2023年湖北省襄阳市数学中考真题名师详解版 试卷

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2023年湖北省襄阳市数学中考真题名师详解版
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 下列四个有理数中，最小的数是（ ）
A. B. C. 1 D. 0
2. 下列各式中，计算结果等于的是（ ）
A. B. C. D.
3. 先贤孔子曾说过“鼓之舞之”，这是“鼓舞”一词最早的起源，如图是喜庆集会时击鼓瞬间的情景及鼓的立体图形，该立体图形的主视图是（ ）
A. B. C. D.
4. 襄阳气象台发布的天气预报显示，明天襄阳某地下雨的可能性是，则“明天襄阳某地下雨”这一事件是（ ）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件
5. 五边形的外角和等于（）
A. 180° B. 360° C. 540° D. 720°
6. 将含有角的三角板和直尺按如图方式叠放在一起，若，则度数（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，数轴上表示的是组成不等式组的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是（ ）
A B. C. D.
8. 如图，矩形对角线相交于点，下列结论一定正确的是（ ）
A. 平分 B. C. D.
9. 我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．请把答案填在题中的横线上）
11. 5月5日，记者从襄阳市文化和旅游局获悉，五一长假期间，我市41家级景区全部开放，共接待游客约2270000人次．数据2270000用科学记数法表示为_____．
12. 古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，若小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是____．
13. 点，都在反比例函数的图象上，则___．（填“”或“”）
14. 如图，四边形内接于，点在的延长线上．若，则_____度．
15. 如图，一位篮球运动员投篮时，球从点出手后沿抛物线行进，篮球出手后距离地面的高度与篮球距离出手点的水平距离之间的函数关系式是．下列说法正确的是_____（填序号）．
①篮球行进过程中距离地面的最大高度为；②篮球出手点距离地面的高度为．
16. 如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接.若于点，，则的长为____．
三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 化简：．
18. 三月是文明礼貌月，我市某校以“知文明礼仪，做文明少年”为主题开展了一系列活动，并在活动后期对七、八年级学生进行了文明礼仪知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）．
【收集数据】随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数）．
【整理数据】将抽取的两个年级的成绩进行整理（用x表示成绩，分成五组：A.，B.，C.，D.，E.）．
①八年级学生成绩在D组的具体数据是：，，，，，，．
②将八年级样本数据整理并绘制成不完整的频数分布直方图（如图）：
【分析数据】两个年级样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表：
年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级
八年级 m
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次抽取八年级学生的样本容量是______；
（2）频数分布直方图中，C组的频数是_______；
（3）本次抽取八年级学生成绩的中位数_______；
（4）分析两个年级样本数据对比表，你认为______年级的学生测试成绩较整齐（填“七”或“八”）；
（5）若八年级有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中，该年级成绩不低于分的学生有______人．
19. 在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像．某校数学兴趣小组利用热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度．如图，在点处，探测器显示，热气球到铜像底座底部所在水平面的距离为，从热气球看铜像顶部的俯角为，看铜像底部的俯角为．已知底座的高度为，求铜像的高度．（结果保留整数．参考数据：，，，）
20. 如图，是菱形的对角线．
（1）作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，连接，若，求的度数．
21. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程的两个根为，，且，求的值．
22. 如图，在中，，是的中点，与相切于点，与交于点，，是的直径，弦的延长线交于点，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
23. 在襄阳市创建“经济品牌特色品牌”政策影响下．每到傍晚，市内某网红烧烤店就食客如云，这家烧烤店的海鲜串和肉串非常畅销，店主从食品加工厂批发以上两种产品进行加工销售，其中海鲜串的成本为m元/支，肉串的成本为n元/支；两次购进并加工海鲜串和肉串的数量与成本如下表所示（成本包括进价和其他费用）：
次数 数量（支） 总成本（元）
海鲜串 肉串
第一次 3000 4000 17000
第二次 4000 3000 18000
针对团以消费，店主决定每次消费海鲜串不超过200支时，每支售价5元；超过200支时、不超过200支的部分按原价，超过200支的部分打八折．每支肉串的售价为3.5元．
（1）求m、n的值；
（2）五一当天，一个旅游团去此店吃烧烤，一次性消费海鲜串和肉串共1000支，且海鲜串不超过400支．在本次消费中，设该旅游团消费海鲜串x支，店主获得海鲜串的总利润为y元，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）在（2）的条件下，该旅游团消费的海鲜串超过了200支，店主决定给该旅游团更多优惠，对每支肉串降价a（）元，但要确保本次消费获得肉串的总利润始终不低于海鲜串的总利润，求a的最大值．
24. 【问题背景】
人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答）
九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．
【特例证明】
（1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，.
