2023年湖南省郴州市数学中考真题名师详解版 试卷

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2023年湖南省郴州市数学中考真题名师详解版
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡和该试题卷的封面上，并认真填涂和核对答题卡上的姓名、准考证号和科目；
2．选择题部分请按题号用2B铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦擦干净，不留痕迹；
3．非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色签字笔书写，否则作答无效；
4．在草稿纸、试题卷上答题无效；
5．请勿折叠答题卡，保证字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
6．答题完成后，请将试题卷、答题卡放在桌上，由监考老师统一收回．
本试卷共8页，有三道大题，共26小题，满分130分，考试时间120分钟．
一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）
1. 的倒数是（　　）
A. 2 B. C. D.
2. 下列图形中，能由图形通过平移得到的是（　　）
A B. C. D.
3. 下列运算正确的是（　　）
A. B. C. D.
4. 下列几何体中，各自的三视图完全一样的是（　　）
A. B. C. D.
5. 下列问题适合全面调查的是（　　）
A. 调查市场上某品牌灯泡的使用寿命
B. 了解全市人民对湖南省第二届旅发大会的关注情况
C. 了解郴江河的水质情况
D. 神舟十六号飞船发射前对飞船仪器设备的检查
6. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
7. 小王从A地开车去B地，两地相距240km．原计划平均速度为km/h，实际平均速度提高了50%，结果提前1小时到达．由此可建立方程为（　　）
A. B. C. D.
8. 第11届中国（湖南）矿物宝石国际博览会在我市举行，小方一家上午开车前往会展中心参观．途中汽车发生故障，原地修车花了一段时间．车修好后，他们继续开车赶往会展中心．以下是他们家出发后离家的距离与时间的函数图象．分析图中信息，下列说法正确的是（　　）
A. 途中修车花了
B. 修车之前的平均速度是/
C. 车修好后的平均速度是/
D. 车修好后的平均速度是修车之前的平均速度的倍
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
9. 计算：___．
10. 在一次函数中，随的增大而增大，则的值可以是___________（任写一个符合条件的数即可）．
11. 在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是___________．
12 抛物线与轴只有一个交点，则________．
13. 为积极响应“助力旅发大会，唱响美丽郴州”号召，某校在各年级开展合唱比赛，规定每支参赛队伍的最终成绩按歌曲内容占30%，演唱技巧占50%，精神面貌占20%考评．某参赛队歌曲内容获得90分，演唱技巧获得94分，精神面貌获得95分．则该参赛队的最终成绩是___________分．
14. 在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中点，则 _______．
15. 如图，某博览会上有一圆形展示区，在其圆形边缘的点处安装了一台监视器，它的监控角度是，为了监控整个展区，最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器___________台．
16. 如图，在中，，，．将绕点逆时针旋转，得到，若点的对应点恰好落在线段上，则点的运动路径长是___________cm（结果用含的式子表示）．
三、解答题（17~19题每题6分，20~23题每题8分，24~25题每题10分，26题12分，共82分）
17. 计算：．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 某校计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D、E五个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图．
（1）请把图1中缺失数据，图形补充完整；
（2）请计算图2中研学活动地点C所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该校共有1200名学生，请估计最喜欢去D地研学的学生人数．
20. 如图，四边形是平行四边形．
（1）尺规作图；作对角线的垂直平分线（保留作图痕迹）；
（2）若直线分别交，于，两点，求证：四边形是菱形
21. 某次军事演习中，一艘船以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，小时后到达处，测得小岛在它的北偏西方向，求该船在航行过程中与小岛的最近距离（参考数据：，．结果精确到）．
22. 随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
23. 如图，在中，是直径，点是圆上一点．在的延长线上取一点，连接，使．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求图中阴影部分的面积（结果用含的式子表示）．
24. 在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘（固定）中放置一个物体，在右边托盘（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘与点的距离（）（），记录容器中加入的水的质量，得到下表：
托盘与点的距离 30 25 20 15 10
容器与水的总质量 10 12 15 20 30
加入的水的质量 5 7 10 15 25
把上表中的与各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的关于的函数图象．
（1）请在该平面直角坐标系中作出关于的函数图象；
（2）观察函数图象，并结合表中的数据：
①猜测与之间的函数关系，并求关于的函数表达式；
②求关于的函数表达式；
③当时，随的增大而___________（填“增大”或“减小”），随的增大而___________（填“增大”或“减小”），的图象可以由的图象向___________（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．
（3）若在容器中加入的水的质量（g）满足，求托盘与点的距离（cm）的取值范围．
25. 已知是等边三角形，点是射线上的一个动点，延长至点，使，连接交射线于点．
（1）如图1，当点在线段上时，猜测线段与的数量关系并说明理由；
（2）如图2，当点在线段的延长线上时，
①线段与的数量关系是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，连接．设，若，求四边形的面积．
26. 已知抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的周长最小时，求的值；
（3）如图2，取线段的中点，在抛物线上是否存在点，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、选择题
