北京市第二中学2024年高二（下）段考四数学（图片版，含答案）

北京二中2023—2024学年度第四学段高二年级学段考试试卷
数学选择性必修 II
命题人： 范方兵 审核人： 覃怡 得分： _
一、选择题（每小题 5分，共 60分）
π
1. 为了得到函数 y sin(2x ) 的图象，只需要把函数 y sin x 的图象上
3
1 π
A. 各点的横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位长度
2 3
1 π
B. 各点的横坐标缩短到原来的 ，再向左平移 个单位长度
2 6
π
C. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位长度
3
π
D. 各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移 个单位长度
6
2. 已知等差数列{an}前 9 项的和为 27， a10 8，则 a100
A. 100 B. 99 C. 98 D. 97
3. 已知 m、n 是两条不同直线， 、 、 是三个不同平面，则下列命题中正确的是
A. 若m // ， n // ，则m // n B. 若 ， ，则 //
C. 若m // ，m // ，则 // D. 若m ， n ，则m // n
4. 若抛物线 y2 2px( p 0) 上的点 A(x , 2)到其焦点的距离是 A 到 y 轴距离的 3 倍，则 p 等于 0
1 3
A. B. 1 C. D. 2
2 2
x2 y2
5. 已知椭圆C : 1(a b 0) 的左、右顶点分别为 A1、 A2 ，且以线段 A1A2 为直径的圆与直线
a2 b2
bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为
6 3 2 1
A. B. C. D.
3 3 3 3
高二年级数学第四学段考试 2024 年 4 月 第 1 页（共 4 页）
6. 科学研究表明，反射性元素的特征是不断发生同位素衰变，而衰变的结果是放射性同位素母体的数目
不断减少，但其子体的原子数目将不断增加，假设在某放射性同位素的衰变对程中，其含量 (单位：

贝克)与时间t (单位：天)满足函数关系 ( ) = e _ 0 24（e为自然对数的底数），其中 0为t=0时该同位
素的含量，已知当t= 48时，该放射性同位素含量的瞬时变化率为 1，则 (48)=
A. 12 贝克 B. 12e 贝克 C. 24 贝克 D. 24e 贝克
7. 直线 y 5x b 是曲线 y x3 2x 1的一条切线，则实数b
A. 1或1 B. 1或 3 C. 1 D. 3
8. 中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱. 假设中国空间站要安排
甲，乙，丙，丁，戊，己 6 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 3 人，问天实验舱安排 2 人，
梦天实验舱安排 1 人. 若安排甲、乙两人同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有
A. 12 种 B. 16 种 C. 20 种 D. 24 种
1 1 1 9
9. 已知数列 1, , , …, , …, 其前 n 项和为 ，则正整数 n 的值为
1 2 1 2 3 1 2 3 n 5
A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
10. 已知直线 x y a 0(a 0) 与圆 x2 y2 4交于不同的两点 A, B .设O是坐标原点，且有
| OA OB | | AB |，那么 a 的取值范围是
A. ( 2, ) B. (2, ) C. [2, 2 2) D. [ 2,2 2)
11. 若直线 ax by 1(ab 0) 经过点 M (cos ,sin )，则
1 1 1 1
A. 1 B. 1 C. a2 b2 1 D. 2 2
a2 b2 a2 b2
a b 1
12. 如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，P 为线段 A1C1 的中点，Q 为线段 BC1 上的动点，
则下列结论正确的是
A. 存在点 Q，使得 PQ // BD
B. 存在点 Q，使得 PQ 平面 AB1C1D
C. 三棱锥Q APD 的体积是定值
π
D. 存在点Q，使得PQ与AD所成的角为
6
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二． 填空题（本大题共 6小题，共 30分）
13. 已知函数 f x ex ln x ， f (x) 为 f (x) 的导函数，则 f (1) 的值为_____.
x2 y2 3
14. 若双曲线 1(a 0,b 0) 的右焦点 F(c,0) 到一条渐近线的距离为 c ，则离心率的值
a2 b2 2
是_____.
15. 用数字 1，2，3，4，5，6，7 组成没有重复数字且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一
共有____ 个 .(用数字作答 )
16. 四面体ABCD中，O是BD的中点， ABD 和 BCD均为等边三角形， AB 2 ， AC 6 ，点O到
平面 ABC 的距离为_____.
1 2 2 2
17. 在 ABC中，角 A, B, C 所对的边长为 a, b, c，面积为 (a c b )，且 C 为钝角，则 tan B
3
c
_____； 的取值范围是_____.
a
n 1
18. 对于数列{an}，令Tn a1 a2 a3 a4 ( 1) an ，给出下列四个结论：
①若 a n，则Tn 2023 1012；
②若Tn n，则a2022 1；
③存在各项均为整数的数列{a }，使得 |Tn | |T
*
n n 1
|对任意的 n N 都成立；
④若对任意的 n N* ，都有 | Tn | M ，则有 | an 1 an | 2M .
其中所有正确结论的序号是_____.
三. 解答题（本大题共 5小题，共 60分）
19.(本小题 12 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是边长为2的正方形， = 2， ⊥ ， 为 的中点，
为 的中点．
(1) 求证： //平面 ；
(2) 再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，
求直线 与平面 所成角的正弦值．
条件①： ⊥ ；
条件②： = 2√ 3．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
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20. (本小题12分)
已知函数 ( ) = 3 2 2 + 1，其中 > 0．
(1)当 = 1时，求 ( )的单调区间；
1
(2)设曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线与 轴的交点为(0, )，当 变化时，求 + 的最小值．

