2.3 导数的计算
【学习目标】
1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=,y=的导数.(数学抽象、数学运算)
2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.回顾之前所学的内容,你学过哪些基本初等函数
【答案】 幂函数,指数函数,对数函数,三角函数.
2.如何用定义求函数f(x)的导数f'(x)
【答案】 定义法求导数的步骤:(1)求出Δy,;(2)f'(x)=.
故f'(x)=y'=.
3.f'(x)与f'(x0)的区别是什么
【答案】 f'(x0)是一个确定的数,f'(x)是函数f(x)的导数.
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. ( )
(2)若y=,则y'=×2=1. ( )
(3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. ( )
(4)若y=,则y'=. ( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)×
2.下列求导运算正确的是( ).
A.(ln x)'=x B.sin'=cos
C.(cos x)'=sin x D.(ax)'=axln a(a>0,a≠1)
【答案】 D
【解析】 (ln x)'=,A错误;
因为sin是个常数,所以sin'=0,B错误;
(cos x)'=-sin x,C错误;
(ax)'=axln a(a>0,a≠1),D正确.
3.若函数f(x)=10x,则f'(1)等于( ).
A. B.10
C.10ln 10 D.
【答案】 C
【解析】 ∵f'(x)=10xln 10,∴f'(1)=10ln 10.
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为 .
【答案】 y=e2(x-1)
【解析】 ∵y'=ex,∴当x=2时,y'=e2,
∴在点(2,e2)处的切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2(x-1).
【合作探究】
探究1 用定义计算函数在某点处的导数
问题:你能利用定义求出函数y=的导数吗
【答案】 ===,
∴y'==.
新知生成
1.导数的定义
如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数f'(x)=,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为函数f(x)的导函数,简称导数.
2.几个常用函数的导数
原函数 导数
f(x)=x f'(x)= 1
f(x)=x2 f'(x)= 2x
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
新知运用
例1 已知f(x)=x2-3.
(1)求f(x)在x=2处的导数;
(2)求f(x)在x=a处的导数.
【解析】 (1)因为=
=
=4+Δx,
所以f'(2)==(4+Δx)=4.
(2)因为=
=
=2a+Δx,
所以f'(a)==(2a+Δx)=2a.
已知函数f(x)=x3-(a-1)x+1,且f'(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
【解析】 由导数定义得f'(x)==
=3x2-(a-1).由f'(x)≥0恒成立,得3x2-a+1≥0恒成立,从而a≤1.
探究2 利用导数公式计算导数
已知函数:①f(x)=c,②f(x)=x,③f(x)=x2,④f(x)=x3,⑤f(x)=,⑥f(x)=.
问题1:函数f(x)=c的导数是什么
【答案】 ∵===0,
∴f'(x)==0.
问题2:函数②③④⑤⑥的导数分别是什么
【答案】 由导数的定义得(x)'=1,(x2)'=2x,(x3)'=3x2,'=-,()'=.
问题3:函数②③④⑥均可表示为y=xα(α∈Q且α≠0)的形式,其导数有何规律
【答案】 ∵(x)'=1·x1-1,(x2)'=2·x2-1,(x3)'=3·x3-1,()'='==,∴(xα)'=αxα-1.
新知生成
1.基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)= 0
f(x)=xα(α为实数) f'(x)= αxα-1
f(x)=sin x f'(x)= cos x
(续表)
原函数 导数
f(x)=cos x f'(x)= -sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= axln a
f(x)=ex f'(x)= ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
2.奇(偶)函数的导函数的性质
奇函数的导函数为偶函数,偶函数的导函数为奇函数.
3.在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题
(1)对于公式(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.
(2)对于公式(ln x)'=和(ex)'=ex很好记,但对于公式(logax)'=和(ax)'=axln a的记忆就较难,特别要注意ln a所在的位置.
新知运用
例2 求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin1-2cos2;(5)y=3ln x+ln.
【解析】 (1)y'='=(x-4)'=-4x-5=-.
(2)y'=(log3x)'=.
(3)y'=()'=()'=.
