09年中考复习及答题指导-数学
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文档简介
回顾经典考题，向中考冲刺
一 选择题：
一 数与式的基本考法和应解策略
1. 数与式的有关概念；
2. 数与式的运算和变形；
3. 重点考察“列式”的功能；
二 方程思想的考法和应解策略
1 对方程和不等式的解的意义要真正理解并能恰当运用；
2 对方程和不等式的解法要以规范来落实准确；
3 要学会用“逐步抽象法”思考列方程：
4 凡是有关“求值”的问题，不管在怎样的背景和情景中，绝大多数情况都可以借助“构造方程”来解决。
1．下列计算正确的是（ ）D
A． B．
C． D．
7．用 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么
这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）A
A． B． C． D．
9．天平右盘中的每个砝码的质量为1g，则物体质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为【 】C
15．为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）A
A． B．
C． D． HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4
16．某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个,则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件 设原计划每天生产x个,列方程式是（ ）B
A. B.
C. D.
27.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为_____m． 4
10．如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆长为1.2米，测得米，米．
则楼高是（ ）B
A．6.3米 B．7.5米
C．8米 D．6.5米
28．某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价_____.
2 北京2008年第29届奥运会火炬接力活动历时130天，传递总里程13.7万千米，传递总里程用科学记数法表示为（ ）A
（A）1.37×105千米 （B）1.37×104千米
（C）1.37×103千米 （D）1.37×102千米
3．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7 (平方毫米)，这个数用科学记数法表示为（ ）. C
A．7×10－6 B．0.7×10－6 C．7×10－7 D．70×10－8
4．在2008年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）．D
A．调查的方式是普查 B．本地区只有85个成年人不吸烟
C．样本是15个吸烟的成年人 D．本地区约有15%的成年人吸烟
5．图1是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）A
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）C
8．下列图形中，是位似图形的有【 】C
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
11．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）B
12．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，
这两种基本图形是（ ）D
① ② ③ ④ ⑤
A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
13．如图，在等腰三角形中，，点是底
边上一个动点，分别是的中点，若
的最小值为2，则的周长是（ ）D
A． B． C． D．
三 函数知识构成的三个支点：
1 掌握好函数的意义和表示法；
2 掌握好函数关系式的建立方法；
其一，待定系数法；
其二，直接列式法；
其三，借助等式导出法；
3 掌握好函数的性质及其应用；
14．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）C
( http: / / www. / )
24．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p＝ ．
17.如图，三个大小相同的正方形拼成六边形，一动点从点出发沿着→→→→ 方向匀速运动，最后到达点.运动过程中的面积（）随时间（t）变化的图象大致是（ ）B
四 基本图形的性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，能否得心用手的运用基本图形，则要靠以下两点：
1 对基本图形的掌握的深刻程度；
2 基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的；
一 线段的功能与运用
其一，线段的两种变换性质；
其二，线段中点的三项功能；
1 构造三角形的中线，平分三角形的面积；
或利用直角三角形的中线的特色功能；
23．（本小题满分10分）操作示例
如图1，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则S△ABD= S△ADC.
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+ S2+ S3+ S4=？
2 构造三角形的中位线
23.（本小题满分10分） 探索：公园里有一块四边形的空地ABCD，已知AC=6m，BD=8m，且AC⊥BD.
（1）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1.证明四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）如图，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.则四边形A1B1C1D1的面积为 和四边形A2B2C2D2的面积为 ；
发现：
（3）……如此下去得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 ；
应用：
（4）公园想对这块空地分层次绿化，按照上述划分方法，计划在第三次得到的空地上种植月季，请你求出月季花种植的面积.
3 构造中心对称图形
功能2的引例：
23 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°，AD=a，BC=b，AB=c，
操作示例
我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，裁掉△PEC，并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图2）．
思考发现
小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上．又因为在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，则∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形．
实践探究
（1）矩形ABEF的面积是 ；（用含a，b，c的式子表示）
（2）类比图2的剪拼方法，请你就图3和图4的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图．
联想拓展
小明通过探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．
如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．
24．（本题满分10分）已知正方形ABCD和等腰，BE=EF，∠BEF=，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转，再连结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.
图1 图2 图3
再如：北京市2008年26题
其三，线段的垂直平分线的性质。
24．（本小题满分10分）
四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．请解释：点P是四边形AB CD的准等距点．
二 角平分线的功能及运用
1 以角平分线的对称功能做轴对称图形；
例3 （2008年，临汾） 已知∠MAN，AC平分∠MAN。
⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
⑶在图3中：
①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC;
②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。
25．解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAB＝∠CAD＝60°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，
∴AB＝AD＝AC，
∴AB＋AD＝AC。
⑵成立。
证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。
∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,
∴∠CDE＝∠ABC,
∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,
∴AB＋AD＝AC
证法二：在AN上截取AG＝AC，连接CG.
∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,
∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,
∴BG＝AD,
∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，
⑶①;
②. 证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，
在Rt△AFC中，,即,
∴,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，
点评：本题以特殊化过程对发现解决问题规律的作用为基点设计，试题描述从“特殊情况入手：先从特殊的基本图形出发，解决简单的、熟悉的问题后，将陌生的一般问题进行转化，从而找到解决策略。整个过程创设了一个较好的问题情境，有效地凸显出化归和转化在问题解决中的作用，一定程度上体现了对学生考场及时学习能力的考查。
2 角平分线与平行线结合构造出等腰三角形；注：平行四边形和特殊的平行四边形、梯形，因为本身就有平行线，所以，当这些图形中再有角平分线时，必然就会形成等腰三角形。这就为解决许多相关问题提供了依据。
3 等腰三角形，等腰直角三角形，正方形绕顶点的旋转重合性；
等边三角形的两邻边具有60度的旋转重合性，及绕中心的120度的旋转对称性；
10. 如图5，已知正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、 CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是
例4（2008年，天津）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解法：（Ⅰ）证明 ： 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△．
有，，，．
又由，得 ．
由，
，
得． 又，
∴△≌△． 有，．
∴．
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即．
（Ⅱ）关系式仍然成立．
证明 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△． 有，，
，．
又由，得 ．
由，
．
得． 又，∴△≌△．
有，，，
∴．
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即．
点评：本题充分体现了通过对于复杂图形中某部分图形的变换，形成新的图形，由此构造出问题的命题思路。本题的情境较为复杂，要求学生在众多的可变元素中确定不变的元素，有利于全面考查探索过程（类比、归纳能合情推理等在整个思维过程中能得到充分的体现），从而较为有效地发挥了证明题在考查学生观察、数学表达、猜想、证明等数学活动方面能力的功能。
以2008年 黑龙江双鸭市的考题为例，
已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
解：（1）成立．
如图，把绕点顺时针，得到，
则可证得
三点共线（图形画正确）
证明过程中，
证得：
证得：
（2）
展望点评：
1、 这类试题展现了一个课题研究的全过程：从问题的提出、探究与发现、实验与验证到猜想与证明、拓展与延伸。较好地考查了学生对“探究发现”部分内容的理解和运用。
2、 这类试题的设计也为学生进行数学观察、数学表达、猜想（类比、归纳）、证明等活动提供了适宜的空间，同时也为表达这些活动的结果提供了较为恰当的条件，较好地体现了通过对于复杂图形中某部分图形的变换，形成新图形过程中所出现的数学现象的考查，具有较好的效度和区分度。
3、 学生正确解答本题既可以完整地经历问题的提出、探究、发展的全过程，又可以充分体验感受从特殊到一般、类比、猜想、拓展等一般性数学方法，较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知的能力，以及运用知识解决问题的能力。
由此可见，在2009年的河北省种考试卷上，这类试题所占的比重，不可能降低，应该会和2008年种考试卷中的比重相同或有所加强。
五 几何的计算的方法和功能
初中数学的几何计算，一般都最终归结为对线段或角的计算，分为两大类：
其一是线段类的计算，一般通过相似、勾股定理、锐角三角函数来解决；其二是角的计算，一般通过内角和定理、三角形内外角的关系、互补互余定义、锐角三角函数、圆的有关知识等来解决。
19、如图，直线被直线所截，且∥，若∠1=60°，
则∠2的度数为 . 60°
6．如图2，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，
PB=4，则⊙O的半径等于
A． B．
C． D．
21．(本小题满分8分)
我市“三年大变样”城市建设期间，欲拆除民心河岸边的一根电线杆AB(如图8)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡度为2：1，岸高为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否需将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：)
26．（本小题满分12分）
如图，在直角梯形ABCD中.AB∥CD，AB=12，CD=6，DA=3，∠D=∠A=90°，点P沿AB边从点A开始向点B以每秒2个单位长的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以每秒1个单位长的速度移动，如果P、Q同时出发，当两点中一点停止，另一点随之停止. 设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t为何值时．△QAP为等腰三角形；
（2）设四边形QAPC的面积为S，请你说明该面积为一个不变的数值；
（3）是否存在这样的t,使得∠PCQ=90°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（4）请你探究△PBC能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
26．（本小题满分12分）
已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
26． 解：（1）在Rt△ABC中，，
由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
∴，
∴，
∴．
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH ∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）若PQ把△ABC周长平分，
则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴，
解得：．
若PQ把△ABC面积平分，
则， 即－＋3t=3．
∵ t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴， ∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时， ，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP ′ C边长为．
六 图形与坐标的知识和要点，把几何图形放在坐标系中，则图上的点便都对应上了坐标，所以此类问题的核心就是求出图形上有关点的坐标。
如函数的图像信息题，动点问题等。
25.（本题满分12分）
如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.
（1） 求的长；
（2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？
（3） 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值.
②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.
七 变换的应用要点和思考
其一，变换引发的画图问题；
其二，变换引出的计算问题；
其三，变换引出的试图与构图的新视角与解题的新方法。
其四，变换视角下的图形间的关系：
1 如果题目的背景图形是轴对称图形，辅助线的找寻等难点往往就是对称轴；如果整个背景不是轴对称图形，要关注某个或某些部分是否具有对称性；
23．（本小题满分8分）
如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2 从旋转变换视角识别图形和构造图形
10、如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转， ( http: / / www.1230.org )点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.
说明：未用举反例的方法说理的不得分.
⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图8-1中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .
