2.7 导数的应用
【学习目标】
1.通过实际例子,体会导数在解决最优问题中的应用,培养学生解决实际问题的能力.(数学抽象)
2.通过分析实际问题,体会导数在研究实际问题中的作用,提升学生解决实际问题的能力.(逻辑推理)
3.将实际问题转化为数学问题,能建立函数模型,培养学生的数学建模素养.(数学建模)
【自主预习】
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/小时)的函数【解析】式可以表示为y=x3-x+8(0
1.当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升
2.当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升
1.某科研小组研究发现,一棵水果树的产量ω(单位:百千克)与肥料费用x(单位:百元)满足如下关系:ω(x)=此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位:百元).
(1)求L(x)的函数关系式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,种植该棵水果树获得的利润最大 最大利润是多少
2.在互联网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量h(x)(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式为h(x)=f(x)+g(x)(3(1)求h(x)的表达式;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留一位小数).
【合作探究】
探究1 利润最大化问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3问题1:求a的值.
问题2:若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
新知生成
1.经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.
2.关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润=收入-成本.
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
新知运用
例1 (2023·宁夏青铜峡开学考试)方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召,大学毕业后回到家乡,利用所学专业进行自主创业,自主研发生产A产品.经过市场调研,生产A产品需投入固定成本1万元,每生产x(单位:万件),需再投入流动成本C(x)(单位:万元).当年产量小于9万件时,C(x)=+6x-8;当年产量不小于9万件时,C(x)=5x+ln x+-12.已知每件A产品的售价为5元,若方同学生产的A产品当年全部售完.
(1)写出年利润P(单位:万元)关于年产量x的函数【解析】式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,方同学的A产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (注:取e3≈20)
【方法总结】 利用导数解决优化问题的一般步骤:(1)抽象出实际问题的数学模型,列出函数【解析】式y=f(x).(2)求函数f(x)的导数f'(x),并解方程f'(x)=0,即求函数可能的极值点.(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和极值点的函数值的大小,得出函数f(x)的最大值或最小值.(4)根据实际问题的意义给出【答案】.
某市举办“广电狂欢购物节”促销活动,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用 x万元满足p=3-(其中 0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品 p万件还需投入成本(10+2p)万元(不含广告费用),产品的销售价格定为4+元/件,假定厂商生产的产品恰好能够售完.
(1)将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数;
(2)问广告费投入多少万元时,厂商的利润最大
探究2 几何中的最值问题
将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆.
问题:如何截可使正方形与圆的面积之和最小
新知生成
利用导数解决几何问题,往往是求体积、面积的最值,首先看清题意,分析几何图形的特征,设出变量,列出目标函数式,注明定义域,再转化为用导数求最值.若在定义域内只有一个极值,则这个极值便为最值.
新知运用
例2 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值
(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【方法总结】 几何中最值问题的求解思路:
面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.
如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么体积的最大值为( ).
A.3π B.3π C.3π D. 3π
探究3 用料、费用最省问题
一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.
问题:此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小
新知生成
费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
新知运用
例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场每平方米建筑的平均建设费用(单位:元)与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用可近似地用f(x)=8001+ln x来表示.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场
某地需修建一条通过120公里宽沙漠地带的大型输油管道,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站.经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x3+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小
【随堂检测】
1.有长和宽分别为8和5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,则剪去的小正方形的边长应为( ).
A.18 B.10 C.8 D.1
2.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则银行获得最大收益的存款利率为( ).
A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
3.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品的零售价定为P元,销量为Q,销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为( ).(毛利润=销售收入-进货支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
4.(2023·甘肃武威第一次月考)如图,一块边长为2 dm的正三角形铁片上有三块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器,求容器的容积最大值.
22.7 导数的应用
【学习目标】
1.通过实际例子,体会导数在解决最优问题中的应用,培养学生解决实际问题的能力.(数学抽象)
2.通过分析实际问题,体会导数在研究实际问题中的作用,提升学生解决实际问题的能力.(逻辑推理)
3.将实际问题转化为数学问题,能建立函数模型,培养学生的数学建模素养.(数学建模)
【自主预习】
统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(单位:升)关于行驶速度x(单位:千米/小时)的函数【解析】式可以表示为y=x3-x+8(01.当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升
【答案】 当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,共耗油××403-×40+8=17.5(升).
因此,当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油17.5升.
2.当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少 最少为多少升
【答案】 当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,
依题意得h(x)=x3-x+8·=x2+-(0当x∈(0,80)时,h'(x)<0,h(x)单调递减;
当x∈(80,120]时,h'(x)>0,h(x)单调递增.
所以当x=80时,h(x)取得极小值h(80)=11.25.
易知h(80)是h(x)在(0,120]上的最小值.