(4)因为y=-2sin1-2cos2
=2sin2cos2-1=2sin cos =sin x,
所以y'=(sin x)'=cos x.
(5)因为y=3ln x+ln =ln x3+ln =ln x,
所以y'=(ln x)'=.
【方法总结】 利用导数公式,必要时进行合理变形、化简,再求导.
求下列函数的导数.
(1)y=x14;(2)y=x;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
【解析】 (1)y'=(x14)'=14x13.
(2)y'=x'=xln=-xln 3.
(3)y'=(x-2)'=-2x-3=-.
(4)∵y=cos +sin cos -sin =cos x,
∴y'=-sin x.
(5)∵y=e0=1,∴y'=0.
探究3 利用导数公式解决曲线的切线问题
问题1:导数的几何意义是什么
【答案】 函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率k,即k=f'(x0).
问题2:利用导数的几何意义解决切线问题有哪两种情况
【答案】 (1)若已知点是切点,则在该点处的切线的斜率就是该点处的导数;
(2)若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
新知生成
1.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
新知运用
例3 (2023·广西西部第二次联考)已知函数f(x)=x2,l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(3,5).
(1)判断(3,5)是否是曲线y=f(x)上的点;
(2)求l的方程.
【解析】 (1)因为f(x)=x2,所以f(3)=32=9≠5,所以(3,5)不是曲线y=f(x)上的点.
(2)由f(x)=x2,得f'(x)=2x,
设切点为(x0,),则f'(x0)=2x0,所以曲线y=f(x)在点(x0,)处的切线方程为y-=2x0(x-x0),因为切线l经过点(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或x0=5,所以切线方程为y-1=2(x-1)或 y-25=10(x-5),
即l的方程为2x-y-1=0或 10x-y-25=0.
【方法总结】 求过点P与曲线相切的切点坐标的步骤:(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.
求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过原点且与曲线y=ln x相切;
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
【解析】 (1)y'=,(x>0),
设切点为(m,ln m),切线方程为y=kx,所以k=,y=x,
因为切点为(m,ln m),所以ln m=·m=1,所以m=e,
所以切线方程为y=x.
(2)y'=ex,因为切线斜率为e,所以y'=ex=e,所以x=1,
则切点为(1,e),所以切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
【随堂检测】
1.已知f(x)=ln x,则f'的值为( ).
A.1 B.-1 C.e D.
【答案】 C
【解析】 由f(x)=ln x,得f'(x)=.所以f'==e.故选C.
2.曲线y=在点,2处的切线的斜率为( ).
A.2 B.-4 C.3 D.
【答案】 B
【解析】 因为y=,所以y'=-,所以k=-4,故选B.
3.若直线y=k(x-1)与曲线y=ex相切,则切点的坐标为 .
【答案】 (2,e2)
【解析】 设切点为(x0,y0),∵y'=ex,∴k=,
又∵∴=(x0-1),解得x0=2,
∴切点坐标为(2,e2).
4.求下列函数的导数.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
【解析】 (1)y'=15x14.
(2)y'=-3x-4.
(3)y'=.
(4)因为y==,所以y'=-=-.
5.求函数f(x)=的导数f'(x)及f'(1).
【解析】 因为f(x)=,所以f'(x)=,
所以f'(1)=.
22.3 导数的计算
【学习目标】
1.能根据定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=x2,y=,y=的导数.(数学抽象、数学运算)
2.掌握基本初等函数的导数公式,并能进行简单的应用.(数学抽象、数学运算)
【自主预习】
1.回顾之前所学的内容,你学过哪些基本初等函数
2.如何用定义求函数f(x)的导数f'(x)
3.f'(x)与f'(x0)的区别是什么
1.判断下列结论是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)函数在一点处的导数f'(x0)是一个常数. ( )
(2)若y=,则y'=×2=1. ( )
(3)若f'(x)=sin x,则f(x)=cos x. ( )
(4)若y=,则y'=. ( )
2.下列求导运算正确的是( ).
A.(ln x)'=x B.sin'=cos
C.(cos x)'=sin x D.(ax)'=axln a(a>0,a≠1)
3.若函数f(x)=10x,则f'(1)等于( ).