从而有 BE=DF
24．（本题满分10分）
如图13，点是等边三角形的中心，，且绕顶点旋转．这个角的两边与的两边分别交于M、N两点，随着的旋转，两点的位置也在变化．取变化过程中点两次静止的状态，如图13－1和图13－2．
（1）试用刻度尺在图13－1和图13－2中分别量得的长度，猜测间的数量关系，并借助图2说明理由．
（2）图13－3是的两边分别与的两边的延长线分别交于两点，猜测间存在怎样的数量关系，并说明理由．
（3）随着的旋转，两点的位置也在变化，若在的两边的延长线上，请直接写出间的数量关系．
24．（本题满分10分）
已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
（1）求证：①；②是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点．求证：．
例5．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图5－1），易证．
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图5－2和图5－3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【考法评析】本题将图形的旋转同直角三角形的相关知识有机结合起来，系统考查学生的合情推理和演绎推理能力，具有较好的区分度．点评：以上两题在呈现证明题的形式上做了改进，特别是将要证明的结论隐去，要学生发现并证明结论，实际上从归纳发现和演绎证明两个维度考查了学生的数学说理。因此，从题型运用的角度看，它们强化了证明题考查推理和证明能力的功能。两道题目给考生呈现一个实验操作的过程，要求学生对基本图形，如平行四边形或正方形，进行变换，折叠或旋转，然后直观判断图形中几何元素的关系，并在此基础上进行论证，在一定程度上也考查了合情推理，使得推理能力的考核更加全面。
例19．如图9，已知中，，，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
⑴ 在图9中，DE交AB于M，DF交BC于N．
① 证明；
② 在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵ 继续旋转至如图9的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 继续旋转至如图9的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
3 从平移变换的视角来构图和解图
例1 （河北，2007年）如图15—1①在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15—1①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
⑴ 在图15—1①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑵ 当三角尺沿AC方向平移到图15—1②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑶ 当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图15—1③所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
【分析】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，图①、②、③对应的几何图形就是：
它们就是我们早已熟悉的基本模式：“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离的和都等于这个三角形一腰上的高”.至此，本题的解法已是显而易见．
例4 如图15—4，已知矩形，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边△PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G、H．
⑴ 求△PEF的边长；
⑵ 若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边△PEF在矩形ABCD内平移的有关问题．首先，把矩形ABCD的情况搞清楚：
在已知数据的基础上易知，即
．
其次，把△PEF在矩形ABCD内平移中的各类形态集中在图①中，进行观察和比较，容易看到：
第一，在特殊情况（E重合于B时），由Rt△AB(E′)P′可计算出．即△PEF的边长为2．
第二，比较△PEF和△P′E′F′两种形态对应的图形情况，有PH=PA=PP′+P′A=BE+1，再比较△P″E″F″和△P′E′F′两种形态所对应的图形的情况，有P″F″（H″）= P″A= P″P′+ P′A=BE″+1．这就促使我们形成了对PH和BE数量关系的猜想，并找到了其根据．至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行．
解：⑴ 过P作PQ⊥BC于Q，如图②，在Rt△PEQ中，
∵．
⑵ PH和BE的数量关系是PH=BE+1．理由如下：
作BP′∥PE，交AD于P′，如图③．
在Rt△BP′A中，BP′=2，∠ABP′=30°，∴AP′=1．
∵∠PAH=∠PHA=30°，∴PH=PA=PP′+ P′A=BE+1．
【说明】正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现△PEF平移反映的不变性．
24. （本小题满分10分）
已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是斜边AB的中点，有一顶点为P的直角角尺在直线AB上滑动，滑动过程中始终保持点在直线AB上，且角尺的两边始终与AC、BC垂直，垂足分别为点E、F．
（1） 如图11-1，当点与点Ｄ重合时，通过观察与测量，猜想DE与DF的数量关系;
（2） 当角尺运动到图11-2所示的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3） 如图11-3，当点在BA的延长线上时，角尺的两边所在的直线分别与CA、BC的延长线交于点、F，（1）中的结论还成立吗？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
二 填空题：
18．分解因式 ．或
20．如图，数轴上表示数的点是 ．
21．函数的自变量的取值范围是 .
22．已知：⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与⊙O的位置关系是 ．相交
23．如图，奥运五环旗上的五个环可以近似地看成五个圆，这五个圆反映出的圆与圆的位置关系有 或者 ．相交；外离
25．小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ．
26 2008年6月2日，奥运火炬在荆州古城传递，208名火炬手参加了火炬传递，其中8位火炬手所跑的路程（单位：米）如下：60，70，100，60，80，70，90，100，则这组数据的中位数是 . 75
29．图7是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1,0)，安化县城所在地用坐标表示为(-3，-1)，那么南县县城所在地用坐标表示为 . （2,4）
30．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则
三 解答题：
19题经典回顾：
例1.（本题满分7分）
先化简，再求值：
，其中满足.
解：
=
或
当时，分式无意义．
原式的值为2．
20题经典回顾：
例1．（本题满分8分）李明对某校九年级（2）班进行了一次社会实践活动调查，从调查的内容中抽出两项．
调查一：对小聪、小亮两位同学的毕业成绩进行调查，其中毕业成绩按综合素质、考试成绩、体育测试三项进行计算，计算的方法按进行，毕业成绩达80分以上（含80分）为“优秀毕业生”，小聪、小亮的三项成绩如右表：（单位：分）
综合素质 考试成绩 体育测试
满分 100 100 100
小聪 72 98 60
小亮 90 75 95
调查二：对九年级（2）班50名同学某项跑步成绩进行调查，
并绘制了一个不完整的扇形统计图，如图14．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？哪位同学的毕业成绩更好些？
（2）升入高中后，请你对他俩今后的发展给每人提一条建议．
（3）扇形统计图中“优秀率”是多少？
（4）“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
解：（1）小聪成绩是：（分）
小亮成绩是：（分）
小聪、小亮成绩都达到了“优秀毕业生”水平．
小亮毕业生成绩好些．
（2）小聪要加强体育锻炼，注意培养综合素质．
小亮在学习文化知识方面还要努力，成绩有待进一步提高．
（3）优秀率是：．
（4）“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是：
．
例2．
例2．（本题满分8分）
某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下）
（1）求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；
（2）求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；
（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；
（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？
解：(1)4%；(2)72；(3)B
(4)依题意,知：A级和B级学生的人数和占全班总人数的76%，所以500×76%=380，所以估计这次考试中A级和B级的学会上共有380人．
例3．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C在B的正北方，A在C的南偏东47°方向且在B的北偏东43°方向．A地每年产奶3万吨；B地有奶牛9 000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20％，三河牛的头数占35％，其他情况反映在图2，图3中．
（1）通过计算补全图3；
（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？
（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元（即1元/吨·千米时，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？
解：(1)只要条形高度约在3 500左右即可评1分
(注：条形图上未标注数字3 500不扣分)
(2 )C地每头牛的年平均产奶量为
（或5×20％＋3.1×35％＋2.1×45％）
＝3.03 (吨) ，(2分)
而B地每头牛的年平均产奶量为3 吨，
所以，C地每头牛的年平均产奶量比B地的高. (3分)
(3)由题意：C地每年产奶量为10 000×3.03＝3.03万吨，
B地每年产奶量为9 000×3＝2.7万吨，A地每年产奶量为3万吨.(4分)
(注：此处为独立得分点，计算出B,C中一地的年产奶量即可评1分)
由题意，∠CBA＝43°,∠ACB＝47°，∴∠BAC＝90°，(5分)
∵BC＝100(千米)，
∴AB＝100×sin47°≈100×0.731＝73.1(千米) ，
∴AC＝100×sin43°≈100×0.682＝68.2(千米)，(6分)
(注：此处为独立得分点，计算出上面两个结果中任一个即可评1分)
如果在B地建厂，则每年需运费
W1＝73.1×3×1＋100×3.03×1＝219.3＋303＝522.3(万元)(7分)
如果在C地建厂，则每年需运费
W2＝68.2×3×1＋100×2.7×1＝204.6＋270＝474.6(万元)
而522.3>474.6
答：从节省运费的角度考虑，应在C地建设工厂.(8分)
21 题经典回顾：
例1 某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图12所示，，斜坡长，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，问至少是多少米？
21．（本小题满分9分）
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点）的南偏东方向的点生成，测得．台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图12所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点的坐标为 ，台风中心转折点的坐标为 ；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
解：（1），；
（2）过点作于点，如图2，则．
在中，，，
．．
，，
台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．
22 题经典回顾：
例1 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在轴，轴上，线段OA=6，OB=12，C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）C点坐标为 ；
（2）求直线AD的解析式；
（3）直线OC绕点O逆时针旋转90°，求出点D的对应点D＇的坐标．
解：（1）（3，6）
(2)作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，则OE=OA=3，CE=OB=6
∵DF∥CE，，得OF=2，DF=4
∴ 点D的坐标为(2，4)
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得 解得
∴ 直线AD的解析式为y=-x+6
(3) 作⊥x轴于点M
由旋转可知：∠DOD’=90°，OD=OD’
∴∠MOD’+∠DOF=90°
∵∠ODF=90° ∴∠ODF+∠DOF=90°
∴∠ODF=∠MOD’
∴△MOD’≌△ DOF
∴D’M=OF=2，OD’=DF=4
又∵点D‘在第二象限 ∴D’点坐标为（-4，2）
例2、2008年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．
（1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？
（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？
解：(1)乙队先达到终点，(1分)
对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x，(2分)
对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx＋b，
将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得：
解得：y＝10x＋10(3分)
（第9题）
解方程组 得：x＝，即：出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队.(4分)
（2）1小时之内，两队相距最远距离是4千米，(1分)
乙队追上甲队后，两队的距离是16x－(10x＋10)＝6x－10，当x为最大，即x＝时，6x－10最大，(2分)此时最大距离为6×－10＝3.125＜4，（也可以求出AD、CE的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远(3分)
例3．（本小题满分10分）
武警战士乘一冲锋舟从地逆流而上，前往地营救受困群众，途经地时，由所携带的救生艇将地受困群众运回地，冲锋舟继续前进，到地接到群众后立刻返回地，途中曾与救生艇相遇．冲锋舟和救生艇距地的距离（千米）和冲锋舟出发后所用时间（分）之间的函数图象如图所示．假设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．
（1）请直接写出冲锋舟从地到地所用的时间．
（2）求水流的速度．
（3）冲锋舟将地群众安全送到地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与地的距离（千米）和冲锋舟出发后所用时间（分）之间的函数关系式为，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离地多远处与救生艇第二次相遇？
解：（1）24分钟
（2）设水流速度为千米/分，冲锋舟速度为千米/分，根据题意得
解得
答：水流速度是千米/分．
（3）如图，因为冲锋舟和水流的速度不变，所以设线段所在直线的函数解析式为
把代入，得
线段所在直线的函数解析式为
由求出这一点的坐标
冲锋舟在距离地千米处与救生艇第二次相遇．
25．（本小题满分12分） 用汽船拖载重量相等的满载货物的小船若干只，在两港之间来回运送货物．已知每只小船的载重量为5吨，每次拖4只小船，一天能来回16次；每次拖7只小船，一天能来回10次．并且知道每天来回次数y（次）是拖小船只数x（只）的一次函数（一天中每次拖小船只数不变）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设运货的总重量为G（吨），请你求出G与x之间的函数关系式；
（3）求每天来回多少次，每次拖小船多少只，才能使运货总重量G（吨）达到最大？并求出这个最大值．
25．（本小题满分12分）某县决定资助部分村镇修建一批沼气池．河湾村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：
沼气池 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 占地面积（m2/个）
A型 3 20 48
B型 2 3 6
政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；
（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．
22.（本题满分10分）某中学足球队参加全市中学这联赛，积分规则如下表。联赛共进行了12轮（即每队比赛了12场），该中学足球队共得19分。若胜得场数为x，负的为y，求y与x的函数关系式。
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
解：设平的场数为z,由题意得
23 题经典回顾：
23．（本题满分10分）
例1 已知，△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则S△ABD＝________.
（2） 如图2，①若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，则S△OBD____S△OEC（填“＞”“＜”或“＝”）.
②S四边形ADOE＝_____________.
