四川省射洪中学校2023-2024学年高二下学期第一次学月质量检测（4月）数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 四川省射洪中学校2023-2024学年高二下学期第一次学月质量检测（4月）数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-10 11:44:15 | ||
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文档简介
射洪中学高2022级高二（下）第一次学月质量检测
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列结论不正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知函数，则等于（ ）
A．1 B．
C． D．0
3．设是函数的导函数，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数在处有极小值，则（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．若存在唯一的正整数，使得不等式成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．下列导数运算错误的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，函数有两个极值点，则（ ）
A． B．时，函数的图象在处的切线方程为
C．为定值 D．时，函数在上的值域是
11．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，且，则 .
14．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为 .
15．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数，都有，则的取值范围为 .
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）利用导数求下列函数的单调区间.
(1)；
(2)，.
▲
18．（12分）已知函数.
(1)求的导数；
(2)求函数的图象在处的切线方程.
▲
19．（12分）已知函数．
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
▲
20．（12分）已知函数
(1)若函数在处取得极值，求的值；
(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
▲
21．（12分）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．
(1)求；
(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
▲
22．（12分）已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
▲
射洪中学高2022级高二（下）第一次学月质量检测
数学答案
1．B【详解】对于A选项，，正确.
对于B选项，，不正确.
对于C选项，，正确.
对于D选项，，正确.故B选项结论不正确.故选：B
【点睛】本小题主要考查导数运算，属于基础题.
2．B【详解】由得，所以，
所以故选：B
3．C【详解】由，得或，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由图知，只有C选项的图象符合.故选：C.
4．B【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B
5．A【详解】由函数，可得，
因为函数在处取得极小值，可得，解得或，
当时，令，解得或；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极大值，不符合题意，舍去；
当时，令，可得或；令，可得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极小值，符合题意，
综上可得，.故选：A.
6．D【详解】解：观察图像可得，导函数的图像过点（0，0），（，0），原函数的图像过点（0，0），（2，0），观察图像可得满足的x取值范围为. ，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的图像的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.
7．D【详解】，
设 ，则，
故在上为减函数，故即，
所以，故，故选：D.
8．D【详解】由题意知，在时有唯一的正整数解.
设（），则，
又，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
所以要满足在时有唯一的正整数解，
则只需要，
又，，所以.故选：D.
9．ACD【详解】选项A. ,所以选项A不正确.
选项B. ,所以选项B正确.
选项C. ,所以选项C不正确.
选项D. ,所以选项D不正确. 故选：ACD
10．ABC【详解】对于A，由题意，当时，，无极值点，
当时，，
时，，函数单调递减，无极值点，
当时，令，得，解得，
当，解得或，上单调递增，
当，解得，上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
所以当时，函数有两个极值点，故正确；
对于B，若，则，则，则，，
所以函数在处的切线方程为，即，故正确；
对于C，因为，
当时，由，得，则，
所以为定值，故C正确；
对于D，当时，则，则，
令，解得或，
所以当时，，
，，
上的值域是，故错误.故选：ABC.
11．BD【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.故选：BD.
12．AD【详解】因为的定义域为R，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
的定义域为，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
如图：
易知，且，
因为，所以，
因为，在上为增函数，所以，即，
同理，即，所以，
又，所以，故A正确，B错误；
又，
故D正确，C错误；故选：AD.
13．【详解】由，求导得，则，由，求导得，
所以.故答案为：
14．/或
【详解】解：根据函数图像可知，函数在和上递减，
所以不等式≤0的解集为.故答案为：.
15．【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.故答案为：
16．【详解】由，不妨设，则，
所以，可变形化简为，
构造函数，则，
所以在上是单调递增函数，
所以恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
又时，，而，所以，
所以，所以的取值范围为.故答案为：.
17．(1)的递增区间为，无递减区间；
(2)的递减区间为，无递增区间.
【详解】（1）由在定义域上恒成立，故的递增区间为，无递减区间；
（2）由在上恒成立，故的递减区间为，无递增区间.
18．(1) (2)
【详解】（1）因为函数，所以；
（2）因为，
所以函数在处的切线方程为，即.
19．(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，综上所述：的取值范围为.
20．(1) (2)
【详解】（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
21．(1) (2)答案见解析
【详解】（1）由题意知，，，
则，，所以.
所以栈道总长度为
（2）建造栈道的费用为，则，
令，得，又，解得，
当时， ，当时， ，
则在单调递减，在单调递增，
故，此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.