21. (本小题12分)
2 2 1
已知椭圆 : 2 + 2 = 1( > > 0)的左，右顶点分别为 ， ，且| | = 4，椭圆 离心率为 ． 2
(1)求椭圆 的方程；
(2)过椭圆 的右焦点，且斜率不为0的直线 交椭圆 于 ， 两点，直线 ， 交于点 ，求证：点 在
直线 = 4上.
22. (本小题12分)
已知函数 ( ) = + ln ( ∈ )．
(1)当 = 1时，求函数 ( )的极值；
1
(2)若不等式 ( )≤ 2 + 对任意 > 0恒成立，求 的取值范围．
2
23. (本小题12分)
已知有穷数列 : 1, 2, , ( ∈
, 3)满足 ∈ { 1,0,1}( = 1,2, , ). 给定正整数 ，若存在正整
数 ， ( ≠ )，使得对任意的 ∈ {0,1,2, , 1}，都有 + = + ，则称数列 是 连续等项数列．
(1)判断数列 : 1，1，0，1，0，1， 1是否为3 连续等项数列？是否为4 连续等项数列？说明理由；
(2)若项数为 的任意数列 都是2 连续等项数列，求 的最小值；
(3)若数列 : 1, 2, , 不是4 连续等项数列，而数列 1: 1, 2, , , 1，数列 2: 1, 2, , , 0与数
列 3: 1, 2, , , 1都是4 连续等项数列，且 3 = 0，求 的值．
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2024 高二年级数学第四学段答案和解析
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
8. 9. 10. 11. 12.
13. e
14. 2
15. 312
√15
16.
5
4 5
17. ；( , +∞)
3 3
18. ①②④
19.证明：(1)取 中点 ，连接 ， ，如图所示：
1
因为 为 的中点，所以 // ， = ，
2
因为四边形 为正方形， 为 中点，
1
所以 // ， = ．
2
所以 // ， = ．
所以四边形 为平行四边形， // ．
又因为 平面 ， 平面 ．
所以 //平面 ．
解：(2)选条件①： ⊥ ，且 ⊥ ，又 ∩ = ， 平面 ，
平面 ，所以 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 ⊥ ，且 ⊥ ，
以点 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，
如图所示：
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所以 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (2,1,0)， (0,0,2)， (0,1,1)，
所以 = (2,1,0)， = (0,1,1)， = (0,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，
2 + = 0
所以{ · = 0，故{ ,
· = 0 + = 0
1
不妨取 = ( , 1,1)，
2
2 2
所以直线 与平面 所成角 满足sin = |cos < , > | = | | = =| || | 1 3． 2×√ +1+1
4
选条件②： = 2√ 3.由于 = = = 2，
所以 2 = 2 + 2，故 ⊥ ，由于 ⊥ ，且 ∩ = ，
平面 ， 平面 ，
故 ⊥平面 ，底面 是边长为2的正方形， = 2，
以点 为坐标原点建立空间直角坐标系 ，
如图所示：
所以 (0,0,0)， (2,0,0)， (2,2,0)， (0,2,0)， (2,1,0)， (0,0,2)， (0,1,1)，
所以 = (2,1,0)， = (0,1,1)， = (0,2,0)，
设平面 的法向量为 = ( , , )，