①填空：______；
②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．）
【类比探究】
（2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由．
【拓展运用】
（3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值．
25. 在平面直角坐标系中，直线经过抛物线的顶点．
（1）如图，当抛物线经过原点时，其顶点记为．
①求抛物线的解析式并直接写出点的坐标；
②时，的最小值为2，求的值；
③当时.动点在直线下方的抛物线上，过点作轴交直线于点，令，求的最大值．
（2）当抛物线不经过原点时，其顶点记为.当直线同时经过点和（1）中抛物线的顶点时，设直线与抛物线的另一个交点为，与轴的交点为.若，直接写出的取值范围．
参考答案及解析
一、选择题
1、【答案】B
【解析】解：因为，
所以最小数是．
因此选：B
2、【答案】B
【解析】解：，所以选项A不符合题意；
，所以选项B符合题意；
无法合并同类项，所以选项C不符合题意；
，所以选项D不符合题意．
因此选B．
3、【答案】B
【解析】解：该立体图形的主视图是 ，
因此选：B．
4、【答案】C
【解析】解：明天襄阳某地下雨这一事件是随机事件，
因此选：C．
5、【答案】B
【解析】解：五边形的外角和是360°．
因此选B．
6、【答案】C
【解析】解：如图所示，
∵，
，
∵，
，
，
因此选：C．
7、【答案】D
【解析】解：由不等式组解集的定义可知，数轴所表示的两个不等式组的解集，则这个不等式组的解集是，
因此选：D．
8、【答案】C
【解析】解：由矩形的对角线相交于点，
根据矩形的对角线相等，
得．
因此选：C．
9、【答案】D
【解析】解：设宽为x步，则长为步，
根据题意得：，
因此选：D．
10、【答案】A
【解析】解：当时，反比例函数过一三象限，一次函数与y轴正半轴有交点，过一二三象限，所以A正确，排除B；
当时，反比例函数过二四象限，一次函数与y轴负半轴有交点，过二三四象限，排除C、D；
因此选：A．
二、填空题
11、【答案】
【解析】解：2270000用科学记数法表示为 ，
因此答案为：．
12、【答案】##0.25
【解析】解：古隆中、米公祠、水镜庄、习家池是襄阳市4处有代表性的充满浓厚人文气息的旅游景点，小平同学随机选择一处去游览，她选择古隆中的概率是．
因此答案为：
13、【答案】
【解析】解：，
在同一象限内，随的增大而减小，
，
，
因此答案为：．
14、【答案】140
【解析】解：∵四边形内接于，，
∴，
又∵，
∴，
∴°．
因此答案为：140．
15、【答案】①
【解析】解：由的顶点为，
得篮球行进过程中距离地面的最大高度为，即①正确；
由当时，，即②不正确；
因此答案为：①．
16、【答案】
【解析】解：取中点，连接，取中点，连接，作于点．
∵，为的中点，
∴，，．
∵点是的中点，
∴是的中位线，
∴，则于点，
设，由折叠可知则，
∵，
∴，，
又由折叠得，，
∴，
∴，即，
∴，
解得：，
∴，
∵是的中位线，
∴，，
∴，
由折叠知，，
在和中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，且，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是正方形，
∴，
∴．
在 中，，
∴，
解得：，
∴，，即，，
在中，．
因此答案为：．
三、解答题
17、【答案】
【解析】解：原式
．
18、【答案】（1）
（2）
（3）
（4）八 （5）该年级成绩不低于分的学生约有人；
【解析】解：（1）∵随机从七、八年级各抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析，
∴本次抽取八年级学生的样本容量是，
因此答案为：；
（2）∵，
∴C组的频数是；
（3）∵，，
∴中位数落在D组上，
∴ ，两个数是：，，
∴中位数是：；
（4）∵，
∴八年级的学生测试成绩较整齐；
（5）由题意可得，
（人），
答：该年级成绩不低于分的学生约有人；
19、【答案】铜像的高度是；
【解析】解：由题意得：，，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴铜像的高度是；
20、【答案】（1）见解析 （2）
【解析】解：（1）
（2）连接，
菱形，
，，
，
垂直平分，
，
，
．
21、【答案】（1）
（2）
【解析】解：（1），
∵有两个不相等的实数，
∴，
解得：；
（2）∵方程的两个根为，，
∴，
∴，
解得：，（舍去）．
即：．
22、【答案】（1）见解析 （2）
【解析】（1）证明：连接，过点作于点，
，是的中点，
为的平分线，
与相切于点，是的直径，
为的半径，
，
又，
，
即为的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
点为的圆心，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，是的中点，
，
又，
，
，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
又，
为等边三角形，
，
，
．
23、【答案】（1）的值为3，的值为2
（2）
（3）0.5
【解析】解：（1）根据表格可得：，
解得：，
∴的值为3，的值为2；
（2）当时，店主获得海鲜串的总利润；
当时，店主获得海鲜串的总利润；
∴；
（3）设降价后获得肉串的总利润为元，令，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴随的增大而减小，
当时，的值最小，
由题意可得：，
∴，
即，
解得：，
∴的最大值是0.5．
24、【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3
【解析】解：（1）①由正方形的性质可知：，
∵将的直角顶点与点重合，
∴，
因此答案为：1；
②证明：∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴．
（2），理由如下：
过点作交于，
∴，，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，，
∴，，
即，
∴，
∴．
（3）过点作交于，作于，作于，
则，
∴，
即，
∴，
由（2）和已知条件可得：，，
∴，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
同理可得：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
令，则，，，
∴，
∴．
25、【答案】（1）①抛物线的解析式为，顶点的坐标为；②的值为或1；③取得最大值
（2）的取值范围为或
【解析】解：（1）①∵抛物线经过原点，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴顶点的坐标为；
②当，即时，随增大而减小，
由题意得：，
解得：，（舍去），
∴的值为，
当时，则若时，的最小值为，不符合题意，
当时，随增大而增大，
由题意得：，
解得：（舍去），，
∴的值为1，
综上所述，的值为或1；
③由题意得：当时，则，
∵经过点，
∴，可得，
∴，
由，可得，，
设点，且，
∵轴，
∴，
可得：，则，
∴，
∵，，
∴当时，取得最大值；
（2）∵，
∴，
∵直线：经过点、，
∴，解得：，
∴直线的解析式为，
令，得，
∴，
联立方程得：，
解得：，，
当时，，
∴，
当时，点在第二象限，点在轴的负半轴上，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：（舍去），，
∴，
∵，
∴，
∴；
当时，点在第一象限，点在、之间，作点关于点的对称点，如图，
则，，
∵，
∴，
即，
∴，
化简得：，
令，
解得：，（舍去），
∴，
∵，
∴，
∴；
综上所述，的取值范围为或．
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