22．(1)，单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)
【详解】（1）因为，所以，
又，则，
又函数的图象在处的切线经过点，
所以，解得，
所以，函数的定义域为，又，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时恒成立，即恒成立，
所以在，上单调递增.
即的单调递增区间为，，无单调递减区间.
（2）因为不等式在区间上恒成立，
因为，则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
又，所以，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由（1）可知在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即区间上恒成立，
所以时在区间上恒成立，
即对任意关于的不等式在区间上恒成立.
数学试题
（考试时间：120分钟 满分：150分）
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答非选择题时，将答案写在答题卡对应题号的位置上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将答题卡交回。
第I卷（选择题）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列结论不正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．已知函数，则等于（ ）
A．1 B．
C． D．0
3．设是函数的导函数，则的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．函数f (x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．若函数在处有极小值，则（ ）
A． B． C．或 D．
6．已知函数与其导函数的图象如图，则满足的x的取值范围为
A． B．
C． D．
7．已知，则（ ）
A． B． C． D．
8．若存在唯一的正整数，使得不等式成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分．在每个小题给出的四个选项中，有多个项符合题目要求．全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．
9．下列导数运算错误的有（ ）
A． B．
C． D．
10．已知，函数有两个极值点，则（ ）
A． B．时，函数的图象在处的切线方程为
C．为定值 D．时，函数在上的值域是
11．已知为函数的导函数，当时，有恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题）
三、填空题：共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，，且，则 .
14．函数y＝f(x)在其定义域内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝，则不等式≤0的解集为 .
15．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ．
16．已知函数，都有，则的取值范围为 .
四、解答题：共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）利用导数求下列函数的单调区间.
(1)；
(2)，.
▲
18．（12分）已知函数.
(1)求的导数；
(2)求函数的图象在处的切线方程.
▲
19．（12分）已知函数．
(1)求证：当时，曲线与直线只有一个交点；
(2)若既存在极大值，又存在极小值，求实数的取值范围．
▲
20．（12分）已知函数
(1)若函数在处取得极值，求的值；
(2)若函数在定义域内存在两个零点，求的取值范围.
▲
21．（12分）南京玄武湖号称“金陵明珠”，是我国仅存的皇家园林湖泊．在玄武湖的一角有大片的荷花，每到夏季，荷花飘香，令人陶醉．夏天的一个傍晚，小胡和朋友游玄武湖，发现观赏荷花只能在岸边，无法深入其中，影响观赏荷花的乐趣，于是他便有了一个愿景：若在玄武湖一个盛开荷花的一角（该处岸边近似半圆形，如图所示）设计一些栈道和一个观景台，观景台在半圆形的中轴线上（图中与直径垂直，与不重合），通过栈道把连接起来，使人行在其中，犹如置身花海之感．已知，栈道总长度为函数．
(1)求；
(2)若栈道的造价为每米5万元，试确定观景台的位置，使实现该愿景的建造费用最小（观景台的建造费用忽略不计），并求出实现该愿景的建造费用的最小值．
▲
22．（12分）已知函数的图象在处的切线经过点.
(1)求的值及函数的单调区间；
(2)若关于的不等式在区间上恒成立，求正实数的取值范围.
▲
射洪中学高2022级高二（下）第一次学月质量检测
数学答案
1．B【详解】对于A选项，，正确.
对于B选项，，不正确.
对于C选项，，正确.
对于D选项，，正确.故B选项结论不正确.故选：B
【点睛】本小题主要考查导数运算，属于基础题.
2．B【详解】由得，所以，
所以故选：B
3．C【详解】由，得或，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
由图知，只有C选项的图象符合.故选：C.
4．B【详解】观察函数的图象知：当时，单调递增，且当时，，
随着逐渐增大，函数图象由陡逐渐变缓，，，，
而（即点B）处切线的倾斜角比（即点A）处的倾斜角小，且均为锐角，
，又是割线AB的斜率，显然，所以.故选：B
5．A【详解】由函数，可得，
因为函数在处取得极小值，可得，解得或，
当时，令，解得或；令，解得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极大值，不符合题意，舍去；
当时，令，可得或；令，可得，
函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增，
所以在处有极小值，符合题意，
综上可得，.故选：A.
6．D【详解】解：观察图像可得，导函数的图像过点（0，0），（，0），原函数的图像过点（0，0），（2，0），观察图像可得满足的x取值范围为. ，故选D.
