2.1 平均变化率与瞬时变化率
【学习目标】
1.结合具体的实例理解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均变化率,提升学生的数学建模和数学运算素养.(数学建模)
2.结合具体情境,掌握以直代曲的数学思想,提高分析问题、解决问题的能力.(逻辑推理)
3.通过具体的实例理解平均速度的概念,能够明确平均速度和平均变化率之间的关系.(数学抽象)
4.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义,提升学生的数学建模和逻辑推理等素养.(逻辑推理)
【自主预习】
很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
1.近似地将气球看成一个球体,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数关系是什么
【答案】 r(V)=.
2.气球中空气容量V从0增加到1 L时,气球的平均膨胀率是多少
【答案】 当V从0增加到1 L时,气球半径增加了r(1)-r(0)≈0.62(dm),
气球的平均膨胀率为≈0.62(dm/L).
3.气球中空气容量V从1 L增加到2 L时,气球的平均膨胀率是多少
【答案】 当V从1 L增加到2 L时,气球半径增加了r(2)-r(1)≈0.16 (dm),
气球的平均膨胀率为≈0.16(dm/L).
4.气球中空气容量的变化情况与它的平均膨胀率有什么关系
【答案】 可以看出,随着气球中空气容量逐渐变大,它的平均膨胀率逐渐变小了.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=c(c为常数)在区间[x1,x2]上的平均变化率为0. ( )
(2)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况. ( )
【答案】 (1)√ (2)√
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则它在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( ).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
【答案】 B
【解析】 ====4.1,故选B.
3.函数f(x)=x2-2在x=3处的瞬时变化率为 .
【答案】 6
【解析】 ===6+Δx,当Δx→0时,→6,即函数f(x)=x2-2在x=3处的瞬时变化率为6.
【合作探究】
探究1 平均速度
小蒙骑自行车由静止沿直线运动,他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内通过的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m.
问题:你能求出小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度吗
【答案】 小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度==2.5(m/s).
新知生成
1.设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),在t0到t0+Δt这段时间内,物体运动的平均速度==.
2.在匀速直线运动中,比值是恒定的.在非匀速直线运动中,比值不是恒定的.要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度.注意结合物理学中的.
新知运用
例1 已知某物体的运动方程为s=t2+2t(s的单位:m,t的单位:s).求:
(1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度;
(2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度;
(3)该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度.
【解析】 (1)∵Δt=3,Δs=s(3)-s(0)=15,
∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度==5(m/s).
(2)∵Δt=3-2=1,Δs=s(3)-s(2)=7,
∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度==7(m/s).
(3)∵Δs=s(t0+Δt)-s(t0)=(2t0+2)·Δt+(Δt)2,
∴该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度==2t0+2+Δt.
以v0(v0>0)为初速度做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2(g为常数),求该物体从t0到t0+Δt的平均速度.
【解析】 ∵Δs=v0(t0+Δt)-g(t0+Δt)2-v0t0-g=(v0-gt0)Δt-g(Δt)2,
∴=v0-gt0-gΔt,
即该物体从t0到t0+Δt的平均速度为v0-gt0-gΔt.
探究2 平均变化率
现有某市2023年3月和4月某天日最高气温记录如下表.
时间t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快”.
问题:如何从数学的角度刻画气温“陡升”
【答案】 3月18日至4月18日平均变化率是≈0.5(℃);4月18日至20日平均变化率是=7.4(℃),显然4月18日至20日气温“陡升”.
新知生成
1.已知函数y=f(x),我们把式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”,可用x1+Δx代替x2;类似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可以表示为.
2.求函数的平均变化率通常用“两步法”:一是作差,二是作商.即先求出Δy=f(x2)-f(x1)和Δx=x2-x1,再对所求得的差作商,即得=.
新知运用
例2 已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.
【解析】 自变量x从1变到3时,函数f(x)的平均变化率为==5;自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为==4.
【方法总结】 解决函数平均变化率的计算问题,要紧扣定义:函数f(x)在自变量x从x1变到x2时,函数值的平均变化率为.此外,要保证计算过程的准确性.
求函数y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均变化率,并判断哪一点附近的平均变化率最大.
【解析】 函数y=x2在x=1附近的平均变化率为k1===2+Δx;
在x=2附近的平均变化率为k2===4+Δx;
在x=3附近的平均变化率为k3===6+Δx.