故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
1.某科研小组研究发现,一棵水果树的产量ω(单位:百千克)与肥料费用x(单位:百元)满足如下关系:ω(x)=此外,还需要投入其他成本(如施肥的人工费等)2x百元.已知这种水果的市场售价为16元/千克(即16百元/百千克),且市场需求始终供不应求.记该棵水果树获得的利润为L(x)(单位:百元).
(1)求L(x)的函数关系式;
(2)当投入的肥料费用为多少时,种植该棵水果树获得的利润最大 最大利润是多少
【解析】 (1)L(x)=16ω(x)-2x-x
=
(2)当0≤x≤2时,L'(x)=16x-3,令L'(x)=0,得x=,当0≤x<时,L'(x)<0,则L(x)单调递减,当0,则L(x)单调递增.而L(0)=16,L(2)=42,所以L(x)max=42.
当20,则L(x)单调递增;当3故当投入的肥料费用为300元时,种植该棵水果树获得的利润最大,最大利润是4300元.
2.在互联网时代,网校培训已经成为青年学习的一种趋势.假设某网校的套题每日的销售量h(x)(单位:千套)与销售价格x(单位:元/套)满足的关系式为h(x)=f(x)+g(x)(3(1)求h(x)的表达式;
(2)假设网校的员工工资、办公等所有开销折合为每套题3元(只考虑销售出的套数),试确定销售价格x的值,使网校每日销售套题所获得的利润最大(保留一位小数).
【解析】 (1)因为f(x)与(x-3)成反比,g(x)与(x-7)的平方成正比,
所以可设f(x)=,g(x)=k2(x-7)2,其中k1≠0,k2≠0,所以h(x)=f(x)+g(x)=+k2(x-7)2,3因为销售价格为5元/套时,每日可售出套题21千套,销售价格为3.5元/套时,每日可售出套题69千套,
所以h(5)=21,h(3.5)=69,即解得
所以h(x)=+4(x-7)2,3(2)由(1)可知套题每日的销售量h(x)=+4(x-7)2,3设每日销售套题所获得的利润为F(x),
则F(x)=(x-3)+4(x-7)2=10+4(x-7)2(x-3)=4x3-68x2+364x-578,3所以F'(x)=12x2-136x+364=4(3x-13)(x-7),3所以当x∈3,时,F'(x)>0,所以函数F(x)在3,上单调递增,
当x∈,7时,F'(x)<0,所以函数F(x)在,7上单调递减,
所以当x=≈4.3时,函数F(x)取得最大值.
故当销售价格为4.3元/套时,网校每日销售套题所获得的利润最大.
【合作探究】
探究1 利润最大化问题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=+10(x-6)2,其中3问题1:求a的值.
【答案】 因为当x=5时,y=11,
所以+10=11,解得a=2.
问题2:若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
【答案】 由问题1可知,该商品每日的销售量y=+10(x-6)2.
所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)=(x-3)+10(x-6)2
=2+10(x-3)(x-6)2(3从而,f'(x)=10[(x-6)2+2(x-3)(x-6)]
=30(x-4)(x-6).
于是,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (3,4) 4 (4,6)
f'(x) + 0 -
f(x) ↗ 极大值 ↘
由上表可得,x=4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点.
所以,当x=4时,函数f(x)取得最大值,且最大值为42.
故当销售价格为4元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大.
新知生成
1.经济生活中优化问题的解法
经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢,以产量或单价为自变量很容易建立函数关系,从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.
2.关于利润问题常用的两个等量关系
(1)利润=收入-成本.
(2)利润=每件产品的利润×销售件数.
新知运用
例1 (2023·宁夏青铜峡开学考试)方同学积极响应国家“全面实施乡村振兴战略”的号召,大学毕业后回到家乡,利用所学专业进行自主创业,自主研发生产A产品.经过市场调研,生产A产品需投入固定成本1万元,每生产x(单位:万件),需再投入流动成本C(x)(单位:万元).当年产量小于9万件时,C(x)=+6x-8;当年产量不小于9万件时,C(x)=5x+ln x+-12.已知每件A产品的售价为5元,若方同学生产的A产品当年全部售完.
(1)写出年利润P(单位:万元)关于年产量x的函数【解析】式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)
(2)当年产量约为多少万件时,方同学的A产品所获年利润最大 最大年利润是多少 (注:取e3≈20)
【解析】 (1)因为产品售价为5元,则x万件产品销售收入为5x万元.
依据题意得,当0当x≥9时,P(x)=5x-5x+ln x+-12-1=11-ln x-,
所以P(x)=
(2)当0即当x=2时,P(x)取得最大值,最大值为P(2)=3(万元).
