益阳市2024届高三4月教学质量检测
数 学
（时量：120分钟 满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知为虚数单位，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知，则是方程的解的充要条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．顶角为36°的等腰三角形，常称为“最美三角形”．已知，则“最美三角形”的底边长与腰长的比为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列满足且，则（ ）
A．128 B．64 C．32 D．16
5．已知双曲线与椭圆有相同的焦点，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
6．2023年的某一天某红酒厂商为了在线出售其红酒产品，联合小Y哥直播间，邀请某“网红”来现场带货．在带货期间，为吸引顾客光临直播间、增加客流量，发起了这样一个活动：如果在直播间进来的顾客中，出现生日相同的顾客，则奖励生日相同的顾客红酒1瓶．假设每个随机来访的顾客的出生日期都是相互独立的，并且每个人都等可能地出生在一年（365天）中任何一天（2023年共365天），在远小于365时，近似地，，其中．如果要保证直播间至少两个人的生日在同一天的概率不小于，那么来到直播间的人数最少应该为（ ）
A．21 B．22 C．23 D．24
7．如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”．显然，即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙．材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变化．记原金属晶体的原子半径为，另一种金属晶体的原子半径为，则和的关系是（ ）
A． B． C． D．
8．已知的定义域为是的导函数，且，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．
9．下列命题中，正确的是（ ）
A．函数与表示同一函数
B．函数与是同一函数
C．函数的图象与直线的图象至多有一个交点
D．函数，则0
10．如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”管制的工具．它由转动杆与横杆组成，为横杆的两个端点．在道闸抬起的过程中，横杆始终保持水平．如图2所示，以点为原点，水平方向为轴正方向建立平面直角坐标系．若点距水平地面的高度为1米，转动杆的长度为1.6米，横杆的长度为2米，绕点在与水平面垂直的平面内转动，与水平方向所成的角（ ）
图1 图2
A．则点运动的轨迹方程为（其中）
B．则点运动的轨迹方程为（其中）
C．若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则横杆距水平地面的高度为米
D．若绕点从与水平方向成角匀速转动到与水平方向成角，则点运动轨迹的长度为米
11．在中，角所对的边依次为，已知，则下列结论中正确的是（ ）
A．：
B．为钝角三角形
C．若．则的面积是
D．若的外接圆半径是，内切圆半径为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在平面直角坐标系中，已知点，若为平面上的一个动点且，则点运动所形成的曲线的方程为______．
13．已知，且，则满足且的的最大值为______．
14．已知函数的定义域为．对任意的恒有，且．则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知为正实数，构造函数．若曲线在点处的切线方程为．
（1）求的值；
（2）求证：．
16．（本小题满分15分）
新鲜是水果品质的一个重要指标。某品牌水果销售店，为保障所销售的某种水果的新鲜度，当天所进的水果如果当天没有销售完毕，则第二天打折销售直至售罄．水果销售店以每箱进货价50元、售价100元销售该种水果，如果当天卖不完，则剩下的水果第二天将在原售价的基础上打五折特价销售，而且要整体支付包装更换与特别处理等费用30元．这样才能保障第二天特价水果售罄，并且不影响正价水果销售，水果销售店经理记录了在连续50天中该水果的日销售量x（单位：箱）和天数y（单位：天）如下表所示：
日销售量x（单位：箱） 22 23 24 25 26
天数y（单位：天） 10 10 15 9 6
（1）为能减少打折销售份额，决定70%地满足顾客需求（即在100天中，大约有70天可以满足顾客需求）．请根据上面表格中的数据，确定每天此种水果的进货量t的值。（以箱为单位，结果保留一位小数）
（2）以这50天记录的日需求量的频率作为日需求量的概率，设（1）中所求的值满足，请以期望作为决策依据，帮销售店经理判断每天购进此种水果是箱划算还是箱划算？
17．（本小题满分15分）
如图所示，四边形为梯形，，以为一条边作矩形，且，平面平面．
（1）求证：；
（2）甲同学研究发现并证明了这样一个结论：如果两个平面所成的二面角为，其中一个平面内的图形在另一个平面上的正投影为，它们的面积分别记为和，则．乙同学利用甲的这个结论，发现在线段上存在点，使得．请你对乙同学发现的结论进行证明．
18．（本小题满分17分）
已知直线与椭圆相交于点，点在第一象限内，分别为椭圆的左、右焦点．
（1）设点到直线的距离分别为，求的取值范围；
（2）已知椭圆在点处的切线为．
（1）求证：切线的方程为；
（2）设射线交于点，求证：为等腰三角形．
19．（本小题满分17分）
我们知道，二维空间（平面）向量可用二元有序数组表示；三维空间向盘可用三元有序数组表示．一般地，维空间向量用元有序数组表示，其中称为空间向量的第个分量，为这个分量的下标．对于维空间向量，定义集合．记的元素的个数为（约定空集的元素个数为0）．
（1）若空间向量，求及；
（2）对于空间向量．若，求证：，若，则；
（3）若空间向量的坐标满足，当时，求证：．益阳市2024届高三4月教学质量检测
数学参考答案
1.A解折：由1+D2=2,得异；-202D-1-i,2=1+i
2.C解析：因为二次函数fx)=立a2-bx的对称轴为x一名，且开口向上，所以当云一
a
时，函数f(x)取到最小值，所以xo是方程ax=b的解的充要条件是“Hx∈R,f(x)≥
f(xo)”,故选C.