所以{ · = 0
2 + = 0
，故{ ,
· = 0 + = 0
1
不妨取 = ( , 1,1)，
2

sin = |cos <
2 2
所以直线 与平面 所成角 满足 , > | = | | = =| || | 1 3． 2×√ +1+1
4
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20.解：(Ⅰ)当 = 1时， ( ) = 3 2 + 1，
′( ) = 3 2 2 1 = (3 + 1)( 1)，
1 1
令 ′( ) > 0，可得 < 或 > 1，令 ′( ) < 0，可得 < < 1，
3 3
1 1
所以 ( )的单调递增区间为( ∞, )，(1,+∞)，单调递减区间为( , 1)．
3 3
(Ⅱ) ′( ) = 3 2 2 2，
′( ) = 3 2 + 2 2 2 = 4 2，
( ) = 3 3 + 3 + 1 = 3 + 1，
所以曲线 = ( )在点( , ( ))处的切线方程为 ( 3 + 1) = 4 2( + )，
即 = 4 2 + 3 3 + 1，令 = 0，可得 = 3 3 + 1，
1 1
所以 + = 3 3 + 1 + ，

1 1 9 4 1
令 ( ) = 3 3 + 1 + ， > 0，则 ′( ) = 9 2 2 = 2 ，
√ 3 √ 3
令 ′( ) > 0，可得 > ，令 ′( ) < 0，可得0 < < ，
3 3
√ 3 √ 3
所以 ( )在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
3 3
√ 3 4√ 3
所以 ( ) = ( ) = + 1， 3 3
1 4√ 3
即 + 的最小值为 + 1．
3
1
21.解：(1)因为| | = 4，椭圆 离心率为 ，
2
2 = 4
1
所以{ = ，解得 2 = 4， 2 = 3．
2
2 = 2 + 2
2 2
所以椭圆 的方程是 + = 1．
4 3
(2)①若直线 的斜率不存在时，
因为椭圆 的右焦点为(1,0)，所以直线 的方程是 = 1，
3 3
所以点 的坐标是(1, )，点 的坐标是(1, )，
2 2
1 3
所以直线 的方程是 = ( + 2)，直线 的方程是 = ( 2)．
2 2
所以直线 ， 的交点 的坐标是(4,3)，
所以点 在直线 = 4上.
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②若直线 的斜率存在时，设斜率为 .所以直线 的方程为 = ( 1)．
= ( 1)
联立方程组{ 2 2 消去 ，整理得(3 + 4
2) 2 8 2 + 4 2 12 = 0．
+ = 1
4 3
显然 > 0.不妨设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
2 2
8 4 12
所以 1 + 2 = 2， 1 2 = 2 ．
3+4 3+4
6
所以直线 的方程是 = 1 ( + 2).令 = 4，得 = 1 ．
1+2 1+2
2
直线 的方程是 = 2 ( 2).令 = 4，得 = 2 ．
2 2 2 2
6 1 2 2 6 ( 1 1) 2 ( 2 1)所以 =
1+2 2 2 1+2 2 2
6 ( 1 1)( 2 2) 2 ( 1 + 2)( 2 1)
=
( 1 + 2)( 2 2)
分子= 6 ( 1 1)( 2 2) 2 ( 1 + 2)( 2 1)
= 2 [3( 1 2 2 2 1 + 2) ( 1 2 1 + 2 2 2)]．
= 2 [2 1 2 5( 1 + 2) + 8]
2 (4
2 12) 5 × 8 2
= 2 [ + 8]
2 2
3 + 4 3 + 4
2 2 2
8 24 40 +24+32
= 2 ( 2 ) = 0．
3+4
所以点 在直线 = 4上.