当x≥9时,P(x)=11-ln x-,所以P'(x)=,
所以当9≤x0,P(x)单调递增,
当x>e3时,P'(x)<0,P(x)单调递减,
所以当x=e3时,P(x)取得最大值,最大值为P(e3)=11-ln e3-1=7(万元).
因为7>3,所以当x=e3≈20时,P(x)的最大值为7万元.
所以当年产量约为20万件时,方同学的A产品所获得的年利润最大,最大年利润为7万元.
【方法总结】 利用导数解决优化问题的一般步骤:(1)抽象出实际问题的数学模型,列出函数【解析】式y=f(x).(2)求函数f(x)的导数f'(x),并解方程f'(x)=0,即求函数可能的极值点.(3)比较函数f(x)在区间端点的函数值和极值点的函数值的大小,得出函数f(x)的最大值或最小值.(4)根据实际问题的意义给出【答案】.
某市举办“广电狂欢购物节”促销活动,某厂商拟投入适当的广告费,对所售产品进行促销,经调查测算,该促销产品在狂欢购物节的销售量p万件与广告费用 x万元满足p=3-(其中 0≤x≤a,a为正常数).已知生产该批产品 p万件还需投入成本(10+2p)万元(不含广告费用),产品的销售价格定为4+元/件,假定厂商生产的产品恰好能够售完.
(1)将该产品的利润y万元表示为广告费用x万元的函数;
(2)问广告费投入多少万元时,厂商的利润最大
【解析】 (1)由题意知,y=4+p-x-(10+2p),将p=3-代入化简得y=16--x(0≤x≤a).
(2)y'=-1-==-=-.
若a≥1,当x∈(0,1)时,y'>0,所以函数y=16-x-在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,a)时,y'<0,所以函数y=16-x-在(1,a)上单调递减.
所以广告费投入 1万元时,厂家的利润最大.
若0所以当x=a时,函数有最大值,即广告费投入a万元时,厂家的利润最大.
综上所述,当 a≥1时,广告费投入 1万元,厂家的利润最大;当0探究2 几何中的最值问题
将一段长为100 cm的铁丝截成两段,一段弯成正方形,一段弯成圆.
问题:如何截可使正方形与圆的面积之和最小
【答案】 设弯成圆的一段长为x(0令S'=0,则x=.
由于在(0,100)内函数只有一个导数为零的点,问题中面积之和最小值显然存在,故当x= cm时,面积之和最小.
故当截得弯成圆的一段长为 cm时,两种图形的面积之和最小.
新知生成
利用导数解决几何问题,往往是求体积、面积的最值,首先看清题意,分析几何图形的特征,设出变量,列出目标函数式,注明定义域,再转化为用导数求最值.若在定义域内只有一个极值,则这个极值便为最值.
新知运用
例2 请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得ABCD四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒,E,F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点,设AE=FB=x cm.
(1)若广告商要求包装盒侧面积S(单位:cm2)最大,试问x应取何值
(2)若广告商要求包装盒容积V(单位:cm3)最大,试问x应取何值 并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
【解析】 (1)设包装盒的高为h cm,底面边长为a cm,则a=x,h=(30-x),0根据题意有S=4×x×(30-x)=240x-8x2=-8(x-15)2+1800(0所以当x=15 cm时,包装盒侧面积S最大.
(2)根据题意有V=(x)2×(30-x)=2x2(30-x)(0所以V'=6x(20-x).
当00,V单调递增;当20所以当x=20 cm时,V取得极大值,也是最大值.
此时,包装盒的高与底面边长的比值为=.
即当x=20 cm时包装盒容积V(cm3)最大, 此时包装盒的高与底面边长的比值为.
【方法总结】 几何中最值问题的求解思路:
面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.
如果圆柱轴截面的周长l为定值,那么体积的最大值为( ).
A.3π B.3π C.3π D. 3π
【答案】 A
【解析】 设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,
∴h=,V=πr2h=πr2-2πr30令V'=0,得r=0或r=,而r>0,∴r=是其唯一的极值点.
故当r=时,V取得最大值,最大值为3π.
探究3 用料、费用最省问题
一艘轮船在航行时的燃料费和它的速度的立方成正比,已知速度为每小时10千米时的燃料费是每小时6元,而其他与速度无关的费用是每小时96元.
问题:此轮船以何种速度航行时,能使行驶每千米的费用总和最小
【答案】 设轮船速度为x(x>0)千米/小时时的燃料费用为Q元,则Q=kx3.由6=k×103,可得k=.∴Q=x3.
∴总费用y=x3+96·=x2+.
∴y'=-,令y'=0,得x=20.
∴当x∈(0,20)时,y'<0,此时函数单调递减;
当x∈(20,+∞)时,y'>0,此时函数单调递增.
