2023年湖南省岳阳市数学中考真题名师详解版 试卷

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2023年湖南省岳阳市数学中考真题名师详解版
温馨提示：
1．本试卷共三大题，24小题，满分120分，考试时量90分钟；
2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区域内；
3，考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场．
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．在每小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项）
1. 的相反数是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列几何体的主视图是圆的是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，点在直线上，点在直线上，于点，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5. 在5月份跳绳训练中，妍妍同学一周成绩记录如下：（单位：次/分钟），这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A. B. C. D.
6. 下列命题是真命题的是（ ）
A. 同位角相等 B. 菱形的四条边相等
C. 正五边形是中心对称图形 D. 单项式的次数是4
7. 我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题：“今有圆材，径二尺五寸．欲为方版，令厚七寸，问广几何？”结合右图，其大意是：今有圆形材质，直径为25寸，要做成方形板材，使其厚度达到7寸．则的长是（ ）
A 寸 B. 25寸 C. 24寸 D. 7寸
8. 若一个点的坐标满足，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9. 函数中，自变量x的取值范围是____．
10. 近年来，岳阳扛牢“守护好一江碧水”责任，水在变清，岸在变绿，洞庭湖真正成为鸟类的天堂．2022年冬季，洞庭湖区越冬水鸟数量达万只，数据用科学记数法表示为_________．
11. 有两个女生小合唱队，各由6名队员组成，甲队与乙队的平均身高均为，甲队身高方差，乙队身高方差，两队身高比较整齐的是_________队．（填“甲”或“乙”）
12. 如图，①在上分别截取线段，使；②分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；③作射线．若，则_________．
13 观察下列式子：
；；；；；…
依此规律，则第（为正整数）个等式是_________．
14. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则实数_________．
15. 2023年岳阳举办以“跃马江湖”为主题的马拉松赛事．如图，某校数学兴趣小组在处用仪器测得赛场一宣传气球顶部处的仰角为，仪器与气球的水平距离为20米，且距地面高度为1.5米，则气球顶部离地面的高度是_________米（结果精确到0.1米，）．
16. 如图，在中，为直径，为弦，点为的中点，以点为切点的切线与的延长线交于点．
（1）若，则的长是_________（结果保留）；
（2）若，则_________．
三、解答题（本大题共8小题，满分24分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 计算：．
18. 解不等式组：
19. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点．
（1）求反比例函数和正比例函数的表达式；
（2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标．
20. 为落实中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于实施中华优秀传统文化传承发展工程意见》，深入开展“我们的节日”主题活动，某校七年级在端午节来临之际，成立了四个社团：A包粽子，B腌咸蛋，C酿甜酒，D摘艾叶．每人只参加一个社团的情况下，随机调查了部分学生，根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
（1）本次共调查了_________名学生；
（2）请补全条形统计图；
（3）学校计划从四个社团中任选两个社团进行成果展示，请用列表或画树状图的方法，求同时选中A和C两个社团的概率．
21. 如图，点在的边上，，请从以下三个选项中①；②；③，选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形．
（1）你添加的条件是_________（填序号）；
（2）添加条件后，请证明矩形．
22. 水碧万物生，岳阳龙虾好．小龙虾产业已经成为岳阳乡村振兴“闪亮名片”．已知翠翠家去年龙虾的总产量是，今年龙虾的总产量是，且去年与今年的养殖面积相同，平均亩产量去年比今年少，求今年龙虾的平均亩产量．
23. 如图1，在中，，点分别为边的中点，连接．
初步尝试：（1）与的数量关系是_________，与的位置关系是_________．
特例研讨：（2）如图2，若，先将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，当点在同一直线上时，与相交于点，连接．
①求度数；
②求的长．
深入探究：（3）若，将绕点顺时针旋转，得到，连接，．当旋转角满足，点在同一直线上时，利用所提供的备用图探究与的数量关系，并说明理由．
24. 已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．
（1）请求出抛物线的表达式．
（2）如图1，在轴上有一点，点在抛物线上，点为坐标平面内一点，是否存在点使得四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案及解析
一、选择题
1、【答案】B
【解析】解：的相反数是，
因此选：B．
2、【答案】A
【解析】解：A项、 ，所以该项正确，符合题意；
B项、 ，所以该项不正确，不符合题意；
C项、 ，所以该项不正确，不符合题意；
D项、，所以该项不正确，不符合题意；
因此选：A．
3、【答案】A
【解析】解：A、主视图为圆，此项符合题意；
B、主视图为正方形，此项不符合题意；
C、主视图为三角形，此项不符合题意；
D、主视图为并排的两个长方形，此项不符合题意．
因此选：A．
