2023年海南省数学中考真题名师详解版 试卷

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2023年海南省数学中考真题名师详解版
（全卷满分120分，考试时间100分钟）
一、选择题（本大题满分36分，每小题3分）
在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代号按要求用2B铅笔涂黑．
1. 如图，数轴上点A表示的数的相反数是（ ）
A. 1 B. 0 C. D.
2. 若代数式的值为7，则x等于（ ）
A 9 B. C. 5 D.
3. 共享开放机遇，共创美好生活．2023年4月10日至15日，第三届中国品博览会在海南省海口市举行，以“打造全球消费精品展示交易平台”为目标，进场观众超32万人次，数据用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
4. 如图是由5个完全相同的小正方体摆成的几何体，则这个几何体的俯视图是（ ）
A. B. C. D.
5. 下列计算中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
6. 水是生命之源．为了倡导节约用水，随机抽取某小区7户家庭上个月家里的用水量情况（单位：吨），数据为：7，5，6，8，9，9，10．这组数据的中位数和众数分别是（ ）
A. 9，8 B. 9，9 C. 8.5，9 D. 8，9
7. 分式方程的解是（ ）
A. B. C. D.
8. 若反比例函数（）的图象经过点，则k的值是（ ）
A. 2 B. C. D.
9. 如图，直线，是直角三角形，，点C在直线n上．若，则的度数是（ ）
A. 60° B. 50° C. 45° D. 40°
10. 如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连接，则的度数为（ ）
A B. C. D.
11. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B的坐标为，将绕着点B顺时针旋转，得到，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，在中，，，平分，交边于点，连接，若，则的长为（ ）
A. 6 B. 4 C. D.
二、填空题（本大题满分12分，每小题3分）
13. 因式分解：________．
14. 设为正整数，若，则的值为_______．
15. 如图，为的直径，是的切线，点是切点，连接交于点，连接，若，则________度．
16. 如图，在正方形中，，点E在边上，且，点P为边上的动点，连接，过点E作，交射线于点F，则______．若点M是线段的中点，则当点P从点A运动到点B时，点M运动的路径长为_______．
三、解答题（本大题满分72分）
17. （1）计算：
（2）解不等式组：
18. 2023年5月10日，搭载天舟六号货运飞船的长征七号遥七运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射成功．为了普及航空航天科普知识，某校组织学生去文昌卫星发射中心参观学习．已知该校租用甲、乙两种不同型号的客车共15辆，租用1辆甲型客车需600元，1辆乙型客车需500元，租车费共8000元．问甲、乙两种型号客车各租多少辆？
19. 某中学为了了解学生最喜欢的课外活动，以便更好开展课后服务．随机抽取若干名学生进行了问卷调查．调查问卷如下：
调查问题 在下列课外活动中，你最喜欢的是（ ）（单选） A．文学；B．科技；C．艺术；D．体育 填完后，请将问卷交给教务处．
根据统计得到的数据，绘制成下面的两幅不完整的统计图．
请根据统计图提供信息，解答下面的问题：
（1）本次调查采用的调查方式为 （填写“普查”或“抽样调查”）；
（2）在这次调查中，抽取的学生一共有 人；扇形统计图中的值为 ；
（3）已知选择“科技”类课外活动的50名学生中有30名男生和20名女生．若从这50名学生中随机抽取1名学生座谈，且每名学生被抽到的可能性相同，则恰好抽到女生的概率是 ；
（4）若该校共有1000名学生参加课外活动，则估计选择“文学”类课外活动的学生有 人．
20. 如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．
（1）填空： 度， 度；
（2）求灯塔到轮船航线距离（结果保留根号）；
（3）求港口与灯塔的距离（结果保留根号）．
21. 如图1，在菱形中，对角线，相交于点，，，点为线段上的动点（不与点，重合），连接并延长交边于点，交的延长线于点．
（1）当点恰好为的中点时，求证：；
（2）求线段的长；
（3）当为直角三角形时，求的值；
（4）如图2，作线段的垂直平分线，交于点，交于点，连接，在点的运动过程中，的度数是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由．
22. 如图1，抛物线交x轴于A，两点，交y轴于点．点P是抛物线上一动点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）当点P的坐标为时，求四边形的面积；
（3）当动点P在直线上方时，在平面直角坐标系是否存在点Q，使得以B，C，P，Q为顶点四边形是矩形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）如图2，点D是抛物线的顶点，过点D作直线轴，交x轴于点H，当点P在第二象限时，作直线，分别与直线交于点G和点I，求证：点D是线段的中点．
参考答案及解析
一、选择题
1、【答案】A
【解析】解：根据数轴可知，点A表示的数是，的相反数是.
