1.5 数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握数学归纳法的步骤.(逻辑推理)
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理)
【自主预习】
小明的妈妈有3个孩子,老大叫大毛,老二叫二毛.
1.老三一定叫三毛吗
【答案】 不一定.
2.显然,对于此类问题,我们不能采用不完全归纳法进行求解,倘若采用数学归纳法求解,你能叙述数学归纳法的解题步骤吗
【答案】 能.一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立;
(2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. ( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( )
【答案】 (1)× (2)× (3)√
2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d,假设当n=k时,公式成立,则Sk=( ).
A.a1+(k-1)d B.
C.ka1+d D.(k+1)a1+d
【答案】 C
【解析】 假设当n=k时,公式成立,只需把公式中的n换成k即可,即Sk=ka1+d.
3.用数学归纳法证明:++…+>-,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
【答案】 ++…++>-.
4.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步验证当n=1时,左边应取的项是 .
【答案】 1+2+3+4
【解析】 当n=1时,左边=1+2+3+4.
【合作探究】
探究1 用数学归纳法证明等式
问题:你能用数学归纳法证明等式1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N*)吗
【答案】 (1)当n=1时,左边=1×4=4,右边=1×22=4,左边=右边,等式成立.
(2)假设当n=k(k≥1,k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2,
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)=(k+1)[(k+1)+1]2,
即当n=k+1时,等式也成立.
根据(1)和(2)可知,等式对任何n∈N*都成立.
新知生成
用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
新知运用
例1 用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=(n∈N*)”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的左边加上( ).
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
B.k3+1
C.(k+1)3
D.
方法指导 先确定当n=k 时等式左端的代数式,再确定当n=k+1时等式左端的代数式,进而确定其应当在n=k时对应的等式的左边加上的代数式.
【答案】 A
【解析】 当n=k 时,等式左端=1+2+…+k3 ,
当n=k+1 时,等式左端=1+2+…+k3+(k3+1)+(k3+2)+(k3+3)+…+(k+1)3.故选A.
证明:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).
【解析】 ①当n=1时,左边=1-=,右边=,等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1-+-+…+-=++…+,
那么,当n=k+1时,
1-+-+…+-+-
=++…++-
=++…+++.
根据①和②,可知等式对任何n∈N*都成立.
探究2 用数学归纳法证明不等式
问题:用数学归纳法证明不等式1+++…+
1)时,第一步要证的不等式是什么
【答案】 当n=2时,左边=1++=1++,右边=2,故第一步要证的不等式是1++<2.
新知生成
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1.
(2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用到归纳假设,不运用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少归纳假设.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得出n=k+1时也成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
新知运用
例2 已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N*),用数学归纳法证明:an方法指导 直接利用数学归纳法的证明步骤,通过n=1验证不等式成立,假设n=k时不等式成立,证明n=k+1时不等式也成立即可.
【解析】 ①当n=1时,a2=1+=,a1所以当n=1时,不等式成立;
②假设n=k(k∈N*)时,akak+2-ak+1=1+-ak+1
=1+-1+
=>0,
所以当n=k+1时,不等式成立.
由①和②可知,不等式an 用数学归纳法证明:
1+++…+<2-(n∈N*,n≥2).
【解析】 ①当n=2时,1+=<2-=,不等式成立.
②假设当n=k(k≥2,且k∈N*)时,不等式成立,即1+++…+<2-.
当n=k+1时,1+++…++<2-+<2-+=2-+-=2-,不等式成立.
由①和②知,原不等式在n∈N*,n≥2时均成立.
探究3 “归纳—猜想—证明”问题
设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
问题1:写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式.
【答案】 因为a1=1,
所以a2=f(a1)=f(1)=;
a3=f(a2)==;
a4=f(a3)==.
猜想:an=(n∈N*).
问题2:用数学归纳法证明你的结论.
【答案】 ①易知,当n=1时,猜想正确.
②假设当n=k(k∈N*)时猜想正确,
即ak=,
则当n=k+1时,ak+1=f(ak)====,
所以当n=k+1时猜想正确.
由①②知,对于任何n∈N*,都有an=.
新知生成
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
新知运用
例3 设数列{an}满足an+1=-nan+1(n∈N*).
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式.
(2)当a1≥3时,证明:对所有的n≥1,有an≥n+2.
方法指导 (1)先根据条件求a1,a2,a3,a4,再猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明.
【解析】 (1)由a1=2,得a2=-a1+1=3,
由a2=3,得a3=-2a2+1=4,
由a3=4,得a4=-3a3+1=5,
由此猜想an的一个通项公式为an=n+1(n∈N*).
(2)用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1≥3=1+2,不等式成立.
②假设当n=k(k∈N*)时不等式成立,
即ak≥k+2,那么当n=k+1时,
ak+1=ak(ak-k)+1≥(k+2)(k+2-k)+1≥k+3,
所以当n=k+1时,ak+1≥(k+1)+2.
根据①和②可知,对于所有的n≥1,有an≥n+2.
已知数列{an}满足关系式a1=a(a>0),an=(n≥2,n∈N*).
(1)用a表示a2,a3,a4.
(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.
【解析】 (1)a2=,a3===,a4===.
(2)因为a1=a=,a2=,…,猜想an=.
下面用数学归纳法证明:
①当n=1时,因为a1=a=,所以当n=1时猜想成立.
②假设当n=k(k≥1,k∈N*)时猜想成立,
即ak=,所以当n=k+1时,
ak+1==
=
==,
所以当n=k+1时猜想也成立.
根据①与②可知,猜想对一切n∈N*都成立.
【随堂检测】
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时,第一步检验n等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.0
【答案】 C
【解析】 因为凸n边形的边数n≥3,所以第一步检验n=3.故选C.