【点睛】本题主要考查函数的图像的判定与应用，考查的核心素养是数学抽象、逻辑推理、数学运算.
7．D【详解】，
设 ，则，
故在上为减函数，故即，
所以，故，故选：D.
8．D【详解】由题意知，在时有唯一的正整数解.
设（），则，
又，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
又因为，
所以要满足在时有唯一的正整数解，
则只需要，
又，，所以.故选：D.
9．ACD【详解】选项A. ,所以选项A不正确.
选项B. ,所以选项B正确.
选项C. ,所以选项C不正确.
选项D. ,所以选项D不正确. 故选：ACD
10．ABC【详解】对于A，由题意，当时，，无极值点，
当时，，
时，，函数单调递减，无极值点，
当时，令，得，解得，
当，解得或，上单调递增，
当，解得，上单调递减，
所以是的极大值点，是的极小值点，
所以当时，函数有两个极值点，故正确；
对于B，若，则，则，则，，
所以函数在处的切线方程为，即，故正确；
对于C，因为，
当时，由，得，则，
所以为定值，故C正确；
对于D，当时，则，则，
令，解得或，
所以当时，，
，，
上的值域是，故错误.故选：ABC.
11．BD【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数在上为减函数，
对于AB选项，，即，可得，A错B对；
对于CD选项，，即，D对，C无法判断.故选：BD.
12．AD【详解】因为的定义域为R，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
的定义域为，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
如图：
易知，且，
因为，所以，
因为，在上为增函数，所以，即，
同理，即，所以，
又，所以，故A正确，B错误；
又，
故D正确，C错误；故选：AD.
13．【详解】由，求导得，则，由，求导得，
所以.故答案为：
14．/或
【详解】解：根据函数图像可知，函数在和上递减，
所以不等式≤0的解集为.故答案为：.
15．【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.故答案为：
16．【详解】由，不妨设，则，
所以，可变形化简为，
构造函数，则，
所以在上是单调递增函数，
所以恒成立，
即在上恒成立，
当时，，
又时，，而，所以，
所以，所以的取值范围为.故答案为：.
17．(1)的递增区间为，无递减区间；
(2)的递减区间为，无递增区间.
【详解】（1）由在定义域上恒成立，故的递增区间为，无递减区间；
（2）由在上恒成立，故的递减区间为，无递增区间.
18．(1) (2)
【详解】（1）因为函数，所以；
（2）因为，
所以函数在处的切线方程为，即.
19．(1)证明见解析；(2).
【详解】（1）当时，函数，求导得：，
令，得；令，得；
则函数在上递增，在上递减，
故，
所以曲线与直线只有一个交点.
（2）函数的定义域为，
求导得，
设，
令，解得，.
因为既存在极大值，又存在极小值，即在有两个变号零点，
则，解得且，综上所述：的取值范围为.
20．(1) (2)
【详解】（1）因为，则，
因为函数在处取得极值，所以，解得，
当时，可得，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以当时，函数取得极大值，符合题意，故.
（2）由，其中，当时，可得，单调递增，
此时函数至多有一个零点，不符合题意；当时，令，解得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
所以当时，取得极大值，也是最大值，
最大值为，
又，且当时，，
所以要使得函数有两个零点，则满足，
即，解得，
所以实数的取值范围是.
21．(1) (2)答案见解析
【详解】（1）由题意知，，，
则，，所以.
所以栈道总长度为
（2）建造栈道的费用为，则，
令，得，又，解得，
当时， ，当时， ，
则在单调递减，在单调递增，
故，此时，
故观景台位于离岸边半圆弧中点的距离为米时，建造费用最小，最小费用为万元.
22．(1)，单调递增区间为，，无单调递减区间 (2)
【详解】（1）因为，所以，
又，则，
又函数的图象在处的切线经过点，
所以，解得，
所以，函数的定义域为，又，
令，则，
所以当时，当时，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以当时恒成立，即恒成立，
所以在，上单调递增.
即的单调递增区间为，，无单调递减区间.
（2）因为不等式在区间上恒成立，
因为，则，
即在区间上恒成立，
所以在区间上恒成立，
又，所以，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
由（1）可知在上单调递增，
所以在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
令，，
则，
所以在上单调递减，
所以，即区间上恒成立，
所以时在区间上恒成立，
即对任意关于的不等式在区间上恒成立.
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