4、【答案】C
【解析】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
因此选：C．
5、【答案】D
【解析】解：数据从小到大排列为，出现次数最多的是，共出现2次，所以众数是，中位数为．
因此选：D
6、【答案】B
【解析】A. 两平行线被第三条直线所截，同位角相等，所以该命题为假命题；
B. 根据菱形的性质，菱形的四条边相等，所以该命题为真命题；
C. 正五边形不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，所以该命题为假命题；
D. 单项式的次数是3，所以该命题是假命题；
因此选：B．
7、【答案】C
【解析】根据题意知，四边形是矩形，
在中，
因此选：C．
8、【答案】D
【解析】解：由“倍值点”的定义可得：，
整理得，
∵关于的二次函数（为常数，）总有两个不同的倍值点，
∴
∵对于任意实数总成立，
∴
整理得，
∴
∴，
∴，或
当时，解得，
当时，此不等式组无解，
∴，
因此选：D．
填空题
9、【答案】
【解析】解：根据题意得：x-2≠0，解得x≠2；
因此答案x≠2．
10、【答案】
【解析】解：．
因此答案为：．
11、【答案】甲
【解析】解：∵，，且
∴甲队稳定，
因此答案为：甲．
12、【答案】
【解析】解：根据题意可知，是的角平分线，
∴．
因此答案为：
13、【答案】
【解析】解：∵；；；；；…
∴第（为正整数）个等式是，
因此答案为：．
14、【答案】3
【解析】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
∵，，
∴，
解得：（不合题意，舍去），
∴
因此答案为：3
15、【答案】9.5
【解析】解：由题意得，四边形是矩形，
∴
在中，
∴,
∴
因此答案为：9.5
16、【答案】 ①. ②.
【解析】解：（1）连接，如图所示，
∵点为的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）连接，如图所示，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴,
∴
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，，
∴．
因此答案为：．
解答题
17、【答案】2
【解析】解：
．
18、【答案】
【解析】解：，
解不等式①得，；
解不等式②得，，
所以原不等式组的解集为．
19、【答案】（1）；
（2）或
【解析】解：（1）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
∴，
解得，
所以反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式．
（2）∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点，
根据反比例函数图象的中心对称性质，
∴，设，
根据题意，得，
∴，
解得：或，
所以点C的坐标为或．
20、【答案】（1）100 （2）见解析
（3）
【解析】解：（1）∵(人)，
因此答案为：100．
（2）B的人数：（人），
补全条形统计图如下：
．
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能的结果，选中A，C结果有2种，
所以同时选中A和C两个社团的概率为．
21、【答案】（1）答案不唯一，①或②
（2）见解析
【解析】解：（1）①或②
（2）添加条件①，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形；
添加条件②，为矩形，理由如下：
在中，，
在和中，
∴
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴为矩形
22、【答案】今年龙虾的平均亩产量．
【解析】解：设今年龙虾的平均亩产量是x，则去年龙虾的平均亩产量是，
根据题意得，，
解得：，
经检验是分式方程的解且符合题意，
答：今年龙虾的平均亩产量．
23、【答案】初步尝试：（1）；；（2）特例研讨：（1）；（2）；（3）或
【解析】初步尝试：（1）∵，点分别为边的中点，
∴是的中位线，
∴；；
因此答案为：；
（2）特例研讨：①如图，连接，，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转（为锐角），得到，
∴；，
∵点在同一直线上时，
∴，
又∵在中，是斜边的中点，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，即旋转角，
∴，
∴是等边三角形，
又∵，
∴,
∴,
∴,
∴,
②如图，连接，
∵，，
∴，,
∵,
∴,
∴,
设，则，
在中，，则，
在中，,
∴,
解得：或（舍去），
∴,
（3）如图，当点在同一直线上时，且点在上时，
∵，
∴，
设，则，
∵是的中位线，
∴，
∴，
∵将绕点顺时针旋转，得到，
∴，，
∴，
∴，
∵点在同一直线上，
∴，
∴，
∴在同一个圆上，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当在上时，
∵，
∴在同一个圆上，
设，则，
将绕点顺时针旋转，得到，
设，则，则，
∴，
∵,，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上所述，或.
24、【答案】（1）
（2）；
（3）点的坐标为或
【解析】解：（1）∵抛物线与轴交于两点，交轴于点，
∴把代入，得，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）假设存在这样的正方形，过点E作于点R，过点F作轴于点I，如图，
∴
∵四边形是正方形，
∴
∴
∴
又
∴
∴
∵
∴
∴
∴；
同理可证：
∴
∴
∴；
（3）抛物线上存在点，使得．
，
抛物线的顶点坐标为，
将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，
抛物线的解析式为，
抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，
，，
设直线的解析式为，把，代入得，
解得：，
直线的解析式为，
过点作轴于点，连接，设交直线于或，过点作轴交于点，交抛物线于点，连接，如图2，
则，，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
∵，
，
，
即点与点重合时，，
；
，，
，
，
点与点关于直线对称，
；
综上所述，抛物线上存在点，使得，点的坐标为或．
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