；
对，，错误；
对，，错误．
故选：．
根据常用函数的求导公式和复合函数的求导法则即可判断．
本题考查了基本初等函数和复合函数的求导公式，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：已知等差数列，，，
设数列的公差为，
得，
则．
故选：．
根据已知结合等差数列的通项公式先求出公差，再根据片段和的关系计算结果即可．
本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
设的公比为，则，求出，由此能求出．
【解答】
解：设的公比为，则，
所以，所以．
故答案选：．
5.【答案】
【解析】解：结合函数图象可知，当时，单调递减，即，
故选：．
先找出函数单调递减的范围，即可求求解．
本题主要考查了导数与单调性关系，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：由已知点在切线上，所以，
切点处的导数为切线斜率，所以，
即，
故选：．
点在切线上，容易求出，就是切线的斜率，可得结论．
本题考查导数的几何意义，本题属于基础题，有一定的代表性．
7.【答案】
【解析】解：设个人分得的面包个数分别为、、、、，
则等比数列、、、、的公比为，且，则，
由题意可得，即，整理可得，
因为，解得，
因为，解得，
所以中间一份面包的个数为．
故选：．
设个人分得的面包个数分别为、、、、，则等比数列、、、、的公比为，且，根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求得的值．
本题主要考查等比数列的通项公式，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：对：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列，，，，，，的通项公式；
对：当为奇数时，或，当为偶数时，，不符合数列，，，，，，的通项公式；
对：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列，，，，，，的通项公式；
对：当为奇数时，，当为偶数时，，符合数列，，，，，，的通项公式．
故选：．
根据给定的通项公式求出前几项判断是否符合已知数列各项．
本题主要考查数列的概念及简单表示法，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：在等差数列中，由，，
得，则，
，则数列单调递减，故AC正确；
由，解得，故B错误；
由，解得，，，则数列前项和最大，故D错误．
故选：．
由已知求得首项与公差，然后逐一分析四个选项得答案．
本题考查等差数列的通项公式与前项和，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】
【解析】解：对于，由曲线，得，，
则曲线在处的切线的倾斜角为锐角，故A错误；
对于，由曲线，得，，
则曲线在处的切线的倾斜角为钝角，故B正确；
对于，由曲线，得，，
则曲线在处的切线的倾斜角为钝角，故C正确；
对于，由曲线，得，，
则曲线在处的切线的倾斜角为锐角，故D错误．
故选：．
求出四个选项中函数的导函数，得到函数在处的导数值，即切线的斜率，再由导函数值的符号判断．
本题考查导数的几何意义及应用，考查运算求解能力，熟记基本初等函数的导函数是关键，是中档题．
11.【答案】
【解析】解：因为等差数列的前项和为，，
则，
则公差．
故答案为：．
由已知结合等差数列的求和公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的求和公式，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：函数的定义域为
令得，
函数的单调递减区间是
故答案为，
求出函数的定义域，求出函数的导函数，令导函数小于等于求出的范围，写出区间形式即得到函数的单调递减区间．
本题考查函数的单调区间的问题，一般求出导函数，令导函数大于求出的范围为单调递增区间；令导函数小于求出的范围为单调递减区间；注意单调区间是函数定义域的子集．
13.【答案】
【解析】解：由题意知，由，解得．
故答案为：．
求导，由列出方程，求出答案．
本题主要考查导数的运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：，
则，
则，
解得：．
故答案为：．
根据导数的公式求导，进而求得即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，比较基础．
15.【答案】解：设公差为，
由，解得，
所以．
因为，
所以．
【解析】根据等差数列的定义求出首项公差即可；
根据等差数列的性质和前项和公式求解．
本题主要考查等差数列的通项公式及前项和公式，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
16.【答案】解：等比数列的公比，且，，成等差数列，
，
，
，又，
；
，
．
【解析】根据等差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，即可求解；
根据分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，即可求解．
本题考查差数列的性质，等比数列的通项公式，方程思想，分组求和法，等差数列与等比数列的求和公式，属中档题．
17.【答案】解：Ⅰ，
，
，
又，
所求切线方程为：，
即：，
Ⅱ令，
则，
解得：或，
函数的增区间为：，．
【解析】本题考察了函数的单调性，导数的应用，求切线方程问题，本题是一道基础题．
Ⅰ先求出，从而，又，进而求出切线方程，
Ⅱ令，则，解不等式即可求出单调递增区间．
18.【答案】解：，
，
，
，
．
将代入得，，
令，得或．
在上单调递减，在上单调递增．
在上是增函数，
在上恒成立，
，
当时，是增函数，其最小值为，
，则实数的取值范围是．
【解析】求出导函数，利用，求出的值，解不等式，，即可求出的单调性；
利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围．
本题考查导数的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
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