A. B.10
C.10ln 10 D.
4.曲线y=ex在点(2,e2)处的切线方程为 .
【合作探究】
探究1 用定义计算函数在某点处的导数
问题:你能利用定义求出函数y=的导数吗
新知生成
1.导数的定义
如果一个函数y=f(x)在区间(a,b)内的每一点x处都有导数f'(x)=,那么f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为函数f(x)的导函数,简称导数.
2.几个常用函数的导数
原函数 导数
f(x)=x f'(x)= 1
f(x)=x2 f'(x)= 2x
f(x)= f'(x)=-
f(x)= f'(x)=
新知运用
例1 已知f(x)=x2-3.
(1)求f(x)在x=2处的导数;
(2)求f(x)在x=a处的导数.
已知函数f(x)=x3-(a-1)x+1,且f'(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围.
探究2 利用导数公式计算导数
已知函数:①f(x)=c,②f(x)=x,③f(x)=x2,④f(x)=x3,⑤f(x)=,⑥f(x)=.
问题1:函数f(x)=c的导数是什么
问题2:函数②③④⑤⑥的导数分别是什么
问题3:函数②③④⑥均可表示为y=xα(α∈Q且α≠0)的形式,其导数有何规律
新知生成
1.基本初等函数的导数公式
原函数 导数
f(x)=c(c为常数) f'(x)= 0
f(x)=xα(α为实数) f'(x)= αxα-1
f(x)=sin x f'(x)= cos x
(续表)
原函数 导数
f(x)=cos x f'(x)= -sin x
f(x)=ax(a>0,且a≠1) f'(x)= axln a
f(x)=ex f'(x)= ex
f(x)=logax(a>0,且a≠1) f'(x)=
f(x)=ln x f'(x)=
2.奇(偶)函数的导函数的性质
奇函数的导函数为偶函数,偶函数的导函数为奇函数.
3.在应用正、余弦函数及指数、对数函数的求导公式时应注意的问题
(1)对于公式(sin x)'=cos x,(cos x)'=-sin x,一是注意函数的变化,二是注意符号的变化.
(2)对于公式(ln x)'=和(ex)'=ex很好记,但对于公式(logax)'=和(ax)'=axln a的记忆就较难,特别要注意ln a所在的位置.
新知运用
例2 求下列函数的导数.
(1)y=;(2)y=log3x;(3)y=;
(4)y=-2sin1-2cos2;(5)y=3ln x+ln.
【方法总结】 利用导数公式,必要时进行合理变形、化简,再求导.
求下列函数的导数.
(1)y=x14;(2)y=x;(3)y=x-2;
(4)y=cos +sin cos -sin ;(5)y=e0.
探究3 利用导数公式解决曲线的切线问题
问题1:导数的几何意义是什么
问题2:利用导数的几何意义解决切线问题有哪两种情况
(2)若已知点不是切点,则应先设出切点,再借助两点连线的斜率公式进行求解.
新知生成
1.曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).
2.求过点P与曲线相切的直线方程的三个步骤
新知运用
例3 (2023·广西西部第二次联考)已知函数f(x)=x2,l是曲线y=f(x)的切线,且l经过点(3,5).
(1)判断(3,5)是否是曲线y=f(x)上的点;
(2)求l的方程.
【方法总结】 求过点P与曲线相切的切点坐标的步骤:(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f'(x);(3)求切线的斜率f'(x0);(4)列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.
求满足下列条件的直线l的方程:
(1)过原点且与曲线y=ln x相切;
(2)斜率为e且与曲线y=ex相切.
【随堂检测】
1.已知f(x)=ln x,则f'的值为( ).
A.1 B.-1 C.e D.
2.曲线y=在点,2处的切线的斜率为( ).
A.2 B.-4 C.3 D.
3.若直线y=k(x-1)与曲线y=ex相切,则切点的坐标为 .
4.求下列函数的导数.
(1)y=x15;(2)y=x-3;(3)y=;(4)y=.
5.求函数f(x)=的导数f'(x)及f'(1).
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