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AC＝1：3，求S四边形ADOE的面积可以用如下方法：连结AO，由AD：DB＝1：3得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AOE，设S△ADO ＝x，S△CEO＝y，则S△BDO ＝2x ，S△AEO＝3y，由题意得：S△ABE ＝S△ABC＝40，S△ADC ＝S△ABC＝15，可列方程组为：
（4）如图，矩形ABCD的面积为36，在AB、CD边上取点E、F，使得AE＝3BE，DF＝2FA.DE、CF的交点为O.请你计算△DOF的面积，并说明理由.
23．解：（1）30
（2）＝，20
（3）13
（4）连结OA、OB
设S△OAF＝x，S△OBE＝y，则S△ODF＝2x ，S△OAE＝3y，
∵则S△AED＝1/2×27=13.5， S△CDF＝12
∴S△OCD＝12 －x
∴
解得：x＝2，y＝2.5
∴△DOF的面积=2x=4
例2．（本题满分10分）
如图9，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）
（1）当动点落在第①部分时，求证：；
（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
解：（1）解法一：如图9-1
延长BP交直线AC于点E
∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .
∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .
解法二：如图9-2
过点P作FP∥AC ,
∴ ∠PAC = ∠APF .
∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .
∴ ∠FPB =∠PBD .
∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .
解法三：如图9-3，
∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°
即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,
∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .
选择(a) 证明：
如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图9-5
∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
选择(c) 证明：
如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .
例3．（本小题满分10分）
提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．
解：⑵ ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． ……………………………4′
⑶ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ； ……………………………5′
⑷ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ；
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． ……………………………8′
问题解决： S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． ……………………………10′
24 题经典回顾：
例1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
解:
(1)①
②仍然成立 ……………………………………………………1分
在图（2）中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴ ，，
∴…………………………………………………………………1分
∴ （SAS）………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ …………………………………………………………………………1分
（2）成立，不成立 …………………………………………………2分
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴………………………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ ……………………………………………………………………………1分
（3）∵ ∴
又∵，， ∴ ……1分
∴ ……………………………………1分
例2．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解（Ⅰ）证明 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△． 1分
有，，，．
又由，得 ． 2分
由，
，
得． 3分
又，
∴△≌△． 4分
有，．
∴． 5分
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即． 6分
（Ⅱ）关系式仍然成立． 7分
证明 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△． 8分
有，，
，．
又由，得 ．
由，
．
得． 9分
又，
∴△≌△．
有，，，
∴．
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即． 10分
25 题经典回顾：
例1．（本题满分12分）
某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）.（年获利＝年销售额－生产成本－投资成本）
（1）请你求出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价.
解：（1）y=20－·0.8 ……………………………………2分
即： y =－x＋28…………………………………………3分
（2）w=x·y－40y－（1520＋480）……………………………5分
=x（－x＋28）－40(－x＋28)－2000
w =－x2＋－2728…………………………………………6分
w = －x2＋－78
所以投资的第一年是亏损的，亏损78万元
（3）由题意得：（－x＋28）（x－40）－78=1842…………………………9分
x2 －390x＋38000=0………………………………………10分
解得：x1=190，x2=200……………………………………………11分
答：（略）…………………………………………………………………12分
例2 一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出)
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？
(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？
解：(1)
得：
(2)∵ ∴
∴ ∴每份售价最小不低于9元
(3)依题意，，当时
，可卖份
而当时，元，卖400份
由题意比较得：每份套餐的售价应定为12元，此时日净收入为
(元)
例3．（本题10分）“5 12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元.这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系(如图).
（1）求y1与x的函数解析式；
（2）求五月份该公司的总销售量；
（3）设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）
（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.
例4．（本题满分10分）
某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：
（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金元；
（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表1的办法分段处理：
表1
分段方式 处理方法
不超过150元（含150元） 全部由个人承担
超过150元，不超过10000元（不含150元，含10000元）的部分 个人承担，剩余部分由公司承担
超过10000元（不含10000元）的部分 全部由公司承担
设一职工当年治病花费的医疗费为元，他个人实际承担的费用（包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的医疗公积金元）为元．
（1）由表1可知，当时，；那么，当时， ；（用含的方式表示）（3分）
（2）该公司职员小陈和大李2007年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表2：
表2
职工 治病花费的医疗费（元） 个人实际承担的费用（元）
小陈 300 280
大李 500 320
请根据表2中的信息，求的值，并求出当时，关于函数解析式；（5分）
（3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？（直接写出结果）（2分）
解：（1） 3分
（2）由表2知，小陈和大李的医疗费超过150元而小于10000元，因此有：
5分
解得： 6分
．
． 8分
（3）个人实际承担的费用最多只需2220元． 10分
例5．我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．
经过调查，得到如下数据：
销售单价（元∕件） …… 30 40 50 60 ……
每天销售量（件） …… 500 400 300 200 ……
（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；（4分）
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（4分）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（2分）
解：由图可猜想与是一次函数关系，
设这个一次函数为= +（k≠0）
∵这个一次函数的图象经过（30，500）
（40，400）这两点，
∴ 解得
∴函数关系式是：=－10+800
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W=（－20）（－10+800）
=－10+1000-16000
=－10（－50）+9000
∴当=50时，W有最大值9000．
所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
（3）对于函数 W=－10（－50）+9000，当≤45时，
W的值随着值的增大而增大，
∴销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
26 题经典回顾：
例1．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
【解析】 ⑴ 线段与的位置关系是；
． 2分
⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交于点，连结．
是线段的中点，
．
由题意可知．
．
，
．
，．
四边形是菱形，
，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，．
．
即．
，，
，．
． 6分
⑶ ． 8分
例2．（本小题满分12分）
已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
24．（本小题满分12分）
解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．
即t＝(3－t )，
t＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．
3－t＝t，
t＝2 (秒)．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． …………………4′
⑵ 过P作PM⊥BC于M ．
Rt△BPM中，sin∠B＝，
∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )．
∴S△PBQ＝BQ·PM＝· t ·(3－t )．
∴y＝S△ABC－S△PBQ
＝×32×－· t ·(3－t )
＝．
∴y与t的关系式为： y＝． …………………6′
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC＝S△ABC ．
∴＝××32×．
∴t 2－3 t＋3＝0．
∵(－3) 2－4×1×3＜0，
∴方程无解．
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′
⑶ 在Rt△PQM中，
MQ＝＝．
MQ 2＋PM 2＝PQ 2．
∴x2＝[(1－t ) ]2＋[(3－t ) ]2
＝
＝＝3t2－9t＋9． ……………………………10′
∴t2－3t＝．
∵y＝，
∴y＝＝＝．
∴y与x的关系式为：y＝． ……………………………12′
例3．（本小题满分12分）
如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．
（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：
①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知两点的坐标分别为．
设直线所对应的函数关系式为．
有解得
所以，直线所对应的函数关系式为．
（2）①点到轴距离与线段的长总相等．
因为点的坐标为，
所以，直线所对应的函数关系式为．
又因为点在直线上，
所以可设点的坐标为．
过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．
因为点在直线上，所以有．
因为纸板为平行移动，故有，即．
又，所以．
法一：故，
从而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
从而总有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故点坐标为．
设直线所对应的函数关系式为，
则有解得
所以，直线所对的函数关系式为．
将点的坐标代入，可得．解得．
而，从而总有．
②由①知，点的坐标为，点的坐标为．
．
当时，有最大值，最大值为．
取最大值时点的坐标为．
例4．（本题满分12分）
如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．
（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；
（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．
28．（本题满分12分）
解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，．
．．
点坐标为（2，4）． 2分
在中，， 又．
． 解得：．
点坐标为 3分
（2）如图①，．
，又知，，
， 又．
而显然四边形为矩形．
5分
，又
当时，有最大值． 6分
（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）
在中，，，为的中点，
．
又，为的中点．
过点作，垂足为，则是的中位线，
，，
当时，，为等腰三角形．
此时点坐标为． 8分
（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）
在中，．
过点作，垂足为．
，．
．
，．
，，
当时，（），此时点坐标为． 11分
综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或． 12分
(第14题)
(图1) (图2) (图3)
(第22题)
A
B
D
C
（第17题图）
.
.
.
·
第20题图
4
3
2
1
0
A．
B．
C．
D．
A
B
C
A
B
C
P
M
N
C
O
A
B
D
A
D
C
图4
图3
B
C
D
A
图7
南县
益阳
安化
2
1
3
图1
E
D
P
C
B
A
图1
C
D
B
A
E
A．
B．
C．
D．
x/km
0
20
0.2
0.3
1.2
B
y1
y2=0.005x+0.3
x(台)
y(万元)
不及格
O
图14
36%及格
18%
良好
优秀3人
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-1
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-2
P
M
N
y
x
B
C
O
A
D
E
图①
P
M
N
F
y
x
B
C
O
A
D
E
图②
P
M
N
F
F
E
第23题图
图5
B
C
D
A
图3
图2
图4
A
B
F
C
D
E
图1
图5
A
D
B
E
C
F
E
D
P
C
B
A
图2
B
③
②
①
B
A
P
G
C
D
④
图9
④
③
②
①
④
③
②
①
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
D
C
G
P
A
B
E
F
H
A
O
E
G
B
F
H
N
C
P
I
x
y
M
（第24题图）
D
II
A
O
E
G
B
F
H
N
C
P
I
x
y
M
K
II
N
C
M
N
C
N
C
B
M
B
B
G
x（分）
y（千米）
O
10
20
12
44
a
x（分）
y（千米）
O
10
20
12
44
a
b
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
c
b
c
a
c
b
a
c
c
a
b
c
a
c
a
b
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
C
A
B
E
F
D
M
N
C
A
B
E
F
M
N
G
A
y/km
x/km
图12
C
B
O
A
东
北
y/km
D
C
B
A
3
2
3
2
3
2
3
2
B
A
C
D
图1
A
B
C
D
E
O
图2
A
B
C
O
D
E
图3
x
3x
y
2y
x＋3y＝15
4x＋2y＝40
通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为______________.
