2023年湖南省湘潭市数学中考真题名师详解版 试卷

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2023年湖南省湘潭市数学中考真题名师详解版
考试时间：120分钟 满分：120分
考生注意：
本试卷分试题卷和答题卡两部分，全卷共四道大题，26道小题．请考生将解答过程全部填（涂）写在答题卡上，写在试题卷上无效，考试结束后，将试题卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
1. 中国的汉字既象形又表意，不但其形美观，而且寓意深刻，观察下列汉字，其中是轴对称图形的是（ ）
A 爱 B. 我 C. 中 D. 华
2. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　
A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 某校组织青年教师教学竞赛活动，包含教学设计和现场教学展示两个方面．其中教学设计占，现场展示占．某参赛教师的教学设计分，现场展示分，则她的最后得分为（ ）
A 分 B. 分 C. 分 D. 分
5. 如图，菱形中，连接，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于直N，若四边形的面积为2．则k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
7. 如图，圆锥底面圆的半径为4，则这个圆锥的侧面展开图中的长为（ ）
A. B. C. D.
8. 某校组织九年级学生赴韶山开展研学活动，已知学校离韶山50千米，师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了10分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共4小题，每小题3分，共12分．在每小题给出的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上）
9. 下列选项中正确是（ ）
A. B. C. D.
10. 2023年湘潭中考体育考查了投掷实心球的项目，为了解某校九年级男生投掷实心球水平．随机抽取了若干名男生的成绩（单位：米），列出了如下所示的频数分布表并绘制了扇形图：
类别 A B C D E
成绩
频数 2 6 25 12 5
则下列说法正确的是（ ）
A. 样本容量为50 B. 成绩在米人数最多
C. 扇形图中C类对应的圆心角为 D. 成绩在米的频率为0.1
11. 如图，是的直径，为弦，过点的切线与延长线相交于点，若，则下列说法正确的是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，抛物线与x轴交于点，则下列结论中正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题（本题共4个小题，每小题3分，共12分．请将答案写在答题卡相应的位置上）
13. 数轴上到原点的距离小于的点所表示的整数有__________．（写出一个即可）
14. 已知实数a，b满足，则_________．
15. 如图，在中，，按以下步骤作图：①以点为圆心，以小于长为半径作弧，分别交于点，；②分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，在内两弧交于点；③作射线，交于点．若点到的距离为，则的长为__________．
16. 七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具，某同学用边长为的正方形纸板制作了一副七巧板（如图），由5个等腰直角三角形，1个正方形和1个平行四边形组成．则图中阴影部分的面积为__________．
四、解答题（本大题共10个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将解答过程写在答题卡相应位置上）
17. 解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来．
18. 先化简，再求值：，其中．
19. 在中，是斜边上的高．
（1）证明：；
（2）若，求长．
20. 为落实“双减”政策要求，丰富学生课余生活，某校七年级根据学生需求，组建了四个社团供学生选择：A（合唱社团）、B（硬笔书法社团）、C（街舞社团）、D（面点社团）．学生从中任意选择两个社团参加活动．
（1）小明对这4个社团都很感兴趣，如果他随机选择两个社团，请列举出所有的可能结果；
（2）小宇和小江在选择过程中，首先都选了社团C（街舞社团），第二个社团他俩决定随机选择，请用列表法或树状图求他俩选到相同社团的概率．
21. 教育部正式印发《义务教育劳动课程标准（2022年版）》，劳动课成为中小学的一门独立课程，湘潭市中小学已经将劳动教育融入学生的日常学习和生活中，某校倡导同学们从帮助父母做一些力所能及的家务做起，培养劳动意识，提高劳动技能．小明随机调查了该校10名学生某周在家做家务的总时间，并对数据进行统计分析，过程如下：
收集数据：在家做家务时间：（单位：小时）
1 5 4 1 a 3 2 b 3 4
整理数据：
时间段
人数 3 6 m
分析数据：
统计量 平均数 中位数 众数
数据 3.4 3.5 4
请结合以上信息回答下列问题：
（1）__________，并补全频数直方图；