2.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( ).
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
【答案】 D
【解析】 当n=1时,左边=1+2+22+23.
故选D.
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)= .
【答案】 ++…+
【解析】 因为f(2k)=1+++…+,
f(2k+1)=1+++…+++…+,
所以f(2k+1)-f(2k)=++…+.
4.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4;
(2)根据(1)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
【解析】 (1)因为a1=,an+1=(n∈N*),所以a2==,a3==,a4==.
(2)猜想:an=(n∈N*).用数学归纳法证明如下:
①当n=1时,a1==,猜想成立;②假设当n=k(k∈N*)时猜想成立,即ak=,那么当n=k+1时,ak+1====,故当n=k+1时,猜想也成立.
由①②知,an=对所有n∈N*成立.
5.求证:++…+>1.
【解析】 ①当n=1时,左边=++==>1,不等式成立.
②假设n=k时不等式成立,
即++…+>1,
则当n=k+1时,
++…++++
=++…++++-
>1++-
=1+-
=1+->1.
所以当n=k+1时,不等式成立.
由①②可知,原不等式成立.
21.5 数学归纳法
【学习目标】
1.了解数学归纳法的原理.(数学抽象、逻辑推理)
2.掌握数学归纳法的步骤.(逻辑推理)
3.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.(逻辑推理)
【自主预习】
小明的妈妈有3个孩子,老大叫大毛,老二叫二毛.
1.老三一定叫三毛吗
2.显然,对于此类问题,我们不能采用不完全归纳法进行求解,倘若采用数学归纳法求解,你能叙述数学归纳法的解题步骤吗
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法. ( )
(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1. ( )
(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可. ( )
2.用数学归纳法证明:首项是a1,公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn=na1+d,假设当n=k时,公式成立,则Sk=( ).
A.a1+(k-1)d B.
C.ka1+d D.(k+1)a1+d
3.用数学归纳法证明:++…+>-,假设当n=k时,不等式成立,则当n=k+1时,应推证的目标不等式是 .
4.用数学归纳法证明等式“1+2+3+…+(n+3)=”,第一步验证当n=1时,左边应取的项是 .
【合作探究】
探究1 用数学归纳法证明等式
问题:你能用数学归纳法证明等式1×4+2×7+3×10+…+n(3n+1)=n(n+1)2(n∈N*)吗
新知生成
用数学归纳法证明恒等式时,一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况;二是弄清从n=k到n=k+1等式两端增加了哪些项,减少了哪些项;三是证明n=k+1时结论也成立,要设法将待证式与归纳假设建立联系,并朝n=k+1证明目标的表达式变形.
新知运用
例1 用数学归纳法证明“1+2+3+…+n3=(n∈N*)”,则当n=k+1时,应当在n=k时对应的等式的左边加上( ).
A.(k3+1)+(k3+2)+…+(k+1)3
B.k3+1
C.(k+1)3
D.
方法指导 先确定当n=k 时等式左端的代数式,再确定当n=k+1时等式左端的代数式,进而确定其应当在n=k时对应的等式的左边加上的代数式.
证明:1-+-+…+-=++…+(n∈N*).
探究2 用数学归纳法证明不等式
问题:用数学归纳法证明不等式1+++…+1)时,第一步要证的不等式是什么
新知生成
用数学归纳法证明不等式的四个关键
(1)验证第一个n的值时,要注意n0不一定为1,若n>k(k为正整数),则n0=k+1.
(2)证明不等式的第二步中,从n=k到n=k+1的推导过程中,一定要用到归纳假设,不运用归纳假设的证明不是数学归纳法,因为缺少归纳假设.
(3)用数学归纳法证明与n有关的不等式一般有两种具体形式:一是直接给出不等式,按要求进行证明;二是给出两个式子,按要求比较它们的大小.第二类形式往往要先对n取前几个值的情况分别验证比较,以免出现判断失误,最后猜出从某个n值开始都成立的结论,常用数学归纳法证明.
(4)用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k时成立得出n=k+1时也成立,主要方法有比较法、分析法、综合法、放缩法等.
新知运用
例2 已知正项数列{an}中,a1=1,an+1=1+(n∈N*),用数学归纳法证明:an方法指导 直接利用数学归纳法的证明步骤,通过n=1验证不等式成立,假设n=k时不等式成立,证明n=k+1时不等式也成立即可.
用数学归纳法证明:
1+++…+<2-(n∈N*,n≥2).
探究3 “归纳—猜想—证明”问题
设a>0,f(x)=,令a1=1,an+1=f(an),n∈N*.
问题1:写出a2,a3,a4的值,并猜想数列{an}的通项公式.
问题2:用数学归纳法证明你的结论.
新知生成
“归纳—猜想—证明”的一般步骤
新知运用
例3 设数列{an}满足an+1=-nan+1(n∈N*).
(1)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式.
(2)当a1≥3时,证明:对所有的n≥1,有an≥n+2.
方法指导 (1)先根据条件求a1,a2,a3,a4,再猜想数列的通项公式;(2)用数学归纳法证明.
已知数列{an}满足关系式a1=a(a>0),an=(n≥2,n∈N*).
(1)用a表示a2,a3,a4.
(2)猜想an的表达式(用a和n表示),并用数学归纳法证明.
【随堂检测】
1.在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为条时,第一步检验n等于( ).
A.1 B.2 C.3 D.0
2.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( ).
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
3.已知f(n)=1+++…+(n∈N*),用数学归纳法证明f(2n)>时,f(2k+1)-f(2k)= .
4.已知数列{an}满足a1=,an+1=(n∈N*).
(1)求a2,a3,a4;
(2)根据(1)猜想数列{an}的通项公式,并用数学归纳法证明你的结论.
5.求证:++…+>1.
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