云南省三新教研联合体高二第二次联考数学试卷（含答案）

三新教研联合体第二次联考
数学试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，且，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．已知复数满足：（为虚数单位），则复数（ ）
A． B．5 C． D．6
3．近日，云南人“打跳”的视频频频冲上各大平台热搜．唱最朴素的歌，跳最热情的舞，云南人的快乐就是这么简单．某平台为了解“打跳”视频的受欢迎程度，对20—60岁的人群进行随机抽样调查，其中喜欢“打跳”视频的有100人，把这100人按照年龄分成4组，然后绘制成如图所示的频率分布直方图，现从第二组和第四组的人中分层随机抽取10人做进一步的问卷调查，则应从第2组抽取的人数为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．已知集合，则中的元素个数有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D．3
5．在等差数列中，公差，若，则（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
6．函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ）
A． B． C． D．
7．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设是锐角的一边上的两点，试在边上找一点，使得最大．”如图，其结论是：点为过两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，点在轴上移动，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设，函数，若函数恰有3个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题正确的是（ ）
A．若函数过点，则
B．若，则在方向上的投影向量的坐标为
C．若弧长为的弧所对圆心角为，则扇形面积为
D．
10．已知函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度后得到的图象，则（ ）
A．
B．函数的一条对称轴为直线
C．在上单调递减
D．当时，若方程恰有三个不相等的实数根，则
11．在长方体中，已知，点满足，其中，则（ ）
A．当时，的周长为定值
B．当时，三棱锥的体积为定值
C．当时，有且仅有一个点使得
D．当时，三棱锥的外接球表面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．曲线在点处的切线方程为________．
13．设，若直线过曲线（，且）的定点，则的最小值为________．
14．定义离心率是的椭圆为“黄金椭圆”．已知椭圆是“黄金椭圆”，则________．若“黄金粗圆”的两个焦点分别为，为椭圆上异于顶点的任意一点，点是的内心，连接并延长交于点，则________．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知分别为三个内角的对边，且．
（1）求；
（2）若，且的面积为，求．
16．（15分）如图，在四面体中，平面是中点，是线段上一点（不包含端点），点在线段上，且．
（1）若是中点，求证：平面；
（2）若是正三角形，，且，求平面与平面夹角的余弦值．
17．（15分）某射击小组有甲、乙两名运动员，其中甲、乙二人射击成绩优秀的概率分别为，且两人射击成绩是否优秀相互独立．
（1）若甲、乙两人各射击一次，求至多1人射击成绩优秀的概率；
（2）在一次训练中，甲、乙各连续射击10次，甲击中环数的平均数为7.8，方差为1.6，乙击中环数的平均数为8.2，方差为2.8，求两人在这20次射击中击中环数的方差．
18．（17分）已知数列中，为的前项和，．
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和．
19．（17分）已知动点到点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线．
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）已知点，过点作直线与曲线交于两点，连接分别交于两点．
①当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，直线的斜率为，试判断是否为定值 若是，求出该定值；若不是，请说明理由；
②求面积的最小值．
三新教研联合体第二次联考
数学答案
一、选择题
1．D
解：由得，即，所以，故选D．
2．A
解：，则，故选A．
3．B
由图可知，第二组的频率为0.2，频数为20，第四组频率为0.3，频数为30，按分层随机抽样抽取10人，则应从第二组抽取的人数为人，故选B．
4．B
解：双曲线的渐近线为，
因为直线与平行，所以有1个交点，故选B．
5．C
解：因为
所以
又因为，所以，故选C．
6．A
解：令，则，因为在上单调递减，
所以在上单调递增，
所以，
则的一个充分不必要条件是，故选A．
7．B
解：设圆心坐标为，则，圆的方程为
因为两点在圆上，
所以，解得或，
当时，为劣弧所对角，故舍去．
所以，所以，
所以为等腰直角三角形，所以，故选B．
8．D
解：设，当时，，此时，
由得，即，解得或，
所以在上有2个零点，
若，对称轴为，
函数的大致图象如下：
此时，即，则，
所以无解，则无零点，
所以无零点，不符合题意，
所以，此时的大致图象如下：
由得或，
要使恰有3个零点，只需在上有一个零点，
则，即，解得
所以，故选D．
二、选择题
9．A、D
解：A．因为过点，所以，所以，故A正确；
B．，故B错；
C．因为，所以；
则，故C错；
D．
故D正确．
10．A、B、D
A．由图知，
，
．
因为，所以，
则，
所以，
故A正确；
B．当时，，此时取到最大值，
所以是的一条对称轴，故B正确；
C．因为，所以，
而在上单调递增，所以在上单调递增，故C错；
D．由，得，因为，
所以，
所以的图象如下：
所以，即，所以，
而，所以，则，
故D正确．
11．B、C、D
解：A．当时，，所以点在上，当点为中点时，的周长为，当点在点处时，的周长为，所以周长不是定值，故A错；
B．当时，，所以点在上，因为平面，
平面，所以平面，所以直线上的点到平面的距离相等，则的面积为定值，所以三棱锥的体积为定值，故B正确；
C．当时，，如图，取中点中点，连接，则因为，所以点在上；
因为过点作的垂线，只能作出一条，
所以过点作的垂线，也只能作出一条，
所以有且仅有一点（中点）使，故C正确；
D．当时，，所以点在上，
的外接球即为四棱锥的外接球，当点为中点时，
为直角三角形，其外心为中点外心为中点，
此时平面，则球心为，半径，
当不是中点时，平面截球截得小圆，则球的半径，
所以三棱锥的外接球表面积的最小值为，故D正确．
三、填空题
12．或
解：
所以切线方程为，即（或．
13．2
解：曲线所过定点为，所以，即，
则，
当且仅当时取“”，所以的最小值为2．
14．
解：，所以，
如图，连接，设的内切圆半径为，
则，
，
所以，
因为，所以，
所以．
四、解答题
15．（1）； （2）或
解：因为
所以
因为，所以
即，所以，则或，所以或，
又因为，所以
（2）由题意得
或
16．16．解：（1）如图，取中点，连接
因为为中点
所以
因为为中点，为中点
所以
又因为
所以
因为
所以平面平面
因为平面
所以平面
（2）如图，取中点，建立如图所示的空间直角坐标系
则
设平面的法向量
则
令，则
而平面PAC的法向量
设两平面夹角为
所以
17．（1）解：设成绩优秀的人数为，则
（2）解：（方法一）设甲连续射击10次击中环数为，平均数为，乙连续射击10次击中环数为，平均数为，两人这20次射击的平均数
由，得
同理
方差
（方法二）由分层方差公式得
18．当时，，则
因为 ①
当时， ②
由①-②得
则
所以是等比数列，首项为3，公比为3，所以
（2）（方法一）
所以
（方法二）当为奇数时，
当为偶数时，
所以，
19．解：（1）由题可知，点到点的距离与到的距离相等，所以曲线是以为焦点，直线为准线的抛物线，方程为．
（2）①设
由题可知斜率不为0，设
显然
联立
则是方程的两根
所以，同理
因为，所以，所以．
（2）由①知的方程为：
令
所以过定点．
，
当且仅当时，面积最小，最小值为