（2）数据统计完成后，小明发现有两个数据不小心丢失了．请根据图表信息找回这两个数据．若，则__________，__________；
（3）根据调查结果，请估计该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数．
22. 我国航天事业发展迅速，2023年5月30日9时31分，神舟十六号载人飞船成功发射，某玩具店抓住商机，先购进了1000件相关航天模型玩具进行试销，进价为50元/件．
（1）设每件玩具售价为x元，全部售完的利润为y元．求利润y（元）关于售价x（元/件）的函数表达式；
（2）当售价定为60元/件时，该玩具销售火爆，该店继续购进一批该种航天模型玩具，并从中拿出这两批玩具销售利润的20%用于支持某航模兴趣组开展活动，在成功销售完毕后，资助经费恰好10000元，请问该商店继续购进了多少件航天模型玩具？
23. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到．
（1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式；
（2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式．
24. 问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．
问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的．如图②，始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．（参考数据，）
问题解决：
（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，的度数；
（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到米）
25. 问题情境：小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点G，以为边长向外作正方形，将正方形绕点B顺时针旋转．
特例感知：
（1）当在上时，连接相交于点P，小红发现点P恰为的中点，如图①．针对小红发现的结论，请给出证明；
（2）小红继续连接，并延长与相交，发现交点恰好也是中点P，如图②，根据小红发现的结论，请判断的形状，并说明理由；
规律探究：
（3）如图③，将正方形绕点B顺时针旋转，连接，点P是中点，连接，，，的形状是否发生改变？请说明理由．
26. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，其中，．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）在二次函数图象上是否存在点，使得？若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点是对称轴上一点，且点的纵坐标为，当是锐角三角形时，求的取值范围．
参考答案及解析
一、选择题
1、【答案】C
【解析】解：将选项A，B，D中的汉字沿某直线折叠后不能与本身重合，故不符合题意；
将图C中的汉字沿过中心的竖直方向的直线折叠直线两旁的部分能够重合，故符合题意．
因此选：C．
2、【答案】D
【解析】解：根据题意得，x－1≥0，
解得x≥1．
因此选：D．
3、【答案】D
【解析】解：A. ，所以该项不正确，不符合题意；
B. ，所以该项不正确，不符合题意；
C. ，所以该项不正确，不符合题意；
D. ，所以该项正确，符合题意；
故因此：D．
4、【答案】B
【解析】解：根据题意，她的最后得分为分，
因此选：B．
5、【答案】C
【解析】解：∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴,
因此选：C．
6、【答案】A
【解析】解：轴于点M，轴于点N，，
四边形是矩形，
四边形的面积为2，
，
反比例函数在第一、三象限，
，
因此选：A．
7、【答案】C
【解析】解：根据题意，的长，
因此选：C．
8、【答案】A
【解析】解：设大巴车的平均速度为x千米/时，则老师自驾小车的平均速度为千米/时，
根据题意，列方程：，
因此答案为：A．
选择题
9、【答案】ABC
【解析】解：，所以A符合题意，
，所以B符合题意；
，所以C符合题意；
，所以D不符合题意；
因此选：ABC
10、【答案】AC
【解析】解：样本容量为，所以A正确；
根据统计表，可得成绩在米的人数最多，所以B错误；
扇形图中C类对应的圆心角为，所以C正确；
根据统计表，可得成绩在米的频率为，所以D错误，
因此选：AC．
11、【答案】ABD
【解析】解：∵是的直径，
∴，所以A项正确，
∵是的切线，
∴，
∴，所以B项正确，
∵
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，所以D项正确
∵是直角三角形，是斜边，则，所以C项错误，
因此选：ABD．
12、【答案】BD
【解析】解：A、由函数图象得，抛物线开口向下，知，所以A错误；
B、图象与y轴的交点在原点上方，知，所以B正确；
C、因为抛物线和x轴有两个交点，知，所以C错误．
D、当时，，所以D正确；
因此选：BD．
填空题
13、【答案】2（答案不唯一）
【解析】解：设所求数为a，由于在数轴上到原点的距离小于，则，且为整数，
则，
∵，即，
