第二章 导数及其应用 章末小结 学案 2023-2024学年高二数学北师大版（2019）选择性必修2

第二章章末小结
【知识导图】
【题型探究】
题型1 导数的运算问题
例1　求下列函数的导数.
(1)y=+;
(2)y=xsin2x+cos2x+;
(3)y=.
方法指导　利用导数公式、导数的四则运算以及复合函数的求导法则求解即可.
【解析】　(1)∵y=+=,∴y'==.
(2)∵y=xsin2x+cos2x+=xsin(4x+π)=-xsin 4x,
∴y'=-sin 4x-x·4cos 4x=-sin 4x-2xcos 4x.
(3)y'='=
==
=.
小结　函数求导时要注意:(1)求导之前,应先利用代数、三角恒等式等对函数进行化简,然后求导,这样可以减少运算量,提高运算速度;(2)复合函数的求导,要正确分析函数的复合层次,通过设中间变量,确定复合过程,然后求导.
题型2 导数与切线问题
例2　(1)(2021年全国甲卷)曲线y=在点(-1,-3)处的切线方程为　　　　.
(2)设曲线y=ex在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为　　　　.
【答案】　(1)5x-y+2=0　(2)(1,1)
【解析】　(1)当x=-1时,y=-3,故点(-1,-3)在曲线上.又y'==,所以当x=-1时,y'=5,故切线方程为5x-y+2=0.
(2)由y'=ex知,曲线y=ex在点(0,1)处的切线斜率k1=e0=1.
设P(m,n),又y=(x>0)的导数y'=-,
所以曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k2=-.
依题意知,k1k2=-1,解得m=1或m=-1(舍去),所以n=1.
则点P的坐标为(1,1).
小结　注意区别“在点P处”求切线和“过点P”求切线的不同,后者点P不一定是切点,要先设出切点再求解.
题型3 利用导数研究函数的单调性
例3　(2022年北京卷)已知函数f(x)=exln(1+x).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)设g(x)=f'(x),讨论函数g(x)在[0,+∞)上的单调性.
【解析】　(1)∵函数f(x)=exln(1+x),∴f(0)=0,即切点坐标为(0,0),
又f'(x)=exln(1+x)+,∴切线的斜率k=f'(0)=1,
∴曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x,即x-y=0.
(2)∵g(x)=f'(x)=exln(1+x)+,
∴g'(x)=exln(1+x)+-,
令h(x)=ln(1+x)+-,则h'(x)=-+=>0,
∴h(x)在[0,+∞)上单调递增,∴h(x)≥h(0)=1>0,
∵g'(x)=ex·h(x),且y=ex在[0,+∞)上恒大于0,
∴g'(x)>0在[0,+∞)上恒成立,
∴函数g(x)在[0,+∞)上单调递增.
小结　函数的单调性与导数的关注点:(1)关注函数的定义域,单调区间应为定义域的子区间;(2)求解已知函数在某个区间上的单调性时,转化要等价;(3)分类讨论求函数的单调区间的实质是讨论不等式的解集;(4)求参数的取值范围时常用到分离参数法.
题型4 利用导数求函数的极(最)值
例4　(1)(2022年全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f'(2)=(　　).
A.-1　　　B.-　　　C.　　　D.1
(2)(2022年全国乙卷)已知x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点.若x1【答案】　(1)B　(2),1
【解析】　(1)因为函数f(x)的定义域为(0,+∞),所以依题可知,f(1)=-2,f'(1)=0,而f'(x)=-,所以b=-2,a-b=0,即a=-2,b=-2,所以f'(x)=-+,因此函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,所以当x=1时,函数f(x)取得最大值,满足题意,即f'(2)=-1+=-.故选B.
(2)(法一:转化法)因为f'(x)=2ln a·ax-2ex,所以方程2ln a·ax-2ex=0的两个根为x1,x2,
即方程ln a·ax=ex的两个根为x1,x2,
即函数y=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,
因为x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,
所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,
所以当x∈(-∞,x1)和(x2,+∞)时,f'(x)<0,即y=ex的图象在y=ln a·ax的图象的上方,
当x∈(x1,x2)时,f'(x)>0,即y=ex的图象在y=ln a·ax的图象下方,易知a>0.
当a>1时,图象显然不符合题意,所以0令g(x)=ln a·ax,则g'(x)=(ln a)2·ax,0设过原点且与函数y=g(x)的图象相切的直线的切点坐标为(x0,ln a·),
则切线的斜率为g'(x0)=(ln a)2·,故切线方程为y-ln a·=(ln a)2·(x-x0),
则-ln a·=-x0(ln a)2·,解得x0=,则切线的斜率为(ln a)2·=e(ln a)2,
如图,因为函数y=ln a·ax与函数y=ex的图象有两个不同的交点,
所以e(ln a)2综上所述,a的取值范围为,1.