22.解：函数 ( )的定义域是(0,+∞)， ′( ) = 1 + ，

1 1
(Ⅰ)当 = 1时， ′( ) = 1 = ，

令 ′( ) = 0，解得： = 1，
， ′( )， ( )的变化如下：
(0,1) 1 (1,+∞)
′( ) 0 +
( ) 递减 极小值 递增
故 ( )的极小值是 (1) = 1，无极大值；
1
(Ⅱ)不等式 ( ) ≤ 2 + 恒成立
2
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1
等价于 2 + ≥ 0恒成立，
2
1
令 ( ) = 2 + ， ∈ (0,+∞)，
2
2+ ( 1)( + )
故 ′( ) = + 1 = = ，

(1)当 ≥ 0时，∵ ∈ (0,+∞)，∴ + > 0，
令 ′( ) = 0，解得： = 1，
， ′( )， ( )的变化如下：
(0,1) 1 (1,+∞)
′( ) 0 +
1
( ) 递减 最小值 (1) = 递增
2
1
当 ≥ 0时，不等式 ( ) ≥ 0恒成立当且仅当 ≥ 0，
2
1
故 ≥ 符合题意；
2
2
( 1)
(2)当 = 1时， ′( ) = ≥ 0，

故 ( )在(0,+∞)递增，而 (1) < 0，故不合题意，
(3) 1 < < 0时，令 ′( ) = 0，解得： = 1或 = ，
则0 < < 1，
， ′( )， ( )的变化如下：
(0, ) ( , 1) 1 (1,+∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 递增 极大值 递减 极小值 递增
1
显然 (1) = < 0，故不合题意，
2
(4)当 < 1时，令 ′( ) = 0，解得： = 1或 = ，
则 > 1，
， ′( )， ( )的变化如下：
(0,1) 1 (1, ) ( ,+∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 递增 极大值 递减 极小值 递增
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1
显然， (1) = < 0，不合题意，
2
1
综上： 的取值范围是[ , +∞)．
2
23.【答案】解：(1)数列 是3 连续等项数列，不是4 连续等项数列.理由如下：
因为 2+ = 4+ ( = 0,1,2)，所以 是3 连续等项数列．
因为 1， 2， 3， 4为 1，1，0，1;
2， 3， 4， 5为1，0，1，0;
3， 4， 5， 6为0，1，0，1;
4， 5， 6， 7为1，0，1， 1，
所以不存在正整数 ， ( ≠ )，使得 + = + ( = 0,1,2,3)．
所以 不是4 连续等项数列．
(2)设集合 = {( , )| ∈ { 1，0，1}， ∈ { 1,0,1}，则 中的元素个数为32 = 9．
因为在数列 中， ∈ { 1,0,1}( = 1，2， ， )，所以( , +1) ∈ ( = 1,2, , 1)．
若 ≥ 11，则 1 ≥ 10 > 9．
所以在( 1, 2)，( 2, 3)，( 3, 4)， ，( 1, )这 1个有序数对中，至少有两个有序数对相同，
即存在正整数 ， ( ≠ )，使得 = ， +1 = +1．
所以当项数 11时，数列 一定是2 连续等项数列．
若 = 3，数列0，0，1不是2 连续等项数列．
若 = 4，数列0，0，1，1不是2 连续等项数列．
若 = 5，数列0，0，1，1，0不是2 连续等项数列．
若 = 6，数列0，0，1，1，0， 1不是2 连续等项数列．
若 = 7，数列0，0，1，1，0， 1，1不是2 连续等项数列．
若 = 8，数列0，0，1，1，0， 1，1， 1不是2一连续等项数列．
若 = 9，数列0，0，1，1，0， 1，1， 1， 1不是2 连续等项数列．
若 = 10，数列0，0，1，1，0， 1，1， 1， 1，0不是2 连续等项数列．
所以 的最小值为11．
(3)所以存在两两不等的正整数 ， ， ( , , < 2)使得 = 2， +1 = 1， +2 = ， +3 =
1，
= 2， +1 = 1， +2 = ， +3 = 0，
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= 2， +1 = 1， +2 = ， +3 = 1．
下面用反证法证明min{ , , } = 1．
假设min{ , , } > 1，
因为 1， 1， 1， 3 ∈ { 1,0,1}，
所以 1， 1， 1， 3中至少有两个数相等．
不妨设 1 = 1，则 1 = 1， = ， +1 = +1， +2 = +2，
所以 是4 连续等项数列，与题设矛盾．
所以min{ , , } = 1．
所以 = +2 = +2 = +2 = 3 = 0．
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