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
3x＋3y＝13.5
12-2x＋4y＝18
O
B
C
图2
D
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
B
M
E
A
C
N
D
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
C
A
B
E
F
D
M
N
C
A
B
E
F
M
N
G
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
A
P
B
O
图2
D
A
B
E
F
图8
C
30°
第26题图
A
Q
C
P
B
图①
A
Q
C
P
B
图②
图①
B
A
Q
P
C
H
P ′
B
A
Q
P
C
图②
M
N
图13－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图5－2
图5－1
图8-2
图8-1
N
A
B
C
O
M
N
图13－1
N
A
B
C
M
N
O
图13－2
N
图13－3
A
B
C
O
M
N
P
Q
C
E
N
D
A
B
M
图①
C
A
E
M
B
D
N
图②
第24题图
图5－3
A
D
C
N
F
E
B
M
图9
A
D
C
N
F
E
B
M
图9
A
D
C
N
F
E
B
M
图9
A
B
C
D
E
F
G
图15—1③
A
B
C
F
G
图15—1①
A
B
C
E
F
G
D
图15—1②
A
F
G
B
C
AB=AC
BF⊥CA于F，CG⊥BA于G．
图①′
A
F
G
B
C
AB=AC，D为BC上一点，
DE⊥BA于E，DF⊥CA于F．
图③′
E
A
F
G
B
C
AB=AC，D为BC上一点，
DE⊥BA于E，DF⊥CA于F．
图②′
E
D
D
A
B
C
E
F
G
图7
H
D
图15—4
A
B
C
D
E
F
G
H
P
图①
A
B
C
D
E
F
G′
H
P′
G
P
H′
F′
(E′)
P″
E″
(F″)
图②
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
图③
A
B
C
D
E
F
H
P
P′
A
B
C
D(P)
F
E
A
B
C
P
E
F
D
D
E
F
P
图11-1
图11-2
图11-3
A
B
C
PAGE
15
一 选择题：
一 数与式的基本考法和应解策略
1. 数与式的有关概念；
2. 数与式的运算和变形；
3. 重点考察“列式”的功能；
二 方程思想的考法和应解策略
1 对方程和不等式的解的意义要真正理解并能恰当运用；
2 对方程和不等式的解法要以规范来落实准确；
3 要学会用“逐步抽象法”思考列方程：
4 凡是有关“求值”的问题，不管在怎样的背景和情景中，绝大多数情况都可以借助“构造方程”来解决。
1．下列计算正确的是（ ）D
A． B．
C． D．
7．用 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次，情况如图所示，那么
这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（ ）A
A． B． C． D．
9．天平右盘中的每个砝码的质量为1g，则物体质量m(g)的取值范围，在数轴上可表示为【 】C
15．为响应承办“绿色奥运”的号召，九年级（1）班全体师生义务植树300棵．原计划每小时植树棵，但由于参加植树的全体师生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是（ ）A
A． B．
C． D． HYPERLINK "http://www./" EMBED Equation.DSMT4
16．某人生产一种零件，计划在30天内完成，若每天多生产6个,则25天完成且还多生产10个，问原计划每天生产多少个零件 设原计划每天生产x个,列方程式是（ ）B
A. B.
C. D.
27.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如右图所示，已知AB=16m，半径 OA=10m，高度CD为_____m． 4
10．如图，利用标杆测量建筑物的高度，如果标杆长为1.2米，测得米，米．
则楼高是（ ）B
A．6.3米 B．7.5米
C．8米 D．6.5米
28．某种商品零售价经过两次降价后的价格为降价前的，则平均每次降价_____.
2 北京2008年第29届奥运会火炬接力活动历时130天，传递总里程13.7万千米，传递总里程用科学记数法表示为（ ）A
（A）1.37×105千米 （B）1.37×104千米
（C）1.37×103千米 （D）1.37×102千米
3．随着微电子制造技术的不断进步，电子元件的尺寸大幅度缩小，在芯片上某种电子元件大约只占0.000 000 7 (平方毫米)，这个数用科学记数法表示为（ ）. C
A．7×10－6 B．0.7×10－6 C．7×10－7 D．70×10－8
4．在2008年的世界无烟日（5月31日），小华学习小组为了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）．D
A．调查的方式是普查 B．本地区只有85个成年人不吸烟
C．样本是15个吸烟的成年人 D．本地区约有15%的成年人吸烟
5．图1是由几个小立方块搭成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方块的个数，那么这个几何体的主视图是（ ）A
A． B． C． D．
6．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）C
8．下列图形中，是位似图形的有【 】C
A．1个 B.2个 C.3个 D.4个
11．如图，每个小正方形边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与左图中相似的是（ ）B
12．右边的图案是由下面五种基本图形中的两种拼接而成，
这两种基本图形是（ ）D
① ② ③ ④ ⑤
A．①⑤ B．②④ C．③⑤ D．②⑤
13．如图，在等腰三角形中，，点是底
边上一个动点，分别是的中点，若
的最小值为2，则的周长是（ ）D
A． B． C． D．
三 函数知识构成的三个支点：
1 掌握好函数的意义和表示法；
2 掌握好函数关系式的建立方法；
其一，待定系数法；
其二，直接列式法；
其三，借助等式导出法；
3 掌握好函数的性质及其应用；
14．函数在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）C
( http: / / www. / )
24．某物体对地面的压力为定值，物体对地面的压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间的函数关系如图所示，这一函数表达式为p＝ ．
17.如图，三个大小相同的正方形拼成六边形，一动点从点出发沿着→→→→ 方向匀速运动，最后到达点.运动过程中的面积（）随时间（t）变化的图象大致是（ ）B
四 基本图形的性质与功能的再认识
所有几何图形问题的解决，几乎都要回归到基本图形的性质，能否得心用手的运用基本图形，则要靠以下两点：
1 对基本图形的掌握的深刻程度；
2 基本图形的各性质都是以怎样的方式发挥着作用的；
一 线段的功能与运用
其一，线段的两种变换性质；
其二，线段中点的三项功能；
1 构造三角形的中线，平分三角形的面积；
或利用直角三角形的中线的特色功能；
23．（本小题满分10分）操作示例
如图1，△ABC中，AD为BC边上的的中线，则S△ABD= S△ADC.
实践探究
（1）在图2中，E、F分别为矩形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S矩形ABCD之间满足的关系式为 ；
（2）在图3中，E、F分别为平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S平行四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
（3）在图4中，E、F分别为任意四边形ABCD的边AD、BC的中点，则S阴和S四边形ABCD之间满足的关系式为 ；
解决问题：
（4）在图5中，E、G、F、H分别为任意四边形ABCD的边AD、AB、BC、CD的中点，并且图中阴影部分的面积为20平方米，求图中四个小三角形的面积和，即S1+ S2+ S3+ S4=？
2 构造三角形的中位线
23.（本小题满分10分） 探索：公园里有一块四边形的空地ABCD，已知AC=6m，BD=8m，且AC⊥BD.
（1）如图，顺次连接四边形ABCD各边中点，得到四边形A1B1C1D1.证明四边形A1B1C1D1是矩形；
（2）如图，再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点，得到四边形A2B2C2D2如此进行下去得到四边形AnBnCnDn.则四边形A1B1C1D1的面积为 和四边形A2B2C2D2的面积为 ；
发现：
（3）……如此下去得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为 ；
应用：
（4）公园想对这块空地分层次绿化，按照上述划分方法，计划在第三次得到的空地上种植月季，请你求出月季花种植的面积.
3 构造中心对称图形
功能2的引例：
23 如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠A=90°，AD=a，BC=b，AB=c，
操作示例
我们可以取直角梯形ABCD的非直角腰CD的中点P，过点P作PE∥AB，裁掉△PEC，并将△PEC拼接到△PFD的位置，构成新的图形（如图2）．
思考发现
小明在操作后发现，该剪拼方法就是先将△PEC绕点P逆时针旋转180°到△PFD的位置，易知PE与PF在同一条直线上．又因为在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C+∠ADP=180°，则∠FDP+∠ADP=180°，所以AD和DF在同一条直线上，那么构成的新图形是一个四边形，进而根据平行四边形的判定方法，可以判断出四边形ABEF是一个平行四边形，而且还是一个特殊的平行四边形——矩形．
实践探究
（1）矩形ABEF的面积是 ；（用含a，b，c的式子表示）
（2）类比图2的剪拼方法，请你就图3和图4的两种情形分别画出剪拼成一个平行四边形的示意图．
联想拓展
小明通过探究后发现：在一个四边形中，只要有一组对边平行，就可以剪拼成平行四边形．
如图5的多边形中，AE=CD，AE∥CD，能否象上面剪切方法一样沿一条直线进行剪切，拼成一个平行四边形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图并作必要的文字说明；若不能，简要说明理由．
24．（本题满分10分）已知正方形ABCD和等腰，BE=EF，∠BEF=，按图1放置，使点F在BC上，取DF的中点G，联结EG、CG.
（1）探索EG、CG的数量关系和位置关系并证明；
（2）将图1中△BEF绕B点顺时针旋转，再连结DF，取DF中点G（如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；
（3）将图1中△BEF绕B点转动任意角度（旋转角在到之间），再联结DF，取DF的中点G（如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.
图1 图2 图3
再如：北京市2008年26题
其三，线段的垂直平分线的性质。
24．（本小题满分10分）
四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点．如图l，点P为四边形ABCD对角线AC所在直线上的一点，PD=PB，PA≠PC，则点P为四边形ABCD的准等距点．
(1)如图2，画出菱形ABCD的一个准等距点．
(2)如图3，作出四边形ABCD的一个准等距点(尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)．
(3)如图4，在四边形ABCD中，P是AC上的点，PA≠PC，延长BP交CD于点E，延长DP交BC于点F，且∠CDF=∠CBE，CE=CF．请解释：点P是四边形AB CD的准等距点．
二 角平分线的功能及运用
1 以角平分线的对称功能做轴对称图形；
例3 （2008年，临汾） 已知∠MAN，AC平分∠MAN。
⑴在图1中，若∠MAN＝120°，∠ABC＝∠ADC＝90°，求证：AB＋AD＝AC;
⑵在图2中，若∠MAN＝120°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明;若不成立，请说明理由;
⑶在图3中：
①若∠MAN＝60°，∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC;
②若∠MAN＝α（0°＜α＜180°），∠ABC＋∠ADC＝180°，则AB＋AD＝____AC（用含α的三角函数表示），并给出证明。
25．解:⑴证明:∵AC平分∠MAN，∠MAN＝120°，
∴∠CAB＝∠CAD＝60°，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴∠ACB＝∠ACD＝30°，
∴AB＝AD＝AC，
∴AB＋AD＝AC。
⑵成立。
证法一：如图，过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F。
∵AC平分∠MAN，∴CE＝CF.
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ADC＋∠CDE＝180°,
∴∠CDE＝∠ABC,
∵∠CED＝∠CFB＝90°，∴△CED≌△CFB,∴ED＝FB,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE,由⑴知AF＋AE＝AC,
∴AB＋AD＝AC
证法二：在AN上截取AG＝AC，连接CG.