(法二:通性通法)因为f'(x)=2ln a·ax-2ex=0的两个根为x1,x2,且x1,x2分别是函数f(x)=2ax-ex2的极小值点和极大值点,
所以函数f(x)在(-∞,x1)和(x2,+∞)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,
设函数g(x)=f'(x)=2(axln a-ex),则g'(x)=2ax·(ln a)2-2e,
若a>1,则g'(x)在R上单调递增,此时若g'(x0)=0,则f'(x)在(-∞,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,若x=x1和x=x2分别是函数f(x)=2ax-ex2(a>0且a≠1)的极小值点和极大值点,则x1>x2,不符合题意;
若00且a≠1)的极小值点和极大值点,且x10,f'(x0)=2(ln a-ex0)=2-ex0>0,即x0<,x0ln a>1故ln =x0ln a=ln>1,所以a的取值范围是,1.
小结　(1)求极值时一般需确定f'(x)=0的点和f(x)的单调性,对于常见的连续函数,先确定单调性即可得极值点,当连续函数的极值点只有一个时,对应的极值点必为函数的最值点.(2)求闭区间上可导函数的最值时,对函数极值是极大值还是极小值可不做判断,只需要直接与端点的函数值比较即可.解题过程渗透了数学运算、逻辑推理的素养.
题型5 导数的综合应用
例5　(2022年全国乙卷)已知函数f(x)=ax--(a+1)ln x.
(1)当a=0时,求f(x)的最大值;
(2)若f(x)恰有一个零点,求a的取值范围.
【解析】　(1)当a=0时,f(x)=--ln x,x>0,则f'(x)=-=,
当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)max=f(1)=-1.
(2)f(x)=ax--(a+1)ln x,x>0,则f'(x)=a+-=,
当a≤0时,ax-1<0,所以当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.
所以f(x)max=f(1)=a-1<0,此时函数无零点,不合题意;
当01,在(0,1),,+∞上f'(x)>0,即f(x)单调递增,在1,上f'(x)<0,即f(x)单调递减.又f(1)=a-1<0,
由(1)得+ln x≥1,即ln≥1-x,所以ln x当x>1时,f(x)=ax--(a+1)ln x>ax--2(a+1)>ax-(2a+3),
则存在m=+22>,使得f(m)>0,
所以f(x)仅在,+∞上有唯一零点,符合题意;
当a=1时,f'(x)=≥0,所以f(x)单调递增,又f(1)=a-1=0,
所以f(x)有唯一零点,符合题意;
当a>1时,<1,在0,,(1,+∞)上f'(x)>0,即f(x)单调递增,在,1上f'(x)<0,即f(x)单调递减.此时f(1)=a-1>0,
由(1)得,当01-,ln>1-,所以ln x>21-,
此时f(x)=ax--(a+1)ln x存在n=<,使得f(n)<0,
所以f(x)在0,上有一个零点,在,+∞上无零点,
所以f(x)有唯一零点,符合题意.
综上,a的取值范围为(0,+∞).
小结　讨论方程根的个数、研究函数图象与x轴或某条直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极(最)值的应用.问题破解的方法是根据题目的要求,借助导数将函数的单调性与极(最)值求出,然后借助单调性和极(最)值情况,画出函数图象的草图,数形结合求解.解题过程渗透直观想象、逻辑推理和数学运算的核心素养.
题型6 利用导数证明不等式
例6　(2022年新高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=xeax-ex.
(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;
(2)当x>0时,f(x)<-1,求a的取值范围;
(3)设n∈N*,证明:++…+>ln(n+1).
【解析】　(1)当a=1时,f(x)=(x-1)ex,则f'(x)=xex,
当x<0时,f'(x)<0,当x>0时,f'(x)>0,
故f(x)的单调递减区间为(-∞,0),单调递增区间为(0,+∞).
(2)设h(x)=xeax-ex+1,则h(0)=0,
又h'(x)=(1+ax)eax-ex,设g(x)=(1+ax)eax-ex,
则g'(x)=(2a+a2x)eax-ex,
若a>,则g'(0)=2a-1>0,
因为g'(x)为连续不间断函数,
故存在x0∈(0,+∞),使得 x∈(0,x0),总有g'(x)>0,
故g(x)在(0,x0)为增函数,故g(x)>g(0)=0,
故h(x)在(0,x0)为增函数,故h(x)>h(0)=0,与题设矛盾.
若0下证:对任意x>0,总有ln(1+x)设S(x)=ln(1+x)-x,故S'(x)=-1=<0,
故S(x)在(0,+∞)上为减函数,故S(x)由上述不等式有eax+ln(1+ax)-ex故h'(x)≤0总成立,即h(x)在(0,+∞)上为减函数,所以h(x)当a≤0时,有h'(x)=eax-ex+axeax<1-1+0=0,　　
所以h(x)在(0,+∞)上为减函数,所以h(x)综上,a≤.
(3)取a=,则 x>0,总有x-ex+1<0成立,
令t=,则t>1,t2=ex,x=2ln t,
故2tln t1恒成立.
所以对任意的n∈N*,有2ln<-,
整理得ln(n+1)-ln n<,
故++…+>ln 2-ln 1+ln 3-ln 2+…+ln(n+1)-ln n=ln(n+1),故不等式成立.
小结　利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法
(1)若f(x)与g(x)的最值易求出,可直接转化为证明f(x)min>g(x)max.