因为对任意的Δx,有k1所以在x=3附近的平均变化率最大.
探究3 瞬时变化率
我们经常看到在道路旁立着许多交通标志,如图所示的限速标志表示允许行驶的最大速度是80 km/h.
问题:你知道这个数据表达的物理意义吗
【答案】 不超过80 km/h,即汽车的速度每时每刻都不超过这个数据,而不是一段时间内的平均速度,所以物理意义是瞬时速度.
新知生成
1.瞬时变化率
设函数y=f(x),当自变量x从x0到x1时,函数值从f(x0)到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为==,当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个稳定值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.
2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的实质与作用
(1)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.
(2)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.
3.“Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
新知运用
例3 已知函数f(x)=3x2+2x.分别求自变量x从1变到1.1,从1变到1.01,从1变到1.001的平均变化率,并估计当x=1时,f(x)的瞬时变化率.
【解析】 当自变量x从1变到1.1时,平均变化率为
=8.3;
当自变量x从1变到1.01时,平均变化率为
=8.03;
当自变量x从1变到1.001时,平均变化率为
=8.003.
综上,可以估计当x=1时,f(x)的瞬时变化率为8.
【方法总结】 平均速度即Δt时间内物体位移与时间的比值,当Δt无限趋近于0时,平均速度趋近于瞬时速度.
质点M按规律s(t)=t2+3(位移单位:m,时间单位:s)做直线运动,通过平均速度估计质点M在t=2 s时的瞬时速度.
【解析】 质点M在t=2 s到t=2.1 s时的平均速度为
=4.1(m/s);
质点M在t=2 s到t=2.01 s时的平均速度为
=4.01(m/s);
质点M在t=2 s到t=2.001 s时的平均速度为
=4.001(m/s).
综上,可以估计质点M在t=2 s时的瞬时速度为4 m/s.
【随堂检测】
1.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及其附近一点(1+Δx,-2+Δy),则=( ).
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
【答案】 C
【解析】 ∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-4-(2×12-4)=4Δx+2(Δx)2,
∴==4+2Δx.
2.已知函数f(x)=x2-1的图象上一点P(2,3)及其邻近一点Q(2+Δx,3+Δy),则=( ).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
【答案】 C
【解析】 ∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2-1-(22-1)=4Δx+(Δx)2,
∴==4+Δx.
3.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,则下列说法中正确的是( ).
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
【答案】 C
【解析】 在0到t0范围内,甲、乙所走的路程相同,时间一样,所以平均速度相同;在t0到t1范围内,甲、乙所用的时间相同,而甲走的路程较多,所以甲的平均速度较大.
4.一辆汽车在起步的前10 s内,按s=3t2+1(t的单位是s,s的单位是m)的规律做直线运动,则在2≤t≤3这段时间里的平均速度是 .
【答案】 15 m/s
【解析】 ===15(m/s).
5.已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
【解析】 自变量x从1变到2时,函数f(x)的平均变化率为==;
自变量x从3变到5时,函数f(x)的平均变化率为==.
因为<,
所以函数f(x)=x+在自变量x从3变到5时的函数值变化得较快.
22.1 平均变化率与瞬时变化率
【学习目标】
1.结合具体的实例理解函数的平均变化率的概念,会根据具体函数求出函数的平均变化率,提升学生的数学建模和数学运算素养.(数学建模)
2.结合具体情境,掌握以直代曲的数学思想,提高分析问题、解决问题的能力.(逻辑推理)
3.通过具体的实例理解平均速度的概念,能够明确平均速度和平均变化率之间的关系.(数学抽象)
4.知道函数的瞬时变化率的概念,能够结合具体实例,理解瞬时变化率的几何意义,提升学生的数学建模和逻辑推理等素养.(逻辑推理)
【自主预习】
很多人都吹过气球,回忆一下吹气球的过程,可以发现,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.
1.近似地将气球看成一个球体,气球的半径r(单位:dm)与体积V(单位:L)之间的函数关系是什么
2.气球中空气容量V从0增加到1 L时,气球的平均膨胀率是多少
3.气球中空气容量V从1 L增加到2 L时,气球的平均膨胀率是多少
4.气球中空气容量的变化情况与它的平均膨胀率有什么关系
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数f(x)=c(c为常数)在区间[x1,x2]上的平均变化率为0. ( )
(2)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况. ( )
2.若一质点按规律s=8+t2运动,则它在一小段时间[2,2.1]内的平均速度是( ).
