2023年湖南省衡阳市数学中考真题名师详解版 试卷

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2023年湖南省衡阳市数学中考真题名师详解版
一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1. 中国是最早采用正负数表示相反意义量、并进行负数运算的国家．若收入500元记作元，则支出237元记作（ ）
A. 元 B. 元 C. 0元 D. 元
2. 下列长度的各组线段能组成一个三角形的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 下面四种化学仪器的示意图是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
4. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）
A. B. C. D.
5. 计算的结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
7. 对于二次根式的乘法运算，一般地，有．该运算法则成立的条件是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，添加下列条件，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　）
A. AB＝CD B. AB∥CD C. ∠A＝∠C D. BC＝AD
9. 《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设有x只鸡，y只兔．依题意，可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
10. 某射击运动队进行了五次射击测试，甲、乙两名选手的测试成绩如下表．甲、乙两名选手成绩的方差分别记为和，则与的大小关系是（ ）
测试次数 1 2 3 4 5
甲 5 10 9 3 8
乙 8 6 8 6 7
A. B. C. D. 无法确定
11. 我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A. 反证法 B. 比较法 C. 综合法 D. 分析法
12. 已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，满分18分．）
13. 在平面直角坐标系中，点所在象限是第________象限．
14. 一个布袋中放着3个红球和9个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别．布袋中的球已经搅匀．从布袋中任取1个球，取出红球的概率是________．
15. 已知，则代数式的值为________．
16. 已知关于x的方程的一个根是，则它的另一个根是________．
17. 如图，在中，．以点C为圆心，r为半径作圆，当所作的圆与斜边所在的直线相切时，r的值为________．
18. 如图，用若干个全等的正五边形排成圆环状，图中所示的是其中3个正五边形的位置．要完成这一圆环排列，共需要正五边形的个数是________ 个．
三、解答题（本大题共8个小题，19~20题每题6分，21~24题每题8分，25题10分，26题12分，满分66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
19. 计算：
20. 解不等式组：
21. 2023年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某学校举行了校园安全知识竞赛活动．现从八、九年级中各随机抽取15名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，80分及以上为优秀，共分成四组，A：；B：；C：；D：），并给出下面部分信息：
八年级抽取的学生竞赛成绩在C组中的数据为：84，84，88．
九年级抽取的学生竞赛成绩为：68，77，75，100，80，100，82，86，95，91，100，86，84，94，87．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数 优秀率
八 87 a 98
九 87 86 b c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：________，________，________．
（2）该校八、九年级共500人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数．
22. 如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于点A．
（1）求点A的坐标．
（2）分别以点O、A为圆心，大于一半的长为半径作圆弧，两弧相交于点B和点C，作直线，交x轴于点D．求线段的长．
23. 随着科技的发展，无人机已广泛应用于生产生活，如代替人们在高空测量距离和高度．圆圆要测量教学楼的高度，借助无人机设计了如下测量方案：如图，圆圆在离教学楼底部米的C处，遥控无人机旋停在点C的正上方的点D处，测得教学楼的顶部B处的俯角为，长为米．已知目高为米．
（1）求教学楼高度．
（2）若无人机保持现有高度沿平行于方向，以米/秒的速度继续向前匀速飞行，求经过多少秒时，无人机刚好离开圆圆的视线．
24. 如图，是的直径，是一条弦，D是的中点，于点E，交于点F，交于点H，交于点G．
（1）求证：．
（2）若，求半径．
25. （1）[问题探究]
如图1，正方形中，对角线相交于点O．在线段上任取一点P（端点除外），连接．
①求证：；
②将线段绕点P逆时针旋转，使点D落在的延长线上的点Q处．当点P在线段上的位置发生变化时，的大小是否发生变化？请说明理由；
③探究与的数量关系，并说明理由．
（2）[迁移探究]
如图2，将正方形换成菱形，且，其他条件不变．试探究与的数量关系，并说明理由．
26. 如图，已知抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点C，连接，过B、C两点作直线．
（1）求a的值．
（2）将直线向下平移个单位长度，交抛物线于、两点．在直线上方的抛物线上是否存在定点D，无论m取何值时，都是点D到直线的距离最大，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）抛物线上是否存在点P，使，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、选择题
1、【答案】B
【解析】因为收入500元记作元，
所以支出237元记作元，
因此选B．
2、【答案】D
【解析】A.，此项不符合题意；
B.，此项不符合题意；
C.，此项不符合题意；
D.，此项符合题意，
因此选D．
3、【答案】C
【解析】解：A．不是轴对称图形，本选项不合题意；
B．不是轴对称图形，本选项不符合题意；
C．是轴对称图形，本选项合题意；
D．不是轴对称图形，本选项不合题意．
因此选：C．
4、【答案】B
【解析】A. 是从上向下看得到的图形为俯视图，故A项不合题意；
B. 是从左向右看得到的图形为左视图，故B项符合题意；
C. 是从下往上看得到的图形是仰视图，故C项不合题意；