(2)若f(x)与g(x)的最值不易求出,可构造函数h(x)=f(x)-g(x).若h'(x)>0,则h(x)在(a,b)上单调递增.同时h(a)>0,即f(x)>g(x)或若h'(x)<0,则h(x)在(a,b)上单调递减.同时h(b)>0,即f(x)>g(x).本题考查了逻辑推理和数学运算的素养.
题型7 利用导数解决恒成立问题
例7　(2023·河南六校联盟联考)已知函数f(x)=ax3-3x+1.
(1)当a=1时,判断函数f(x)的零点个数;
(2)若f(x)≥0对任意的x∈[-1,1]恒成立,求实数a的值.
【解析】　(1)当a=1时,f(x)=x3-3x+1,则f'(x)=3x2-3.
令f'(x)=0,得x=-1或x=1.
当x∈R时,f'(x),f(x)的变化情况如表所示:
x (-∞,-1) -1 (-1,1) 1 (1,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
由表可知,当x=-1时,函数取得极大值,极大值为f(-1)=3>0;
当x=1时,函数取得极小值,极小值为f(1)=-1<0.
又当x→-∞时,f(x)→-∞,且当x→+∞时,f(x)→+∞,
所以由函数的零点存在定理知,f(x)有3个不同的零点.
(2)当x=0时,a∈R;
当x>0时,f(x)≥0 ax3≥3x-1 a≥-3+32,0当x<0时,f(x)≥0 ax3≥3x-1 a≤-3+32,-1≤x<0.
记g(x)=-x3+3x2,下面只需求g(x)在[1,+∞)的最大值和(-∞,-1]的最小值,
则g'(x)=-3x2+6x=-3x(x-2),令g'(x)=0,得x=0或x=2.
当x∈R时,g'(x),g(x)的变化情况如表所示:
x (-∞,0) 0 (0,2) 2 (2,+∞)
g'(x) - 0 + 0 -
g(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
所以当x≥1时,g(x)max =g(2)=4,
当x≤-1时,g(x)min =g(-1)=4.
所以a≥-3+32,0a≤-3+32,-1≤x<0,即a≤4.
综上所述,a=4.
小结　解决恒成立问题的方法:(1)若关于x的不等式f(x)≤m在区间D上恒成立,则转化为f(x)max≤m.(2)若关于x的不等式f(x)≥m在区间D上恒成立,则转化为f(x)min≥m.(3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具.本题渗透了逻辑推理、数学运算的素养.
【拓展延伸】
中世纪时期,欧洲科学发展停滞不前,人类对无穷、极限和积分等观念的想法都没有什么突破.中世纪以后,欧洲数学和科学急速发展,微积分的观念此时趋于成熟.在积分方面,1615年,开普勒(Kepler)把酒桶看作一个由无数圆薄片积累而成的物件,从而求出其体积.而伽利略(Galileo)的学生卡瓦列里(Cavalieri)认为一条线由无穷多个点构成;一个面由无穷多条线构成;一个立体由无穷多个面构成.这些想法都是积分法的前驱.
在微分方面,十七世纪人类也有很大的突破.费马(Fermat)在一封给罗贝瓦(Roberval)的信中,提及计算函数的极大值和极小值的步骤,而这实际上已相当于现代微分学中所用的,设函数导数为零,然后求出函数极点的方法.另外,巴罗(Barrow)也已经懂得通过“微分三角形”(相当于以dx,dy,ds为边的三角形)求出切线的方程,这和现今微分学中用导数求切线的方法是一样的.由此可见,人类在十七世纪已经掌握了微分的要领.
然而直至十七世纪中叶,人类仍然认为微分和积分是两个独立的观念.就在这个时候,牛顿和莱布尼茨将微分及积分两个貌似不相关的问题,通过“微积分基本定理”和“牛顿-莱布尼茨公式”联系起来,说明求积分基本上是求微分之逆,求微分也是求积分之逆.这是微积分理论中的基石,是微积分发展的一个重要里程碑.
微积分诞生以后,逐渐发挥出它非凡的威力,过去很多初等数学束手无策的问题,至此往往迎刃而解.微积分的发展迅速,使人来不及检查和巩固微积分的理论基础.十九世纪,许多迫切问题基本上已经解决,数学家于是转向微积分理论的基础重建,人类也终于首次给出极限、微分和积分等概念的严格定义.
1816年,波尔查诺(Bolzano)在人类历史上首次给出连续函数的近代定义.继而在1821年,柯西(Cauchy)在他的《教程》中提出e方法,后来在1823年的《概要》中他改写为d方法,把整个极限过程用不等式来刻画,使无穷的运算转化为一系列不等式的推算,这就是所谓极限概念的“算术化”.后来外尔斯特拉斯(Weierstrass)将e和d联系起来,完成了e-d方法,这就是现代极限的严格定义.
有了极限的严格定义,数学家便开始尝试严格定义导数和积分.在柯西之前,数学家通常以微分为微积分的基本概念,并把导数视作微分的商.然而微分的概念模糊,因此把导数定义作微分的商并不严谨.于是柯西在《概要》中直接定义导数为差商的极限,这就是现代导数的严格定义,是为现代微分学的基础.
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