因此选：A．
2、【答案】C
【解析】解：因为代数式的值等于7，
所以，
解得：，
因此选：C．
3、【答案】B
【解析】解：，
因此选：B．
4、【答案】C
【解析】解：由题意可知：
这个几何体的俯视图是： ，
因此选：C．
5、【答案】A
【解析】因为，
故A项正确；
因为，
故B项不正确；
因为，
故C项不正确；
因为，
故D项不正确．
因此选：A．
6、【答案】D
【解析】解：7，5，6，8，9，9，10中9出现次数最多，所以众数为9；
从小到大进行排序为5，6，7，8，9，9，10，中间位置的数是8，所以中位数是8．
因此选：D．
7、【答案】A
【解析】解：去分母得：，
解得：，
检验，当时，，
所以原分式方程的解是，
因此选：A．
8、【答案】B
【解析】解：因为反比例函数（）的图象经过点，
所以，
解得：，
因此选：B
9、【答案】D
【解析】解：延长交直线n于点D，如图，
∵，
∴，
在中，．
因此选：D．
10、【答案】C
【解析】解：根据作图可知：是直线的垂直平分线，
，
，
，
因此选：C．
11、【答案】B
【解析】解：过点作，如图所示，
则
根据题意可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∴点的坐标为，
因此选：B
12、【答案】C
【解析】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
又，
，
过点作于点，如图所示，
，
则，
，
，
，
，
因此选：C．
填空题
13、【答案】
【解析】解：，
因此答案为：
14、【答案】1
【解析】解：，
，即：，
，
，
因此答案为：1．
15、【答案】100
【解析】解：是的切线，为的直径，
，
，
，
，
，
因此答案为：100．
16、【答案】 ①. ②.
【解析】解：过点作交延长线于点，如图所示，
则四边形为矩形，
∴，
根据题意可得：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
过点作交于点，交于点，如图所示，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
所以点的运动轨迹是一条平行于的线段，
当点与重合时，，
当点与重合时，，，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
解得：，
又∵、分别为、的中点，
∴是的中位线，
∴，即点运动的路径长为.
因此答案为：，.
解答题
17、【答案】（1）；（2）．
【解析】解：（1）；
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
所以不等式组的解集为：．
18、【答案】甲型号客车租辆，乙型号客车租辆
【解析】解：设甲型号客车租辆，乙型号客车租辆，
由根据意得：，
解得：，
答：甲型号客车租辆，乙型号客车租辆．
19、【答案】（1）抽样调查
（2）200，22 （3）
（4）350
【解析】解：（1）由题意可得：
本次调查采用的调查方式为抽样调查，
因此答案为：抽样调查；
（2）由题意可得：
在这次调查中，抽取的学生一共有：（人），
扇形统计图中的值为：，
因此答案为：200，22；
（3）恰好抽到女生的概率为：，
因此答案为：；
（4）由题意可得，
选择“文学”类课外活动的学生有：（人），
因此答案为：350．
20、【答案】（1）30，45
（2）灯塔到轮船航线的距离为海里
（3）港口与灯塔距离为海里
【解析】解：（1）作交于，作交于，如图所示，
，
，
都是正北方向，
，
，
，
因此答案为：30，45；
（2）作交于，作交于，如图所示，
由（1）可得：，
海里，
在中，，海里，
海里；
灯塔到轮船航线的距离为海里；
（3）作交于，作交于，如图所示，
，，、都是正北方向，
四边形是矩形，
海里，，
在中，，海里，
海里，
在中，，
是等腰直角三角形，
海里，
海里，
港口与灯塔的距离为海里．
21、【答案】（1）见解析 （2）
（3）2或
（4）的度数是定值，
【解析】（1）证明：四边形是菱形，
，
，
点是的中点，
，
，
；
（2）解：四边形是菱形，，，
，，，，
，
，
，
，
（3）解：当时，
四边形是菱形，
，，，，
，
，即，
，，
，，
，
，
，
又，
，
，
；
当时，
，
由（2）可得：，，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
，
综上：或2，
（4）解：的度数是定值．
取中点，连接、、，如图所示，
是的垂直平分线，
，，
，
点是的中点，，
，
四边形是菱形，
，，，
点是的中点，，
，
点、点、点三点共线，
点是的中点，，
，
，
，
，
点、点、点、点四点共圆，
，
．
22、【答案】（1）
（2）9 （3）在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，此时点Q的坐标为或
（4）证明过程见解析
【解析】（1）解：根据题意得，，
解得：，
所以抛物线的解析式为；
（2）解：如图所示，连接，过点P作于点E，
∵点P的坐标为，
∴，，
令，即：，
解得：或，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
；
（3）解：在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，理由：
如图所示，当为边时，四边形为符合条件的矩形，交y轴于点E，交x轴于点F，连接，过点P作轴于点M，过点Q作轴于点N，
∵，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴，
∴和为等腰直角三角形，
∴，
∵四边形为正方形，
∴，
∴四边形为矩形，
∴，
∵，
∴和为全等的等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立得，
解得或，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，当为对角线时，四边形为矩形，过点Q作轴于点D，轴于点E，
则，，
∵，
∴，
∴，
∴，
设点P的坐标为：，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，，，
∴，
整理得：，
分解因式得：，
解得：（舍去），（舍去），，
∴此时点Q的坐标为：．
综上所述，在平面直角坐标系内存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是矩形，
此时点Q的坐标为或；
（4）证明：∵，
∴抛物线的顶点D的坐标为，对称轴为，
设，直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴，
∴点D是线段的中点．
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