1、【答案】B
【解析】解：因为
所以-2的倒数为
因此选：B．
2、【答案】B
【解析】解：观察图形可知，B中图形能由图形通过平移得到，A，C，D均不能由图形通过平移得到；
因此选：B．
3、【答案】A
【解析】解：A、，此项计算正确，符合题意；
B、，此项计算错误，不符合题意；
C、，此项计算错误，不符合题意；
D、，此项计算错误，不符合题意；
因此选：A．
4、【答案】D
【解析】A、直三棱柱的俯视图为三角形，与主视图长方形和左视图长方形均不同，所以A错误；
B、圆锥的俯视图为圆，与主视图三角形和左视图三角形均不同，所以B错误；
C、圆柱的俯视图为圆，与主视图长方形和左视图长方形均不同，所以C错误；
D、球的三视图完全相同，都是圆，所以D正确；
因此选：D．
5、【答案】D
【解析】解：由题意知，A、B、C项数量较大，也不需要非常精确的数据，适于抽查，所以不符合要求；
D项关乎生命安全且需要的数据比较精确，适于全面调查，所以符合要求；
因此选：D．
6、【答案】C
【解析】解：由，得：；
由，得：，
所以不等式组的解集为：；
在数轴上表示如图：
因此选：C．
7、【答案】B
【解析】解：设原计划平均速度为km/h，由题意得：
，即：；
因此选：B
8、【答案】D
【解析】解：由图象可知途中修车花了，
修车之前的平均速度是÷/，
车修好后的平均速度是÷/,
所以
所以A、B、C错误，D正确．
因此选∶ D．
填空题
9、【答案】3
【解析】解： ∵33=27，
∴．
因此答案3．
10、【答案】3（答案不唯一）
【解析】解：因为一次函数中，y随x的值增大而增大，
所以．
解得：，
因此答案为：3（答案不唯一）．
11、【答案】##0.7
【解析】解：由题意得，随机取出一个球共有10种等可能的结果，其中取出的是红球共有7种等可能的结果，
所以；
因此答案为：．
12、【答案】9
【解析】解：因为抛物线与轴只有一个交点，
所以
解得，c=9．
因此答案为：9．
13、【答案】93
【解析】解：由题意，得：（分）；
所以该参赛队的最终成绩是93分，
因此答案为：93
14、【答案】5
【解析】解：如图：∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°，
∴
∵∠ACB=90°，D为AB的中点，
∴CD=AB=×10=5．
因此答案为5．
15、【答案】4
【解析】解：∵，
∴对应的圆心角的度数为，
，
∴最少需要在圆形边缘上共安装这样的监视器台．
因此答案为：4
16、【答案】
【解析】如图，以A为圆心作圆弧，
在直角中，，则，
则．
∴．
由旋转性质可知，，又，
∴是等边三角形．
∴．
由旋转性质知，．
所以弧的长度为：；
因此答案为：
解答题
17、【答案】4
【解析】解：原式
．
18、【答案】，
【解析】解：
，
当时，原式．
19、【答案】（1）见解析；
（2）；
（3）300．
【解析】解：（1）（人）
选择的人数：（人）
补全图形如下：
（2），
∴研学活动地点所在扇形的圆心角的度数；
（3）（人）
答：最喜欢去地研学的学生人数共有人．
20、【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
如图所示，设与交于点，
∵是的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形．
21、【答案】该船在航行过程中与小岛的最近距离．
【解析】解：如图所示，过点作，垂足为点，
解∶∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴（），
∴该船在航行过程中与小岛的最近距离．
22、【答案】（1）这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为
（2）5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人
【解析】解：（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意得：
，
解得：；
即5月份后10天日均接待游客人数最多是1万人．
23、【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】（1）证明：连接，
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
24、【答案】（1）作图见解析；
（2）①；②；③减小，减小，下；
（3）．
【解析】解∶（1）函数图象如图所示，
（2）①观察图象可知，可能是反比例函数，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
所以关于的函数表达式；
②观察表格以及①可知，可能与成反比例，设，
把的坐标代入，得，
经检验，其余各个点坐标均满足，
所以关于的函数表达式；
③由图象可知，当时，随的增大而减小，随的增大而减小，的图象可以由的图象向下平移得到，
因此答案为：减小，减小，下；
（3）当时，解得，
当时，解得，
所以托盘与点的距离（）的取值范围．
25、【答案】（1），理由见解析
（2）①成立，理由见解析②
【解析】解：（1），理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交于点，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
（2）①成立，理由如下：
∵是等边三角形，
∴，
过点作，交的延长线于点，如图所示，
∴，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，，
又，
∴，
∴，
∴；
②如图所示，过点作，交的延长线于点，过点作，交于点，交于点，则：，
由①知：为等边三角形，，，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴，
设，则：，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：②，
联立①②可得：（负值已舍去），
经检验，是原方程根，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴四边形的面积为
．
26、【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】解：（1）∵抛物线与轴相交于点，，
∴，解得：，
∴抛物线的表达式为；
（2）∵，当时，，
∴，抛物线的对称轴为直线
∵的周长等于，为定长，
∴当的值最小时，的周长最小，
∵关于对称轴对称，
∴，当三点共线时，的值最小，为的长，此时点为直线与对称轴的交点，
设直线的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
当时，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）存在，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①当点在点上方时：
过点作，交抛物线与点，则：，此时点纵坐标为2，
设点横坐标，
则：，
解得：，
∴或；
②当点在点下方时：设与轴交于点，
则：，
设，
则：，，
∴，解得：，
∴，
设的解析式为：，
则：，解得：，
∴，
联立，解得：或，
∴或；
综上所述：或或或．
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