2023年湖南省永州市数学中考真题名师详解版 试卷

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2023年湖南省永州市数学中考真题名师详解版
一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．每个小题只有一个正确选项，将正确的选项填涂到答题卡上）
1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”、如：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示（ ）
A. 运出30吨粮食 B. 亏损30吨粮食 C. 卖掉30吨粮食 D. 吃掉30吨粮食
2. 企业标志反映了思想、理念等企业文化，在设计上特别注重对称美，下列企业标志图为中心对称图形是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列多边形中，内角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
4. 关于x的一元一次方程的解为，则m的值为（ ）
A. 3 B. C. 7 D.
5. 下列各式计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列几何体中，其三视图的主视图和左视图都为三角形的是（ ）
A. B. C. D.
7. 某县年人均可支配收入为万元，年达到万元，若年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，则下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
8. 今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是（ ）
A. B. C. D. 1
9. 已知点在反比例函数的图象上，其中a，k为常数，且﹐则点M一定在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于的定长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，作，垂足为，则下列结论不正确的是（ ）
A. B. C. D. 一定经过的内心
二﹑填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分．请将答案填在答题卡的答案栏内）
11. ，3，三个数中最小的数为_______．
12. 与的公因式为________．
13. 已知x为正整数，写出一个使在实数的范围内没有意义的x值是_______．
14. 甲、乙两队学生参加学校仪仗队选拔，两队队员的平均身高均为，甲队队员身高的方差为，乙队队员身高的方差为，若要求仪仗队身高比较整齐，应选择_______队较好．
15. 如图，，则_______度．
16. 若关于x的分式方程（m为常数）有增根，则增根是_______．
17. 已知扇形的半径为6，面积为，则扇形圆心角的度数为_________度．
18. 如图，是一个盛有水容器的横截面，的半径为．水的最深处到水面的距离为，则水面的宽度为_______．
三、解答题（本大题共8个小题，共8分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19. 解关于x的不等式组
20. 先化简，再求值：，其中．
21. 如图，已知四边形是平行四边形，其对角线相交于点O，．
（1）是直角三角形吗？请说明理由；
（2）求证：四边形是菱形．
22. 今年3月27日是第28个全国中小学生安全教育日．某市面向中小学生举行了一次关于心理健康、预防欺凌、防漏水、应急疏散等安全专题知识竞赛，共有18360名学生参加本次竞赛．为了解本次竞赛成绩情况，随机抽取了n名学生的成绩x（成绩均为整数，满分为100分）分成四个组：1组、2组、3组、4组，并绘制如下图所示频数分布图
（1）______；所抽取的n名学生成绩的中位数在第_____组；
（2）若成绩在第4组才为优秀，则所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率为______；
（3）试估计18360名参赛学生中，成绩大于或等于70分的人数．
23. 永州市道县陈树湘纪念馆中陈列的陈树湘雕像高2.9米（如图1所示），寓意陈树湘为中国革命“断肠明志”牺牲时的年龄为29岁．如图2，以线段代表陈树湘雕像，一参观者在水平地面上D处为陈树湘雕拍照，相机支架高0.9米，在相机C处观测雕像顶端A的仰角为，然后将相机架移到处拍照，在相机M处观测雕像顶端A的仰角为，求D、N两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：）
24. 小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量简中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据：
时间t（单位：分钟） 1 2 3 4 5 …
总水量y（单位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）探究：根据上表中数据，请判断和（k，b为常数）哪一个能正确反映总水量y与时间t的函数关系 并求出y关于t的表达式；
（2）应用：
①请你估算小明在第20分钟测量时量筒的总水量是多少毫升
②一个人一天大约饮用1500毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用多少天．
25. 如图，以为直径的是的外接圆，延长到点D．使得，点E在的延长线上，点在线段上，交于N，交于G．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长；
（3）若，求证：．
26. 如图1，抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，点为抛物线上的动点，轴于H，且．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，直线交于点，求的最大值；
（3）如图2，四边形为正方形，交轴于点，交延长线于，且，求点的横坐标．
参考答案及解析
一、选择题
1、【答案】A
【解析】解：粮库把运进30吨粮食记为“”，则“”表示运出30吨粮食．
因此选：A
2、【答案】C
【解析】解：A．不是中心对称图形，所以此项不合题意；
B．不是中心对称图形，所以此项不合题意；
C．是中心对称图形，所以此项符合题意；
D．不是中心对称图形，所以此项不合题意；