∴当x=20时,y取得最小值,
∴此轮船以20千米/小时的速度行驶时,每千米的费用总和最小.
新知生成
费用、用料最省问题是日常生活中常见的问题之一,解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式,准确求导,结合实际作答.
新知运用
例3 某网球中心欲建连成片的网球场数块,用128万元购买土地10000平方米,该中心每块球场的建设面积为1000平方米,球场每平方米建筑的平均建设费用(单位:元)与球场数有关,当该中心建球场x块时,每平方米的平均建设费用可近似地用f(x)=8001+ln x来表示.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和),该网球中心应建几个球场
【解析】 设应建x个球场,则1≤x≤10,x∈N*,球场每平方米的购地费用为=元.因为球场每平方米的平均建设费用可近似地用f(x)=8001+ln x来表示,所以球场每平方米的综合费用为g(x)=f(x)+=800+160ln x+,所以g'(x)=.
令g'(x)=0,则x=8,
当08时,g'(x)>0.
所以x=8时,函数取得极小值,且为最小值.
故应建8个球场,此时每平方米的综合费用最省.
某地需修建一条通过120公里宽沙漠地带的大型输油管道,该段输油管道两端的输油站已建好,余下工程只需在该段两输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站.经预算,修建一个增压站的工程费用为432万元,铺设距离为x公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为(x3+x)万元.设余下工程的总费用为y万元.
(1)试将y表示成关于x的函数;
(2)需要修建多少个增压站才能使y最小
【解析】 (1)设需要修建k个增压站,则(k+1)x=120,即k=-1.
∴y=432k+(k+1)(x3+x)=432×-1+(x3+x)=+120x2-312.
∵x表示相邻两增压站之间的距离,则0(2)设f(x)=+120x2-312(0则f'(x)=-+240x=(x3-216).
由f'(x)>0,得x3>216.又0∴f(x)在区间(6,120]上单调递增,在区间[0,6)上单调递减.
∴当x=6时,f(x)取得最小值,
此时k=-1=-1=19.
故需要修建19个增压站才能使y最小.
【随堂检测】
1.有长和宽分别为8和5的长方形,在各角剪去相同的小正方形,把四边折起做成一个无盖小盒,要使纸盒的容积最大,则剪去的小正方形的边长应为( ).
A.18 B.10 C.8 D.1
【答案】 D
【解析】 设剪去的小正方形的边长为x,
则V=(8-2x)(5-2x)x=2(2x3-13x2+20x)0所以V'=4(3x2-13x+10)0令V'=0,得x=1,
所以当x=1时,容积V取得最大值,最大值为18.
2.某银行准备设一种新的定期存款业务,经预测,存款量与存款利率的平方成正比,比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%,假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x(x∈(0,0.048)),则银行获得最大收益的存款利率为( ).
A.3.2% B.2.4% C.4% D.3.6%
【答案】 A
【解析】 依题意知,存款量是kx2,银行应支付的利息是kx3,银行应获得的利息是0.048kx2,所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3,故y'=0.096kx-3kx2,令y'=0,得x=0.032或x=0(舍去).因为k>0,所以当00;当0.0323.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品.若该商品的零售价定为P元,销量为Q,销量Q(单位:件)与零售价P(单位:元)有如下关系Q=8300-170P-P2,则最大毛利润为( ).(毛利润=销售收入-进货支出)
A.30元 B.60元 C.28000元 D.23000元
【答案】 D
【解析】 设毛利润为L(P)元,由题意知,
L(P)=PQ-20Q=Q(P-20)
=(8300-170P-P2)(P-20)
=-P3-150P2+11700P-166000,
所以L'(P)=-3P2-300P+11700.
令L'(P)=0,解得P=30或P=-130(舍去).
此时,L(30)=23000.
根据实际问题的意义知,L(30)是最大值,即零售价定为每件30元时,最大毛利润为23000元.
4.(2023·甘肃武威第一次月考)如图,一块边长为2 dm的正三角形铁片上有三块阴影部分,将这些阴影部分裁下来,然后用剩余的三个全等的等腰三角形加工成一个正三棱锥容器,求容器的容积最大值.
【解析】 由题意可知,正三棱锥的底面边长为x,斜高为1,侧棱长为=(0边长为x的等边三角形,一边上的高为x,其外接圆半径为x×=x,
则正三棱锥的高为=,
所以容器的容积V=·x2=.
V=,令y=-+x4,则y'=-+4x3=-(x2-8),令y'=0,则x2-8=0,解得x=2或x=-2(舍去).
当00;当2所以函数y=-+x4在(0,2)上单调递增;在(2,2)上单调递减.
ymax=-+(2)4=,
所以Vmax=×=,
故容器容积的最大值为 dm3.
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