3,B解析：顶角为36的等腰三角形的底角为72°，由c0s36°=1+5，得c0s72°=2c0s236-1
4
=2×(+5)2-1=一1十5，所以“最美三角形”的底边长与腰长的比为2c0s72°=2×
4
-1+5=-1+5
4
2
4.D解析：由ana+1=2",得an+1an+2=2+1,两式相除得am+2=2,故数列{an}的奇数项是首
an
项为a1=1,公比为q=2的等比数列，所以ag=a2x5-1=a1g=24=16.
5.D解析：因为椭圆兰+苦-1的两个焦点为F,(-1,0),F(1,0,放双曲线元-片=1的
焦距为2c=2,c=1,进而m十n=c2=1,4+1=(4+)(m十)=++5≥
m n
m
m
2√兴·费+5=9，当且仅当2-m,即m-号，m-号时取等号，故号+7的最小值为9.
6.C解析：设直播间进来了n(n<365)个人，则这n个人生日的可能性种数为365”，这n个人
中任意两个人都不在同一天生日的可能结果种数为365×364×…×(365一n十1)，设事件
A=“这n个人中任意两个人不是同一天生日”，根据古典概型概率公式，P(A)一(1-
3总)，则其对立事件不=“这m个人中至少有两个人的生日在同一天”的概率为1一瓜(1一
20】
3点6).由题意：1一工(1一36)≥2：从而其（1一总)≤2，得3。≤-h2化简得
n30m≥1n2=0.693,即(m-1)m≥730×0.693≈505.89，故%m=23.
730
7.D解析：由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体
P-ABC.设正四面体的棱长为a,高为h,外接球球心为O,D为正三角形ABC的中心，则
必有P.0,D三点共线在正三角形ABC中，易求得DB受ex号-停在△PDB中，由
益阳市2024届高三4月教学质量检测·数学·参考答案第1页（共7
PB-PD+DB可得A=PD-a.在△OBD中，由OB=OD十
DB,得R=(h-R)2+(号a),解得R=a,由题意得
(a=2rA,
B
(4a=ra十rB
所以9×2A=n+rs,所以2a=66-2》n
8.C解析：因为x2f'(x)+2xf(x)=lnx,即[x2f(x)]=lnx,构造函数g(x)=x2f(x),则
g()=lm,f(x)=巴.将f)=四代入xf(x)+2xf(x）=-ln,得f(x)=
nx-2g.再构造函数h(x)=xlnx-2g(x),则h'(x)=lnx十1-2g(x)=1-lnx,易
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知，当x∈(0，e)时，h'(x)>0,函数h(x)单调递增；当x∈(e,十∞)时，h'(x)<0,函数h(x)
单调递减，于是当x=e时，函数h(x)取到最大值h(e)=e一2g(e)=e一2e2f(e),由于
2ef(e)=1,故h(e)=0,因此h(x)≤0（当且仅当x=e时取等号），因此当x∈(0，e)时，
f(x)<0,函数f(x)单调递减；当x∈(e,十o)时，f(x)<0,函数f(x)单调递减.因此，
fx在0，十∞)单调递减又根据单位圆，可得三角不等式sim弓<号
sin3,am31
f(sin).
9.BC解析：对于A,函数v(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十∞)，函数u(x)的定义域为
(一∞，十∞)，所以v(x)和(x)的定义域不同，不是同一函数，A错误；对于B,v(x)和u(x)
的定义域和对应法则均相同，故是同一函数，B正确；对于C,若函数y=f(x)在x=2024处
有定义，则它的图象与直线x=2024有一个交点，若没有定义，则没有交点，C正确；对于D,
因为f分)=1-合-号=0，所以ff分》=f0)=1,D错误.
10.BC
解析：对于A,点P运动的轨迹方程为x+-第（其中x[0,41,[专，)，
A错误；对于B,点Q的运动轨迹为以点(2,0)为圆心，半径为1.6=8的圆，故方程为(x-
22十尝显然2x<2+9,音≤<号，B正确：对于C,被杆PQ距水平地面的高
度为1十1.6=26=号米，C正确；对于D,点Q运动轨迹的长度即为网（其中）的弧长，等
于密米，D错误。
11.BD解析：由正弦定理和sinA:sinB:sinC=2:3:4,得a:b:c=2:3:4,设a=2k,
b=3k,c=4k.对于A,(a十b):(b十c):(c十a)=5k:7k:6k=5:7:6,故A错；对于B,
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益阳市2024届高三4月教学质量检测·数学·参考答案第2页（共7页