∵∠CAB＝60°,AG＝AC,∴∠AGC＝60°,CG＝AC＝AG,
∵∠ABC＋∠ADC＝180°,∠ABC＋∠CBG＝180°,
∴∠CBG＝∠ADC,∴△CBG≌△CDA,
∴BG＝AD,
∴AB＋AD＝AB＋BG＝AG＝AC，
⑶①;
②. 证明：由⑵知，ED＝BF,AE＝AF，
在Rt△AFC中，,即,
∴,
∴AB＋AD＝AF＋BF＋AE－ED＝AF＋AE＝2，
点评：本题以特殊化过程对发现解决问题规律的作用为基点设计，试题描述从“特殊情况入手：先从特殊的基本图形出发，解决简单的、熟悉的问题后，将陌生的一般问题进行转化，从而找到解决策略。整个过程创设了一个较好的问题情境，有效地凸显出化归和转化在问题解决中的作用，一定程度上体现了对学生考场及时学习能力的考查。
2 角平分线与平行线结合构造出等腰三角形；注：平行四边形和特殊的平行四边形、梯形，因为本身就有平行线，所以，当这些图形中再有角平分线时，必然就会形成等腰三角形。这就为解决许多相关问题提供了依据。
3 等腰三角形，等腰直角三角形，正方形绕顶点的旋转重合性；
等边三角形的两邻边具有60度的旋转重合性，及绕中心的120度的旋转对称性；
10. 如图5，已知正三角形ABC的边长为1，E、F、G分别是AB、BC、 CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是
例4（2008年，天津）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解法：（Ⅰ）证明 ： 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△．
有，，，．
又由，得 ．
由，
，
得． 又，
∴△≌△． 有，．
∴．
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即．
（Ⅱ）关系式仍然成立．
证明 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△． 有，，
，．
又由，得 ．
由，
．
得． 又，∴△≌△．
有，，，
∴．
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即．
点评：本题充分体现了通过对于复杂图形中某部分图形的变换，形成新的图形，由此构造出问题的命题思路。本题的情境较为复杂，要求学生在众多的可变元素中确定不变的元素，有利于全面考查探索过程（类比、归纳能合情推理等在整个思维过程中能得到充分的体现），从而较为有效地发挥了证明题在考查学生观察、数学表达、猜想、证明等数学活动方面能力的功能。
以2008年 黑龙江双鸭市的考题为例，
已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于点．
当绕点旋转到时（如图1），易证．
（1）当绕点旋转到时（如图2），线段和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
解：（1）成立．
如图，把绕点顺时针，得到，
则可证得
三点共线（图形画正确）
证明过程中，
证得：
证得：
（2）
展望点评：
1、 这类试题展现了一个课题研究的全过程：从问题的提出、探究与发现、实验与验证到猜想与证明、拓展与延伸。较好地考查了学生对“探究发现”部分内容的理解和运用。
2、 这类试题的设计也为学生进行数学观察、数学表达、猜想（类比、归纳）、证明等活动提供了适宜的空间，同时也为表达这些活动的结果提供了较为恰当的条件，较好地体现了通过对于复杂图形中某部分图形的变换，形成新图形过程中所出现的数学现象的考查，具有较好的效度和区分度。
3、 学生正确解答本题既可以完整地经历问题的提出、探究、发展的全过程，又可以充分体验感受从特殊到一般、类比、猜想、拓展等一般性数学方法，较好地考查了学生运用数学思想方法探索规律、获取新知的能力，以及运用知识解决问题的能力。
由此可见，在2009年的河北省种考试卷上，这类试题所占的比重，不可能降低，应该会和2008年种考试卷中的比重相同或有所加强。
五 几何的计算的方法和功能
初中数学的几何计算，一般都最终归结为对线段或角的计算，分为两大类：
其一是线段类的计算，一般通过相似、勾股定理、锐角三角函数来解决；其二是角的计算，一般通过内角和定理、三角形内外角的关系、互补互余定义、锐角三角函数、圆的有关知识等来解决。
19、如图，直线被直线所截，且∥，若∠1=60°，
则∠2的度数为 . 60°
6．如图2，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA=6，
PB=4，则⊙O的半径等于
A． B．
C． D．
21．(本小题满分8分)
我市“三年大变样”城市建设期间，欲拆除民心河岸边的一根电线杆AB(如图8)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡度为2：1，岸高为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否需将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域，参考数据：)
26．（本小题满分12分）
如图，在直角梯形ABCD中.AB∥CD，AB=12，CD=6，DA=3，∠D=∠A=90°，点P沿AB边从点A开始向点B以每秒2个单位长的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以每秒1个单位长的速度移动，如果P、Q同时出发，当两点中一点停止，另一点随之停止. 设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当t为何值时．△QAP为等腰三角形；
（2）设四边形QAPC的面积为S，请你说明该面积为一个不变的数值；
（3）是否存在这样的t,使得∠PCQ=90°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
（4）请你探究△PBC能否构成直角三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
26．（本小题满分12分）
已知：如图①，在中，，，，点由出发沿方向向点匀速运动，速度为1cm/s；点由出发沿方向向点匀速运动，速度为2cm/s；连接．若设运动的时间为（），解答下列问题：
（1）当为何值时，？
（2）设的面积为（），求与之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使线段恰好把的周长和面积同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，说明理由；
（4）如图②，连接，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在，求出此时菱形的边长；若不存在，说明理由．
26． 解：（1）在Rt△ABC中，，
由题意知：AP = 5－t，AQ = 2t，
若PQ∥BC，则△APQ ∽△ABC，
∴，
∴，
∴．
（2）过点P作PH⊥AC于H．
∵△APH ∽△ABC，
∴，
∴，
∴，
∴．
（3）若PQ把△ABC周长平分，
则AP+AQ=BP+BC+CQ．
∴，
解得：．
若PQ把△ABC面积平分，
则， 即－＋3t=3．
∵ t=1代入上面方程不成立，
∴不存在这一时刻t，使线段PQ把Rt△ACB的周长和面积同时平分．
（4）过点P作PM⊥AC于Ｍ，PN⊥BC于N，
若四边形PQP ′ C是菱形，那么PQ＝PC．
∵PM⊥AC于M，
∴QM=CM．
∵PN⊥BC于N，易知△PBN∽△ABC．
∴， ∴，
∴，
∴，
∴，
解得：．
∴当时，四边形PQP ′ C 是菱形．
此时， ，
在Rt△PMC中，，
∴菱形PQP ′ C边长为．
六 图形与坐标的知识和要点，把几何图形放在坐标系中，则图上的点便都对应上了坐标，所以此类问题的核心就是求出图形上有关点的坐标。
如函数的图像信息题，动点问题等。
25.（本题满分12分）
如图，直角梯形中，∥,为坐标原点，点在轴正半轴上，点在轴正半轴上，点坐标为（2，2），∠= 60°，于点.动点从点出发，沿线段向点运动，动点从点出发，沿线段向点运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度.设点运动的时间为秒.
（1） 求的长；
（2） 若的面积为（平方单位）. 求与之间的函数关系式.并求为何值时，的面积最大，最大值是多少？
（3） 设与交于点.①当△为等腰三角形时，求（2）中的值.
②探究线段长度的最大值是多少，直接写出结论.
七 变换的应用要点和思考
其一，变换引发的画图问题；
其二，变换引出的计算问题；
其三，变换引出的试图与构图的新视角与解题的新方法。
其四，变换视角下的图形间的关系：
1 如果题目的背景图形是轴对称图形，辅助线的找寻等难点往往就是对称轴；如果整个背景不是轴对称图形，要关注某个或某些部分是否具有对称性；
23．（本小题满分8分）
如图13－1，一等腰直角三角尺GEF的两条直角边与正方形ABCD的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD保持不动，将三角尺GEF绕斜边EF的中点O（点O也是BD中点）按顺时针方向旋转．
（1）如图13－2，当EF与AB相交于点M，GF与BD相交于点N时，通过观察或测量BM，FN的长度，猜想BM，FN满足的数量关系，并证明你的猜想；
（2）若三角尺GEF旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE的延长线与AB的延长线相交于点M，线段BD的延长线与GF的延长线相交于点N，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2 从旋转变换视角识别图形和构造图形
10、如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP.
解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转， ( http: / / www.1230.org )点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.
说明：未用举反例的方法说理的不得分.
⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等.
在图8-1中，可证四边形PECF为正方形，
在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC .
从而有 BE=DF
24．（本题满分10分）
如图13，点是等边三角形的中心，，且绕顶点旋转．这个角的两边与的两边分别交于M、N两点，随着的旋转，两点的位置也在变化．取变化过程中点两次静止的状态，如图13－1和图13－2．
（1）试用刻度尺在图13－1和图13－2中分别量得的长度，猜测间的数量关系，并借助图2说明理由．
（2）图13－3是的两边分别与的两边的延长线分别交于两点，猜测间存在怎样的数量关系，并说明理由．
（3）随着的旋转，两点的位置也在变化，若在的两边的延长线上，请直接写出间的数量关系．
24．（本题满分10分）
已知：如图①所示，在和中，，，，且点在一条直线上，连接分别为的中点．
（1）求证：①；②是等腰三角形．
（2）在图①的基础上，将绕点按顺时针方向旋转，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；
（3）在（2）的条件下，请你在图②中延长交线段于点．求证：．
例5．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F．
当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图5－1），易证．
当∠MBN绕B点旋转到AE≠CF时，在图5－2和图5－3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明．
【考法评析】本题将图形的旋转同直角三角形的相关知识有机结合起来，系统考查学生的合情推理和演绎推理能力，具有较好的区分度．点评：以上两题在呈现证明题的形式上做了改进，特别是将要证明的结论隐去，要学生发现并证明结论，实际上从归纳发现和演绎证明两个维度考查了学生的数学说理。因此，从题型运用的角度看，它们强化了证明题考查推理和证明能力的功能。两道题目给考生呈现一个实验操作的过程，要求学生对基本图形，如平行四边形或正方形，进行变换，折叠或旋转，然后直观判断图形中几何元素的关系，并在此基础上进行论证，在一定程度上也考查了合情推理，使得推理能力的考核更加全面。
例19．如图9，已知中，，，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转．
⑴ 在图9中，DE交AB于M，DF交BC于N．
① 证明；
② 在这一旋转过程中，直角三角板与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
⑵ 继续旋转至如图9的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
⑶ 继续旋转至如图9的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
3 从平移变换的视角来构图和解图
例1 （河北，2007年）如图15—1①在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图15—1①所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．
⑴ 在图15—1①中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑵ 当三角尺沿AC方向平移到图15—1②所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE＋DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；
⑶ 当三角尺在⑵的基础上沿AC方向继续平移到图15—1③所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）
【分析】经过仔细审题，排除“三角尺”和其平移的表面干扰，图①、②、③对应的几何图形就是：
它们就是我们早已熟悉的基本模式：“等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离的和都等于这个三角形一腰上的高”.至此，本题的解法已是显而易见．
例4 如图15—4，已知矩形，在BC上取两点E，F（E在F左边），以EF为边作等边△PEF，使顶点P在AD上，PE，PF分别交AC于点G、H．
⑴ 求△PEF的边长；
⑵ 若△PEF的边EF在线段BC上移动．试猜想：PH与BE有何数量关系？并证明你猜想的结论．
【观察与思考】本题的核心是研究特定的等边△PEF在矩形ABCD内平移的有关问题．首先，把矩形ABCD的情况搞清楚：
在已知数据的基础上易知，即
．
其次，把△PEF在矩形ABCD内平移中的各类形态集中在图①中，进行观察和比较，容易看到：
第一，在特殊情况（E重合于B时），由Rt△AB(E′)P′可计算出．即△PEF的边长为2．
第二，比较△PEF和△P′E′F′两种形态对应的图形情况，有PH=PA=PP′+P′A=BE+1，再比较△P″E″F″和△P′E′F′两种形态所对应的图形的情况，有P″F″（H″）= P″A= P″P′+ P′A=BE″+1．这就促使我们形成了对PH和BE数量关系的猜想，并找到了其根据．至于计算和证明，我们还应按题目提供的一般情况的图形来进行．
解：⑴ 过P作PQ⊥BC于Q，如图②，在Rt△PEQ中，
∵．
⑵ PH和BE的数量关系是PH=BE+1．理由如下：
作BP′∥PE，交AD于P′，如图③．
在Rt△BP′A中，BP′=2，∠ABP′=30°，∴AP′=1．
∵∠PAH=∠PHA=30°，∴PH=PA=PP′+ P′A=BE+1．
【说明】正是借助于对特殊情况的考察，特别是不同形态情况的对比，更快地发现△PEF平移反映的不变性．
24. （本小题满分10分）
已知△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，点D是斜边AB的中点，有一顶点为P的直角角尺在直线AB上滑动，滑动过程中始终保持点在直线AB上，且角尺的两边始终与AC、BC垂直，垂足分别为点E、F．
（1） 如图11-1，当点与点Ｄ重合时，通过观察与测量，猜想DE与DF的数量关系;
（2） 当角尺运动到图11-2所示的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由；
（3） 如图11-3，当点在BA的延长线上时，角尺的两边所在的直线分别与CA、BC的延长线交于点、F，（1）中的结论还成立吗？若成立请证明你的结论；若不成立，请说明理由．
二 填空题：
18．分解因式 ．或
20．如图，数轴上表示数的点是 ．
21．函数的自变量的取值范围是 .