∴a可以是或或0．
因此答案为：2（答案不唯一）．
14、【答案】
【解析】解：∵，
∴且，
解得：，；
∴；
因此答案为：．
15、【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，由题意得，，
根据作图可知为的角平分线，
∵
∴，
因此答案为：．
16、【答案】
【解析】解：如图，
根据题意，，
所以图中阴影部分的面积为
因此答案为：．
解答题
17、【答案】不等式组的解集为：．画图见解析
【解析】解：，
解①得：，
解②得：，
∴，
在数轴上表示其解集如下：
所以不等式组的解集为：．
18、【答案】；2
【解析】解：
，
，
，
当时，原式．
19、【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）证明：∵是斜边上的高．
∴，
∴，
∴
又∵
∴，
（2）解：∵
∴，
又
∴．
20、【答案】（1）
（2）
【解析】解：（1）依题意，他随机选择两个社团，所有的可能结果为；
（2）列表如下，
共有9种等可能结果，他俩选到相同社团的结果有3种，
所以他俩选到相同社团的概率为．
21、【答案】（1）1；频数直方图见解析
（2）4；7 （3）1400人
【解析】解：（1）根据题意可得，，
因此答案为：1，
补全频数直方图，如图所示：
（2）在家做家务时间段为有1人，且，
，
观察数据，可得在家做家务时间段为的是3，3，4，4，5，有5人，比表格中的数据少一人，故，
众数为4，在已知数据中在家做家务时间为和的各有2人，
，
根据平均数，可得方程，
解得，
因此答案为：4；7；
（3）（人），
答：该校2000名学生在这一周劳动时间不少于3小时的人数约为1400人．
22、【答案】（1）；
（2）该商店继续购进了件航天模型玩具．
【解析】解：（1）因每件玩具售价为x元，
由题意得，；
（2）设商店继续购进了m件航天模型玩具，则总共有件航天模型玩具，
由题意得：，
解得，
答：该商店继续购进了件航天模型玩具．
23、【答案】（1）
（2）
【解析】解：（1）∵点B的坐标是，点C为中点，
∴，，
由旋转得：，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为；
（2）过点作于点，如图所示，
则，而，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设直线为，
∴，解得：，
∴直线为．
24、【答案】（1）；
（2）该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米．
【解析】解：（1）∵旋转一周用时120秒，
∴每秒旋转，
当经过95秒后该盛水筒运动到点B处时，，
∵，
∴；
（2）作于点C，设与水平面交于点D，则，如图所示，
在中，，，
∴，，
在中，，，
∴，
∴(米).
答：该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离为米..
25、【答案】（1）见解析；（2）是等腰直角三角形，理由见解析；（3）的形状不改变，见解析
【解析】（1）证明：连接，，，如图所示，
∵四边形，都是正方形，
∴，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即点P恰为的中点；
（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：
∵四边形，都是正方形，
∴
∴，
∴是等腰直角三角形；
（3）解：的形状不改变，
延长至点M，使，连接，如图所示，
∵四边形、四边形都是正方形，
∴，，
∵点P为的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
设交于点H，交于点N，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，即，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
26、【答案】（1）
（2）或或
（3）或．
【解析】解：（1）将点，代入，
得，
解得：
∴抛物线解析式为；
（2）∵，
顶点坐标为，
当时，
解得：
∴，则
∵，则
∴是等腰直角三角形，
∵
∴到的距离等于到的距离，
∵，，设直线的解析式为
∴
解得：
∴直线的解析式为，
如图所示，过点作的平行线，交抛物线于点，
设的解析式为，将点代入得，
,
解得：,
∴直线的解析式为，
,
解得：或,
∴，
∵,
∴,
∴是等腰直角三角形，且，
如图所示，延长至点，使得，过点作的平行线，交轴于点，则，则符合题意的点在直线上，
∵是等腰直角三角形，,
∴,,
∴是等腰直角三角形，
∴,
∴,
设直线的解析式为,
∴,
解得：,
∴直线的解析式为,
联立 ,
解得：或,
∴或,
综上所述，或或；
（3）①当时，如图所示，过点作交于点，
当点与点重合时，是直角三角形，
当时，是直角三角形，
设交于点，
∵直线的解析式为，
则，
∴,
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴
∴，
设，则,
∵,
∴,
解得：（舍去）或,
∴,
∵是锐角三角形,
∴,
当时，如图所示，
同理可得，,
即,
解得：或（舍去）,
由（2）可得时，,
∴,
综上所述，当是锐角三角形时，或．
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