D. 是从前往后看得到的图形是主视图，故D项不合题意．
因此选B．
5、【答案】B
【解析】解：，
因此选：B．
6、【答案】A
【解析】7358万，
因此选：A．
7、【答案】D
【解析】解：根据二次根式有意义的条件，得，
，
因此选：D．
8、【答案】A
【解析】解：A、当BC∥AD，AB＝CD时，不能判定四边形ABCD是平行四边形，所以此选项符合题意；
B、当AB∥CD，BC∥AD时，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，所以此选项不合题意；
C、当BC∥AD，∠A＝∠C时，可推出AB∥DC，依据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，所以此选项不合题意；
D、当BC∥AD，BC＝AD时，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能判定四边形ABCD是平行四边形，所以此选项不合题意；
因此选：A．
9、【答案】C
【解析】解：设有x只鸡，y只兔，
根据题意得：，
因此选：C．
10、【答案】A
【解析】解：甲的平均数为，
甲的方差为，
乙的平均数为，
乙的方差为，
因为，
所以．
因此选：A．
11、【答案】A
【解析】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．
则三角形的三个内角的和大于，
这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
以上步骤符合反证法的步骤．
所以推理使用的证明方法是反证法．
因此选：A．
12、【答案】B
【解析】解：如图，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，
∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，
∴分别是A、B、C、D的横坐标，
∴，
因此选B．
填空题
13、【答案】三
【解析】解：的横坐标为负数，纵坐标为负数，
在第三象限，
因此答案为：三．
14、【答案】##0.25
【解析】因为一个布袋中放着3个红球和9个黑球，
所以取出红球的概率是，
因此答案为：．
15、【答案】
【解析】解：原式=
因此答案为：
16、【答案】5
【解析】解：由题意可得：，
∴，
∵该方程一个根为，令，
∴，解得：．
因此答案：5．
17、【答案】
【解析】因为，
所以，
根据切线的性质，得到圆的半径等于边上的高，
因为,
所以，
因此答案：．
18、【答案】10
【解析】解：由题意得：
∵正五边形的一个外角，
∴，
∴，
∴共需要正五边形的个数（个），
因此答案为：10．
解答题
19、【答案】
【解析】解：
20、【答案】
【解析】解：
解不等式①得：
解不等式②得：
所以不等式组的解集为：
21、【答案】（1）84，100，；
（2）200人
【解析】解：（1）∵一共抽取八年级学生15人，
∴中位数是排序后的第8个数据，
∵1+5=6，
∴第8个数据落在C组，
∴a第八名学生成绩，即；
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，100分出现了3次，出现次数最多，
∴，
∵抽取的九年级学生竞赛成绩中，80分及以上的有12个，
∴；
因此答案为：84，100，；
（2）由频数分布直方图可知，抽取的八年级学生竞赛成绩中，90分以上的有6个；
根据抽取的九年级学生的竞赛成绩可得，90分以上的有6个；
所以该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为：（人），
答：该校八、九年级参加此次竞赛活动成绩达到90分及以上的学生人数为200人．
22、【答案】（1）
（2）
【解析】解：（1）解方程组，得，
∵，
∴；
（2）根据题意可得：垂直平分，
如图，连接，则，
设，
则，解得，
∴．
23、【答案】（1）教学楼的高度为米
（2）无人机刚好离开视线的时间为12秒
【解析】解：（1）过点B作于点G，
由题意得：，米，，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵，，
∴，
∴，
∴米，
∵长为米，
∴（米），
答：教学楼的高度为米．
（2）连接并延长，交于点H，
∵米，米，
∴米，
∵米， ，
∴，
∴，米，
∴（米），
∵无人机以米/秒的速度飞行，
∴离开视线的时间为：（秒），
答：无人机刚好离开视线的时间为12秒．
24、【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】（1）证明：∵D是的中点，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，是的直径，
∴，
∵，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
中，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴的半径为5．
25、【答案】（1）①见解析；②不变化，，理由见解析；③，理由见解析；（2），理由见解析
【解析】
【详解】（1）①证明：∵四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴；
②的大小不发生变化，；
证明：如图所示，作，垂足分别为点M、N，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，即；
③；
证明：如图所示，作交于点E，作于点F，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，，
∴，
作于点M，
则，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）；
证明：∵四边形是菱形，，
∴，
∴是等边三角形，垂直平分，
∴，
∵，
∴，
作交于点E，交于点G，如图所示，
则四边形是平行四边形，，，
∴，都是等边三角形，
∴，
作于点M，则，
∴，
∴．
26、【答案】（1）
（2）存在，理由见详解
（3）存在点P，直线的解析式为或．
【解析】解：（1）抛物线与x轴交于点，
得，
解得：；
（2）存在，理由如下：
设与轴交于点，由（1）中结论，得抛物线的解析式为，
当时，，即，
，，即是等腰直角三角形，
，
，
，
设，过点作轴交于点，作于点，
，即是等腰直角三角形，
设直线的解析式为，代入，
得，解得，
所以直线的解析式为，
将直线向下平移个单位长度，得直线的解析式为，
，
，
当时，有最大值，
此时也有最大值，；
（3）存在点P，理由如下：
当点在直线下方时，如图所示，
在轴上取点，作直线交抛物线于（异于点）点，
由（2）中结论，得，
，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
所以直线的解析式为；
当点在直线上方时，如图所示，在轴上取点，连接，过点作交抛物线于点，
∴，
∴，
，
，
，
设直线的解析式为，代入点，
得，解得，
设直线的解析式为，
，且过点,
设直线的解析式为，
∴，
解得，
所以直线的解析式为．
综上可知：直线的解析式为或．
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