22．已知：⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为2.5，则直线l与⊙O的位置关系是 ．相交
23．如图，奥运五环旗上的五个环可以近似地看成五个圆，这五个圆反映出的圆与圆的位置关系有 或者 ．相交；外离
25．小明与父母从广州乘火车回梅州参观叶帅纪念馆，他们买到的火车票是同一排相邻的三个座位，那么小明恰好坐在父母中间的概率是 ．
26 2008年6月2日，奥运火炬在荆州古城传递，208名火炬手参加了火炬传递，其中8位火炬手所跑的路程（单位：米）如下：60，70，100，60，80，70，90，100，则这组数据的中位数是 . 75
29．图7是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1,0)，安化县城所在地用坐标表示为(-3，-1)，那么南县县城所在地用坐标表示为 . （2,4）
30．定义：是不为1的有理数，我们把称为的差倒数．如：2的差倒数是，的差倒数是．已知，是的差倒数，是的差倒数，是的差倒数，……，依此类推，则
三 解答题：
19题经典回顾：
例1.（本题满分7分）
先化简，再求值：
，其中满足.
解：
=
或
当时，分式无意义．
原式的值为2．
20题经典回顾：
例1．（本题满分8分）李明对某校九年级（2）班进行了一次社会实践活动调查，从调查的内容中抽出两项．
调查一：对小聪、小亮两位同学的毕业成绩进行调查，其中毕业成绩按综合素质、考试成绩、体育测试三项进行计算，计算的方法按进行，毕业成绩达80分以上（含80分）为“优秀毕业生”，小聪、小亮的三项成绩如右表：（单位：分）
综合素质 考试成绩 体育测试
满分 100 100 100
小聪 72 98 60
小亮 90 75 95
调查二：对九年级（2）班50名同学某项跑步成绩进行调查，
并绘制了一个不完整的扇形统计图，如图14．
请你根据以上提供的信息，解答下列问题：
（1）小聪和小亮谁能达到“优秀毕业生”水平？哪位同学的毕业成绩更好些？
（2）升入高中后，请你对他俩今后的发展给每人提一条建议．
（3）扇形统计图中“优秀率”是多少？
（4）“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是多少度？
解：（1）小聪成绩是：（分）
小亮成绩是：（分）
小聪、小亮成绩都达到了“优秀毕业生”水平．
小亮毕业生成绩好些．
（2）小聪要加强体育锻炼，注意培养综合素质．
小亮在学习文化知识方面还要努力，成绩有待进一步提高．
（3）优秀率是：．
（4）“不及格”在扇形统计图中所占的圆心角是：
．
例2．
例2．（本题满分8分）
某校为了了解九年级学生体育测试成绩情况，以九年（1）班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，并将统计结果绘制如下两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：
（说明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下）
（1）求出D级学生的人数占全班总人数的百分比；
（2）求出扇形统计图中C级所在的扇形圆心角的度数；
（3）该班学生体育测试成绩的中位数落在哪个等级内；
（4）若该校九年级学生共有500人，请你估计这次考试中A级和B级的学生共有多少人？
解：(1)4%；(2)72；(3)B
(4)依题意,知：A级和B级学生的人数和占全班总人数的76%，所以500×76%=380，所以估计这次考试中A级和B级的学会上共有380人．
例3．如图1，草原上有A，B，C三个互通公路的奶牛养殖基地，B与C之间距离为100千米，C在B的正北方，A在C的南偏东47°方向且在B的北偏东43°方向．A地每年产奶3万吨；B地有奶牛9 000头，平均每头牛的年产奶量为3吨；C地养了三种奶牛，其中黑白花牛的头数占20％，三河牛的头数占35％，其他情况反映在图2，图3中．
（1）通过计算补全图3；
（2）比较B地与C地中，哪一地平均每头牛的年产奶量更高？
（3）如果从B，C两地中选择一处建设一座工厂解决三个基地的牛奶加工问题，当运送一吨牛奶每千米的费用都为1元（即1元/吨·千米时，那么从节省运费的角度考虑，应在何处建设工厂？
解：(1)只要条形高度约在3 500左右即可评1分
(注：条形图上未标注数字3 500不扣分)
(2 )C地每头牛的年平均产奶量为
（或5×20％＋3.1×35％＋2.1×45％）
＝3.03 (吨) ，(2分)
而B地每头牛的年平均产奶量为3 吨，
所以，C地每头牛的年平均产奶量比B地的高. (3分)
(3)由题意：C地每年产奶量为10 000×3.03＝3.03万吨，
B地每年产奶量为9 000×3＝2.7万吨，A地每年产奶量为3万吨.(4分)
(注：此处为独立得分点，计算出B,C中一地的年产奶量即可评1分)
由题意，∠CBA＝43°,∠ACB＝47°，∴∠BAC＝90°，(5分)
∵BC＝100(千米)，
∴AB＝100×sin47°≈100×0.731＝73.1(千米) ，
∴AC＝100×sin43°≈100×0.682＝68.2(千米)，(6分)
(注：此处为独立得分点，计算出上面两个结果中任一个即可评1分)
如果在B地建厂，则每年需运费
W1＝73.1×3×1＋100×3.03×1＝219.3＋303＝522.3(万元)(7分)
如果在C地建厂，则每年需运费
W2＝68.2×3×1＋100×2.7×1＝204.6＋270＝474.6(万元)
而522.3>474.6
答：从节省运费的角度考虑，应在C地建设工厂.(8分)
21 题经典回顾：
例1 某校教学楼后面紧邻一个土坡，坡上面是一块平地，如图12所示，，斜坡长，坡度．为了防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该土坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．
（1）求改造前坡B到地面的垂直距离的长；
（2）为确保安全，学校计划改造时保持坡脚不动，坡顶沿削进到处，问至少是多少米？
21．（本小题满分9分）
气象台发布的卫星云图显示，代号为W的台风在某海岛（设为点）的南偏东方向的点生成，测得．台风中心从点以40km/h的速度向正北方向移动，经5h后到达海面上的点处．因受气旋影响，台风中心从点开始以30km/h的速度向北偏西方向继续移动．以为原点建立如图12所示的直角坐标系．
（1）台风中心生成点的坐标为 ，台风中心转折点的坐标为 ；（结果保留根号）
（2）已知距台风中心20km的范围内均会受到台风的侵袭．如果某城市（设为点）位于点的正北方向且处于台风中心的移动路线上，那么台风从生成到最初侵袭该城要经过多长时间？
解：（1），；
（2）过点作于点，如图2，则．
在中，，，
．．
，，
台风从生成到最初侵袭该城要经过11小时．
22 题经典回顾：
例1 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在轴，轴上，线段OA=6，OB=12，C是线段AB的中点，点D在线段OC上，OD=2CD．
（1）C点坐标为 ；
（2）求直线AD的解析式；
（3）直线OC绕点O逆时针旋转90°，求出点D的对应点D＇的坐标．
解：（1）（3，6）
(2)作CE⊥x轴于点E，DF⊥x轴于点F，则OE=OA=3，CE=OB=6
∵DF∥CE，，得OF=2，DF=4
∴ 点D的坐标为(2，4)
设直线AD的解析式为y=kx+b．
把A(6，0)，D(2，4)代人得 解得
∴ 直线AD的解析式为y=-x+6
(3) 作⊥x轴于点M
由旋转可知：∠DOD’=90°，OD=OD’
∴∠MOD’+∠DOF=90°
∵∠ODF=90° ∴∠ODF+∠DOF=90°
∴∠ODF=∠MOD’
∴△MOD’≌△ DOF
∴D’M=OF=2，OD’=DF=4
又∵点D‘在第二象限 ∴D’点坐标为（-4，2）
例2、2008年5月，第五届中国宜昌长江三峡国际龙舟拉力赛在黄陵庙揭开比赛帷幕．20日上午9时，参赛龙舟从黄陵庙同时出发．其中甲、乙两队在比赛时，路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．甲队在上午11时30分到达终点黄柏河港．
（1）哪个队先到达终点？乙队何时追上甲队？
（2）在比赛过程中，甲、乙两队何时相距最远？
解：(1)乙队先达到终点，(1分)
对于乙队，x＝1时，y＝16，所以y＝16x，(2分)
对于甲队，出发1小时后，设y与x关系为y＝kx＋b，
将x＝1，y＝20和x＝2.5，y＝35分别代入上式得：
解得：y＝10x＋10(3分)
（第9题）
解方程组 得：x＝，即：出发1小时40分钟后（或者上午10点40分）乙队追上甲队.(4分)
（2）1小时之内，两队相距最远距离是4千米，(1分)
乙队追上甲队后，两队的距离是16x－(10x＋10)＝6x－10，当x为最大，即x＝时，6x－10最大，(2分)此时最大距离为6×－10＝3.125＜4，（也可以求出AD、CE的长度，比较其大小）所以比赛过程中，甲、乙两队在出发后1小时（或者上午10时）相距最远(3分)
例3．（本小题满分10分）
武警战士乘一冲锋舟从地逆流而上，前往地营救受困群众，途经地时，由所携带的救生艇将地受困群众运回地，冲锋舟继续前进，到地接到群众后立刻返回地，途中曾与救生艇相遇．冲锋舟和救生艇距地的距离（千米）和冲锋舟出发后所用时间（分）之间的函数图象如图所示．假设营救群众的时间忽略不计，水流速度和冲锋舟在静水中的速度不变．
（1）请直接写出冲锋舟从地到地所用的时间．
（2）求水流的速度．
（3）冲锋舟将地群众安全送到地后，又立即去接应救生艇．已知救生艇与地的距离（千米）和冲锋舟出发后所用时间（分）之间的函数关系式为，假设群众上下船的时间不计，求冲锋舟在距离地多远处与救生艇第二次相遇？
解：（1）24分钟
（2）设水流速度为千米/分，冲锋舟速度为千米/分，根据题意得
解得
答：水流速度是千米/分．
（3）如图，因为冲锋舟和水流的速度不变，所以设线段所在直线的函数解析式为
把代入，得
线段所在直线的函数解析式为
由求出这一点的坐标
冲锋舟在距离地千米处与救生艇第二次相遇．
25．（本小题满分12分） 用汽船拖载重量相等的满载货物的小船若干只，在两港之间来回运送货物．已知每只小船的载重量为5吨，每次拖4只小船，一天能来回16次；每次拖7只小船，一天能来回10次．并且知道每天来回次数y（次）是拖小船只数x（只）的一次函数（一天中每次拖小船只数不变）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）设运货的总重量为G（吨），请你求出G与x之间的函数关系式；
（3）求每天来回多少次，每次拖小船多少只，才能使运货总重量G（吨）达到最大？并求出这个最大值．
25．（本小题满分12分）某县决定资助部分村镇修建一批沼气池．河湾村共有264户村民，政府补助村里34万元，不足部分由村民集资．修建A型、B型沼气池共20个．两种型号沼气池每个修建费用、可供使用户数、修建用地情况如下表：
沼气池 修建费用（万元/个） 可供使用户数（户/个） 占地面积（m2/个）
A型 3 20 48
B型 2 3 6
政府相关部门批给该村沼气池修建用地708m2．设修建A型沼气池x个，修建两种型号沼气池共需费用y万元.