A.4 B.4.1 C.0.41 D.-1.1
3.函数f(x)=x2-2在x=3处的瞬时变化率为 .
【合作探究】
探究1 平均速度
小蒙骑自行车由静止沿直线运动,他在第1 s内、第2 s内、第3 s内、第4 s内通过的位移分别为1 m、2 m、3 m、4 m.
问题:你能求出小蒙骑自行车在这4 s内的平均速度吗
新知生成
1.设物体运动路程与时间的关系是s=f(t),在t0到t0+Δt这段时间内,物体运动的平均速度==.
2.在匀速直线运动中,比值是恒定的.在非匀速直线运动中,比值不是恒定的.要精确地描述非匀速直线运动,就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度.注意结合物理学中的.
新知运用
例1 已知某物体的运动方程为s=t2+2t(s的单位:m,t的单位:s).求:
(1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度;
(2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度;
(3)该物体在t0≤t≤t0+Δt这段时间里的平均速度.
以v0(v0>0)为初速度做竖直上抛运动的物体,t时刻的高度为s(t)=v0t-gt2(g为常数),求该物体从t0到t0+Δt的平均速度.
探究2 平均变化率
现有某市2023年3月和4月某天日最高气温记录如下表.
时间t/d 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温T/℃ 3.5 ℃ 18.6 ℃ 33.4 ℃
4月20日那天人们会惊呼“天气热得太快”.
问题:如何从数学的角度刻画气温“陡升”
新知生成
1.已知函数y=f(x),我们把式子称为函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率.习惯上用Δx表示x2-x1,即Δx=x2-x1,可把Δx看作是相对于x1的一个“增量”,可用x1+Δx代替x2;类似地,Δy=f(x2)-f(x1).于是,平均变化率可以表示为.
2.求函数的平均变化率通常用“两步法”:一是作差,二是作商.即先求出Δy=f(x2)-f(x1)和Δx=x2-x1,再对所求得的差作商,即得=.
新知运用
例2 已知函数f(x)=x2+x,分别计算f(x)在自变量x从1变到3和从1变到2时的平均变化率.
【方法总结】 解决函数平均变化率的计算问题,要紧扣定义:函数f(x)在自变量x从x1变到x2时,函数值的平均变化率为.此外,要保证计算过程的准确性.
求函数y=x2在x=1,x=2,x=3附近的平均变化率,并判断哪一点附近的平均变化率最大.
探究3 瞬时变化率
我们经常看到在道路旁立着许多交通标志,如图所示的限速标志表示允许行驶的最大速度是80 km/h.
问题:你知道这个数据表达的物理意义吗
新知生成
1.瞬时变化率
设函数y=f(x),当自变量x从x0到x1时,函数值从f(x0)到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为==,当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个稳定值,那么这个值就是函数y=f(x)在点x0处的瞬时变化率.
2.函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的实质与作用
(1)实质:瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时,平均变化率趋近的值.
(2)作用:刻画函数在某一点处变化的快慢.
3.“Δx无限趋近于0”的含义
Δx趋于0的距离要多近有多近,即|Δx-0|可以小于给定的任意小的正数,且始终Δx≠0.
新知运用
例3 已知函数f(x)=3x2+2x.分别求自变量x从1变到1.1,从1变到1.01,从1变到1.001的平均变化率,并估计当x=1时,f(x)的瞬时变化率.
【方法总结】 平均速度即Δt时间内物体位移与时间的比值,当Δt无限趋近于0时,平均速度趋近于瞬时速度.
质点M按规律s(t)=t2+3(位移单位:m,时间单位:s)做直线运动,通过平均速度估计质点M在t=2 s时的瞬时速度.
【随堂检测】
1.已知函数f(x)=2x2-4的图象上一点(1,-2)及其附近一点(1+Δx,-2+Δy),则=( ).
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
2.已知函数f(x)=x2-1的图象上一点P(2,3)及其邻近一点Q(2+Δx,3+Δy),则=( ).
A.4 B.4Δx C.4+Δx D.Δx
3.物体甲、乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,则下列说法中正确的是( ).
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
4.一辆汽车在起步的前10 s内,按s=3t2+1(t的单位是s,s的单位是m)的规律做直线运动,则在2≤t≤3这段时间里的平均速度是 .
5.已知函数f(x)=x+,分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率,并判断在哪个区间上函数值变化得较快.
2