因此选：C．
3、【答案】B
【解析】解：A．三角形内角和是，所以此项不符合题意；
B．四边形内角和为，所以此项符合题意；
C．五边形内角和，所以此项不符合题意；
D．六边形内角和为，所以此项不符合题意．
因此选：B．
4、【答案】A
【解析】解：把代入得：，
解得：．
因此选：A．
5、【答案】D
【解析】解：A、，所以A项不正确，不符合题意；
B、，所以B项不正确，不符合题意；
C、，所以C项不正确，不符合题意；
D、，所以D项正确，符合题意；
因此选：D．
6、【答案】D
【解析】A. 主视图和左视图都为长方形，该项不符合题意；
B. 主视图和左视图都为长方形，该项不符合题意；
C. 主视图和左视图都为长方形，该项不符合题意；
D. 主视图和左视图都为三角形，该项符合题意，
因此选：D．
7、【答案】B
【解析】解：设年至年间每年人均可支配收入的增长率都为，依题意得，
，
因此选：B．
8、【答案】B
【解析】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，
所以选到前两首的概率是，
因此选：B．
9、【答案】A
【解析】解：，
反比例函数的图象经过第一、三象限，
故点M可能第一象限或者第三象限，
的横坐标大于0，
一定在第一象限，
因此选：A．
10、【答案】C
【解析】解：根据作图可知，是的角平分线，点在上，，
∴，所以B项正确，
在中，
，
∴，
∴，所以A项正确；
∵是的角平分线，三角形的内心是三条角平分线的交点，
∴一定经过的内心，所以D项正确；
若，则，，
又，
则，
∴，而题目没有给出这个条件，所以C项不一定正确，
因此选：C．
二﹑填空题
11、【答案】
【解析】解：，，3三个数中，只有3是正数，
3最大．
，，
，
．
最小．
因此答案为：．
12、【答案】
【解析】解：根据确定公因式的方法，得与的公因式为，
因此答案为：．
13、【答案】1（答案不唯一）
【解析】解：当时，没有意义，
解得，
为正整数，
可取1，2，
因此答案为：1．
14、【答案】甲
【解析】因为，
所以，
所以估计这两支仪仗队身高比较整齐的是甲，
因此答案为：甲．
15、【答案】
【解析】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
因此答案为：．
16、【答案】
【解析】∵关于x的分式方程（m为常数）有增根，
∴，
解得，
因此答案为：．
17、【答案】60
【解析】解：设扇形圆心角的度数为，
，
扇形的半径为6，
，
．
因此答案为：60．
18、【答案】
【解析】解：如图，过点作于点，交于点，则，
∵水的最深处到水面的距离为，的半径为，
∴，
在中，，
∴，
因此答案为：．
解答题
19、【答案】
【解析】解：，
解①得，，
解②得，，
所以原不等式组的解集为．
20、【答案】
【解析】解：
；
当时，
原式．
21、【答案】（1）是直角三角形，理由见解析．
（2）见解析
【解析】（1）解：是直角三角形，理由如下：
∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴是直角三角形．
（2）证明：由（1）得：是直角三角形，
∴，
即，
∵四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
22、【答案】（1）600，3
（2）
（3）成绩大于或等于70分的人数约为15606人
【解析】解：（1），
∵，
∴抽取的n名学生成绩的中位数为第300名学生和第301名学生成绩的平均数，
∵，，
∴抽取的n名学生成绩的中位数在第3组；
因此答案为：600，3；
（2）所抽取的n名学生中成绩为优秀的频率，
因此答案为：；
（3）解：（人），
答：成绩大于或等于70分的人数约为15606人．
23、【答案】1.5米
【解析】解：如图所示，米，米
四边形，四边形是矩形，四边形是矩形
∴米，
∵中，，
∴米，
∴米
∵中，，
∴
∴米
∴米
∴米
24、【答案】（1）能正确反映总水量y与时间t的函数关系；
（2）①102毫升；②144天
【解析】解：（1）观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，所以可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，
把，代入，
可得：，
解得，
y关于t的表达式；
（2）①当时，，
所以小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升，
答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升．
②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升，
30天分钟分钟，
可供一人饮水天数天，
答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天．
25、【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）证明见解析
【解析】（1）证明：∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
解得，或3，
当时，，
当时，，
∵，即，
∴；
（3）证明：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26、【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】解：（1）抛物线（，，为常数）经过点，顶点坐标为，
，，，
，
，
抛物线的解析式为：．
因此答案为：．
（2）如图所示，过点作轴于点，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
，
，
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
在直线上，，
在直线上，的解析式为：，
，
．
，
．
，
．
，，
当时， 有最大值，且最大值为： ．
因此答案为：．
（3）∵＋，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
抛物线的解析式为：，且与轴交于，两点，
．
设直线的解析式为：，则，
，
直线的解析式为：．
，在直线上，
，
，
，
，
（十字相乘法），
由，得：，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
点横坐标为：．
因此答案为：．
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