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）不超过政府批给修建沼气池用地面积，又要使该村每户村民用上沼气的修建方案有几种；
（3）若平均每户村民集资700元，能否满足所需费用最少的修建方案．
22.（本题满分10分）某中学足球队参加全市中学这联赛，积分规则如下表。联赛共进行了12轮（即每队比赛了12场），该中学足球队共得19分。若胜得场数为x，负的为y，求y与x的函数关系式。
胜一场 平一场 负一场
积分 3 1 0
解：设平的场数为z,由题意得
23 题经典回顾：
23．（本题满分10分）
例1 已知，△ABC的面积是60，请完成下列问题：
（1）如图1，若AD是△ABC的BC边上的中线，则S△ABD＝________.
（2） 如图2，①若CD、BE分别是△ABC的AB、AC边上的中线，则S△OBD____S△OEC（填“＞”“＜”或“＝”）.
②S四边形ADOE＝_____________.
（3）如图3，AD：DB＝1：3，CE：AC＝1：3，求S四边形ADOE的面积可以用如下方法：连结AO，由AD：DB＝1：3得：S△ADO＝S△BDO，同理：S△CEO＝S△AOE，设S△ADO ＝x，S△CEO＝y，则S△BDO ＝2x ，S△AEO＝3y，由题意得：S△ABE ＝S△ABC＝40，S△ADC ＝S△ABC＝15，可列方程组为：
（4）如图，矩形ABCD的面积为36，在AB、CD边上取点E、F，使得AE＝3BE，DF＝2FA.DE、CF的交点为O.请你计算△DOF的面积，并说明理由.
23．解：（1）30
（2）＝，20
（3）13
（4）连结OA、OB
设S△OAF＝x，S△OBE＝y，则S△ODF＝2x ，S△OAE＝3y，
∵则S△AED＝1/2×27=13.5， S△CDF＝12
∴S△OCD＝12 －x
∴
解得：x＝2，y＝2.5
∴△DOF的面积=2x=4
例2．（本题满分10分）
如图9，直线，连结，直线及线段把平面分成①、②、③、④四个部分，规定：线上各点不属于任何部分．当动点落在某个部分时，连结，构成，，三个角．（提示：有公共端点的两条重合的射线所组成的角是角．）
（1）当动点落在第①部分时，求证：；
（2）当动点落在第②部分时，是否成立（直接回答成立或不成立）？
（3）当动点在第③部分时，全面探究，，之间的关系，并写出动点的具体位置和相应的结论．选择其中一种结论加以证明．
解：（1）解法一：如图9-1
延长BP交直线AC于点E
∵ AC∥BD , ∴ ∠PEA = ∠PBD .
∵ ∠APB = ∠PAE + ∠PEA ,
∴ ∠APB = ∠PAC + ∠PBD .
解法二：如图9-2
过点P作FP∥AC ,
∴ ∠PAC = ∠APF .
∵ AC∥BD , ∴FP∥BD .
∴ ∠FPB =∠PBD .
∴ ∠APB =∠APF +∠FPB =∠PAC + ∠PBD .
解法三：如图9-3，
∵ AC∥BD , ∴ ∠CAB +∠ABD = 180°
即 ∠PAC +∠PAB +∠PBA +∠PBD = 180°.
又∠APB +∠PBA +∠PAB = 180°,
∴ ∠APB =∠PAC +∠PBD .
（2）不成立.
（3）(a)当动点P在射线BA的右侧时，结论是
∠PBD=∠PAC+∠APB .
(b)当动点P在射线BA上，
结论是∠PBD =∠PAC +∠APB .
或∠PAC =∠PBD +∠APB 或 ∠APB = 0°，
∠PAC =∠PBD（任写一个即可）.
(c) 当动点P在射线BA的左侧时，
结论是∠PAC =∠APB +∠PBD .
选择(a) 证明：
如图9-4，连接PA，连接PB交AC于M
∵ AC∥BD ,
∴ ∠PMC =∠PBD .
又∵∠PMC =∠PAM +∠APM ,
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB .
选择(b) 证明：如图9-5
∵ 点P在射线BA上，∴∠APB = 0°.
∵ AC∥BD , ∴∠PBD =∠PAC .
∴ ∠PBD =∠PAC +∠APB
或∠PAC =∠PBD+∠APB
或∠APB = 0°，∠PAC =∠PBD.
选择(c) 证明：
如图9-6，连接PA，连接PB交AC于F
∵ AC∥BD , ∴∠PFA =∠PBD .
∵ ∠PAC =∠APF +∠PFA ,
∴ ∠PAC =∠APB +∠PBD .
例3．（本小题满分10分）
提出问题：如图①，在四边形ABCD中，P是AD边上任意一点，△PBC与△ABC和△DBC的面积之间有什么关系？
探究发现：为了解决这个问题，我们可以先从一些简单的、特殊的情形入手：
（1）当AP＝AD时（如图②）：
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
（2）当AP＝AD时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
（3）当AP＝AD时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：________________；
（4）一般地，当AP＝AD（n表示正整数）时，探求S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系，写出求解过程；
问题解决：当AP＝AD（0≤≤1）时，S△PBC与S△ABC和S△DBC之间的关系式为：___________．
解：⑵ ∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． ……………………………4′
⑶ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ； ……………………………5′
⑷ S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ；
∵AP＝AD，△ABP和△ABD的高相等，
∴S△ABP＝S△ABD ．
又∵PD＝AD－AP＝AD，△CDP和△CDA的高相等，
∴S△CDP＝S△CDA ．
∴S△PBC ＝S四边形ABCD－S△ABP－S△CDP
＝S四边形ABCD－S△ABD－S△CDA
＝S四边形ABCD－(S四边形ABCD－S△DBC)－(S四边形ABCD－S△ABC)
＝S△DBC＋S△ABC ．
∴S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． ……………………………8′
问题解决： S△PBC＝S△DBC＋S△ABC ． ……………………………10′
24 题经典回顾：
例1．如图1，四边形ABCD是正方形，G是CD边上的一个动点(点G与C、D不重合)，以CG为一边在正方形ABCD外作正方形CEFG，连结BG，DE．我们探究下列图中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系：
（1）①猜想如图1中线段BG、线段DE的长度关系及所在直线的位置关系；
②将图1中的正方形CEFG绕着点C按顺时针(或逆时针)方向旋转任意角度，得到如图2、如图3情形．请你通过观察、测量等方法判断①中得到的结论是否仍然成立,并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中正方形改为矩形（如图4—6），且AB=a，BC=b，CE=ka， CG=kb (ab，k0)，第(1)题①中得到的结论哪些成立，哪些不成立？若成立，以图5为例简要说明理由．
（3）在第(2)题图5中，连结、，且a=3，b=2，k=，求的值．
解:
(1)①
②仍然成立 ……………………………………………………1分
在图（2）中证明如下
∵四边形、四边形都是正方形
∴ ，，
∴…………………………………………………………………1分
∴ （SAS）………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ …………………………………………………………………………1分
（2）成立，不成立 …………………………………………………2分
简要说明如下
∵四边形、四边形都是矩形，
且，，，(，)
∴ ，
∴
∴………………………………………………………………………1分
∴
又∵
∴ ∴
∴ ……………………………………………………………………………1分
（3）∵ ∴
又∵，， ∴ ……1分
∴ ……………………………………1分
例2．（本小题10分）
已知Rt△ABC中，，，有一个圆心角为，半径的长等于的扇形绕点C旋转，且直线CE，CF分别与直线交于点M，N．
（Ⅰ）当扇形绕点C在的内部旋转时，如图①，求证：；
思路点拨：考虑符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决．可将△沿直线对折，得△，连，只需证，就可以了．
请你完成证明过程：
（Ⅱ）当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
解（Ⅰ）证明 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△． 1分
有，，，．
又由，得 ． 2分
由，
，
得． 3分
又，
∴△≌△． 4分
有，．
∴． 5分
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即． 6分
（Ⅱ）关系式仍然成立． 7分
证明 将△沿直线对折，得△，连，
则△≌△． 8分
有，，
，．
又由，得 ．
由，
．
得． 9分
又，
∴△≌△．
有，，，
∴．
∴在Rt△中，由勾股定理，
得．即． 10分
25 题经典回顾：
例1．（本题满分12分）
某公司用480万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金1520万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元.经过市场调研发现：当销售单价定为100元时，年销售量为20万件；每件产品的销售价格每增加10元，年销售量将减少0.8万件.设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利为w（万元）.（年获利＝年销售额－生产成本－投资成本）
（1）请你求出y与x之间的函数关系式；
（2）求第一年的年获利w与x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少？若亏损，最少亏损是多少？
（3）该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利为1842万元，请你确定此时销售单价.
解：（1）y=20－·0.8 ……………………………………2分
即： y =－x＋28…………………………………………3分
（2）w=x·y－40y－（1520＋480）……………………………5分
=x（－x＋28）－40(－x＋28)－2000
w =－x2＋－2728…………………………………………6分
w = －x2＋－78
所以投资的第一年是亏损的，亏损78万元
（3）由题意得：（－x＋28）（x－40）－78=1842…………………………9分
x2 －390x＋38000=0………………………………………10分
解得：x1=190，x2=200……………………………………………11分
答：（略）…………………………………………………………………12分
例2 一快餐店试销某种套餐，试销一段时间后发现，每份套餐的成本为5元，该店每天固定支出费用为600元(不含套餐成本)．若每份售价不超过10元，每天可销售400份；若每份售价超过10元，每提高1元，每天的销售量就减少40份．为了便于结算，每份套餐的售价x(元)取整数，用y(元)表示该店日净收入．(日净收入＝每天的销售额－套餐成本－每天固定支出)
(1)求y与x的函数关系式；
(2)若每份套餐售价不超过10元，要使该店日净收入不少于800元，那么每份售价最少不低于多少元？
(3)该店既要吸引顾客，使每天销售量较大，又要有较高的日净收入．按此要求，每份套餐的售价应定为多少元？此时日净收入为多少？
解：(1)
得：
(2)∵ ∴
∴ ∴每份售价最小不低于9元
(3)依题意，，当时
，可卖份
而当时，元，卖400份
由题意比较得：每份套餐的售价应定为12元，此时日净收入为
(元)
例3．（本题10分）“5 12”汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地“红十字会”向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台，五月份支出包括这批器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元.这三种器材的进价和售价如下表，人员工资y1(万元)和杂项支出y2（万元）分别与总销售量x（台）成一次函数关系(如图).
（1）求y1与x的函数解析式；
（2）求五月份该公司的总销售量；
（3）设公司五月份售出甲种型号器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润＝销售额－进价－其他各项支出）
（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.
例4．（本题满分10分）
某股份有限公司根据公司实际情况，对本公司职工实行内部医疗公积金制度，公司规定：
（一）每位职工在年初需缴纳医疗公积金元；
（二）职工个人当年治病花费的医疗费年底按表1的办法分段处理：
表1
分段方式 处理方法
不超过150元（含150元） 全部由个人承担
超过150元，不超过10000元（不含150元，含10000元）的部分 个人承担，剩余部分由公司承担
超过10000元（不含10000元）的部分 全部由公司承担
设一职工当年治病花费的医疗费为元，他个人实际承担的费用（包括医疗费中个人承担的部分和缴纳的医疗公积金元）为元．
（1）由表1可知，当时，；那么，当时， ；（用含的方式表示）（3分）
（2）该公司职员小陈和大李2007年治病花费的医疗费和他们个人实际承担的费用如表2：
表2
职工 治病花费的医疗费（元） 个人实际承担的费用（元）
小陈 300 280
大李 500 320
请根据表2中的信息，求的值，并求出当时，关于函数解析式；（5分）
（3）该公司职工个人一年因病实际承担费用最多只需要多少元？（直接写出结果）（2分）
解：（1） 3分
（2）由表2知，小陈和大李的医疗费超过150元而小于10000元，因此有：
5分
解得： 6分
．
． 8分
（3）个人实际承担的费用最多只需2220元． 10分
例5．我市某工艺厂为配合北京奥运，设计了一款成本为20元∕件的工艺品投放市场进行试销．
经过调查，得到如下数据：
销售单价（元∕件） …… 30 40 50 60 ……
每天销售量（件） …… 500 400 300 200 ……
（1）把上表中、的各组对应值作为点的坐标，在下面的平面直角坐标系中描出相应的点，猜想与的函数关系，并求出函数关系式；（4分）
（2）当销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？最大利润是多少？（利润=销售总价-成本总价）（4分）
（3）当地物价部门规定，该工艺品销售单价最高不能超过45元/件，那么销售单价定为多少时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大？（2分）
解：由图可猜想与是一次函数关系，
设这个一次函数为= +（k≠0）
∵这个一次函数的图象经过（30，500）
（40，400）这两点，
∴ 解得
∴函数关系式是：=－10+800
（2）设工艺厂试销该工艺品每天获得的利润是W元，依题意得
W=（－20）（－10+800）
=－10+1000-16000
=－10（－50）+9000
∴当=50时，W有最大值9000．
所以，当销售单价定为50元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大，最大利润是9000元．
（3）对于函数 W=－10（－50）+9000，当≤45时，
W的值随着值的增大而增大，
∴销售单价定为45元∕件时，工艺厂试销该工艺品每天获得的利润最大．
26 题经典回顾：
例1．请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）．
【解析】 ⑴ 线段与的位置关系是；
． 2分
⑵ 猜想：（1）中的结论没有发生变化．
证明：如图，延长交于点，连结．
是线段的中点，
．
由题意可知．
．
，
．
，．
四边形是菱形，
，．
由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
可得．
．
四边形是菱形，
．
．
．
，．
．
即．
，，
，．
． 6分
⑶ ． 8分
例2．（本小题满分12分）
已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点
P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移
动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两
点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△PBQ是直角三角形
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（3）设PQ的长为x（cm），试确定y与x之间的关系式．
24．（本小题满分12分）
解：⑴ 根据题意：AP＝t cm，BQ＝t cm．
△ABC中，AB＝BC＝3cm，∠B＝60°，
∴BP＝(3－t ) cm．
△PBQ中，BP＝3－t，BQ＝t，
若△PBQ是直角三角形，则∠BQP＝90°或∠BPQ＝90°．
当∠BQP＝90°时，BQ＝BP．
即t＝(3－t )，
t＝1 (秒)．
当∠BPQ＝90°时，BP＝BQ．
3－t＝t，
t＝2 (秒)．
答：当t＝1秒或t＝2秒时，△PBQ是直角三角形． …………………4′
⑵ 过P作PM⊥BC于M ．
Rt△BPM中，sin∠B＝，
∴PM＝PB·sin∠B＝(3－t )．
∴S△PBQ＝BQ·PM＝· t ·(3－t )．
∴y＝S△ABC－S△PBQ
＝×32×－· t ·(3－t )
＝．
∴y与t的关系式为： y＝． …………………6′
假设存在某一时刻t，使得四边形APQC的面积是△ABC面积的，
则S四边形APQC＝S△ABC ．
∴＝××32×．
∴t 2－3 t＋3＝0．
∵(－3) 2－4×1×3＜0，
∴方程无解．
∴无论t取何值，四边形APQC的面积都不可能是△ABC面积的．……8′
⑶ 在Rt△PQM中，
MQ＝＝．
MQ 2＋PM 2＝PQ 2．
∴x2＝[(1－t ) ]2＋[(3－t ) ]2
＝
＝＝3t2－9t＋9． ……………………………10′
∴t2－3t＝．
∵y＝，
∴y＝＝＝．
∴y与x的关系式为：y＝． ……………………………12′
例3．（本小题满分12分）
如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．
（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：
①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，
知两点的坐标分别为．
设直线所对应的函数关系式为．
有解得
所以，直线所对应的函数关系式为．
（2）①点到轴距离与线段的长总相等．
因为点的坐标为，
所以，直线所对应的函数关系式为．
又因为点在直线上，
所以可设点的坐标为．
过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．
因为点在直线上，所以有．
因为纸板为平行移动，故有，即．
又，所以．
法一：故，
从而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
从而总有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故点坐标为．
设直线所对应的函数关系式为，
则有解得
所以，直线所对的函数关系式为．
将点的坐标代入，可得．解得．
而，从而总有．
②由①知，点的坐标为，点的坐标为．
．
当时，有最大值，最大值为．
取最大值时点的坐标为．
例4．（本题满分12分）
如图19-1，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，，．
（1）在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求两点的坐标；
（2）如图19-2，若上有一动点（不与重合）自点沿方向向点匀速运动，运动的速度为每秒1个单位长度，设运动的时间为秒（），过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点．求四边形的面积与时间之间的函数关系式；当取何值时，有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的条件下，当为何值时，以为顶点的三角形为等腰三角形，并求出相应的时刻点的坐标．
28．（本题满分12分）
解：（1）依题意可知，折痕是四边形的对称轴，
在中，，．
．．
点坐标为（2，4）． 2分
在中，， 又．
． 解得：．
点坐标为 3分
（2）如图①，．
，又知，，
， 又．
而显然四边形为矩形．
5分
，又
当时，有最大值． 6分
（3）（i）若以为等腰三角形的底，则（如图①）
在中，，，为的中点，
．
又，为的中点．
过点作，垂足为，则是的中位线，
，，
当时，，为等腰三角形．
此时点坐标为． 8分
（ii）若以为等腰三角形的腰，则（如图②）
在中，．
过点作，垂足为．
，．
．
，．
，，
当时，（），此时点坐标为． 11分
综合（i）（ii）可知，或时，以为顶点的三角形为等腰三角形，相应点的坐标为或． 12分
(第14题)
(图1) (图2) (图3)
(第22题)
A
B
D
C
（第17题图）
.
.
.
·
第20题图
4
3
2
1
0
A．
B．
C．
D．
A
B
C
A
B
C
P
M
N
C
O
A
B
D
A
D
C
图4
图3
B
C
D
A
图7
南县
益阳
安化
2
1
3
图1
E
D
P
C
B
A
图1
C
D
B
A
E
A．
B．
C．
D．
x/km
0
20
0.2
0.3
1.2
B
y1
y2=0.005x+0.3
x(台)
y(万元)
不及格
O
图14
36%及格
18%
良好
优秀3人
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-1
y
x
B
C
O
A
D
E
图19-2
P
M
N
y
x
B
C
O
A
D
E
图①
P
M
N
F
y
x
B
C
O
A
D
E
图②
P
M
N
F
F
E
第23题图
图5
B
C
D
A
图3
图2
图4
A
B
F
C
D
E
图1
图5
A
D
B
E
C
F
E
D
P
C
B
A
图2
B
③
②
①
B
A
P
G
C
D
④
图9
④
③
②
①
④
③
②
①
E
F
图2
D
A
B
E
F
C
P
G
图1
D
C
G
P
A
B
E
F
H
A
O
E
G
B
F
H
N
C
P
I
x
y
M
（第24题图）
D
II
A
O
E
G
B
F
H
N
C
P
I
x
y
M
K
II
N
C
M
N
C
N
C
B
M
B
B
G
x（分）
y（千米）
O
10
20
12
44
a
x（分）
y（千米）
O
10
20
12
44
a
b
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
c
b
c
a
c
b
a
c
c
a
b
c
a
c
a
b
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
C
A
B
E
F
D
M
N
C
A
B
E
F
M
N
G
A
y/km
x/km
图12
C
B
O
A
东
北
y/km
D
C
B
A
3
2
3
2
3
2
3
2
B
A
C
D
图1
A
B
C
D
E
O
图2
A
B
C
O
D
E
图3
x
3x
y
2y
x＋3y＝15
4x＋2y＝40
通过解这个方程组可得四边形ADOE的面积为______________.
A
B
C
D
E
F
O
A
B
C
D
E
F
O
3x＋3y＝13.5
12-2x＋4y＝18
O
B
C
图2
D
M
图1
图2
图3
A
A
A
D
D
D
B
M
E
A
C
N
D
C
A
B
E
F
M
N
图①
C
A
B
E
F
M
N
图②
C
A
B
E
F
D
M
N
C
A
B
E
F
M
N
G
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
A
B
C
D
A
P
B
O
图2
D
A
B
E
F
图8
C
30°
第26题图
A
Q
C
P
B
图①
A
Q
C
P
B
图②
图①
B
A
Q
P
C
H
P ′
B
A
Q
P
C
图②
M
N
图13－1
A( G )
B( E )
C
O
D( F )
图13－2
E
A
B
D
G
F
O
M
N
C
图13－3
A
B
D
G
E
F
O
M
N
C
图5－2
图5－1
图8-2
图8-1
N
A
B
C
O
M
N
图13－1
N
A
B
C
M
N
O
图13－2
N
图13－3
A
B
C
O
M
N
P
Q
C
E
N
D
A
B
M
图①
C
A
E
M
B
D
N
图②
第24题图
图5－3
A
D
C
N
F
E
B
M
图9
A
D
C
N
F
E
B
M
图9
A
D
C
N
F
E
B
M
图9
A
B
C
D
E
F
G
图15—1③
A
B
C
F
G
图15—1①
A
B
C
E
F
G
D
图15—1②
A
F
G
B
C
AB=AC
BF⊥CA于F，CG⊥BA于G．
图①′
A
F
G
B
C
AB=AC，D为BC上一点，
DE⊥BA于E，DF⊥CA于F．
图③′
E
A
F
G
B
C
AB=AC，D为BC上一点，
DE⊥BA于E，DF⊥CA于F．
图②′
E
D
D
A
B
C
E
F
G
图7
H
D
图15—4
A
B
C
D
E
F
G
H
P
图①
A
B
C
D
E
F
G′
H
P′
G
P
H′
F′
(E′)
P″
E″
(F″)
图②
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
图③
A
B
C
D
E
F
H
P
P′
A
B
C
D(P)
F
E
A
B
C
P
E
F
D
D
E
F
P
图11-1
图11-2
图11-3
A
B
C
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