2023-2024学年第二学期第一次调研考试
高二数学
2024.4.8
注意事项：
1．本试卷考试时间为 120分钟，试卷满分 150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答
题卡上．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．设等差数列{an}的前 n项和为 Sn若 a2－a1＝2，S5－S4＝9，则 a50＝( )
A. 99 B. 101 C. 2500 D. 9×2545
2．在四面体 OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，点 M在 OA上，且 OM＝2MA，N为 BC
中点，则MN＝( )
A. 1a 2b 1c B. 2－ ＋ a 2＋ b 1－ c
2 3 2 3 3 2
C. 1a 1b 1c D. 2a 1b 1＋ － － ＋ ＋ c
2 2 2 3 2 2
3．若(x 1－ )n的展开式中第 3项的二项式系数是 15，则展开式中所有项系数之和为( )
2
A. 1 1 1 1－ B. C. D.
64 128 64 32
4．直线 y＝5x＋b是曲线 y＝x3＋2x＋1的一条切线，则实数 b＝( )
A.－1或 1 B.－1或 3 C. －1 D. 3
5 1． (x＋ －2)4展开式中的常数项为( )
x
A. 70 B. －70 C. 16 D. 64
6．在四棱锥 P—ABCD中，AB＝(2，－1，3)，AD＝(－2， 1，0)，AP＝(3， －1，4)，
则该四棱锥的高为( )
高二数学周练 2 第 1页(共 4页)
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A. 2 5 B. 1 C. 2 D. 5
5 5 5 5
7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略
需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，
“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 3门，大一到
大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 144种 B. 84种 C. 78种 D. 60种
8．已知 a＝e0.4－1，b＝0.4－2ln1.2，c＝0.2，则 a，b，c的大小关系为( )
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. c＞b＞a
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0分．
9．已知 f(x)＝x2＋xln x＋2，g(x)＝f(x)－ex，则( )
A. 函数 f(x)在[1，1]上的最大值为 3 B. x＞0，f(x)＞2
4
C. 函数 g(x)在(3，4)上没有零点 D.函数 g(x)的极值点有 2个
10．在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不
断构造出新的数列.将数列 1，2进行构造，第一次得到数列 1，3，2；第二次得到数列 1，4，
3，5，2；…；第 n (n∈N*)次得到数列 1，x1，x2，x3，…，xk，2，记 an＝1＋x1＋x2＋x3＋…
＋xk＋2，数列{an}的前 n项和为 Sn，则( )
A. a4＝123 B. k＋1＝2n
C. a 3(n2 3n) D. S 3(3n＋n＝ ＋ n＝ 1＋2n－3)
2 4
11．在正四棱锥 P—ABCD中，AB＝ 2，PA＝ 3，点 Q满足PQ＝ PA＋λAB＋μAD，其中
λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的有( )
A. |PQ |的最小值是 2
B. 当μ＝1时，三棱锥 P—ADQ的体积为定值
高二数学周练 2 第 2页(共 4页)
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C. 当λ＝μ时，PB π与 PQ所成角可能为
3
D. 当λ＋μ 1 30＝ 时，AB与平面 PAQ所成角正弦值的最大值为 .
6
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含 x3项的系数为____▲____ .(用数
字作答 )
2 2
13 x y 2．椭圆 ＋ ＝1的焦点在 y轴上，离心率大于 ，且 m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5 ,6,7,8,9}，
m n 2
则满足题意的椭圆的个数为_____▲_______.
2023
14．设函数 f(x)＝e2x＋a，g(x)＝ex＋x，若存在 x1，x2，…，x2024∈[－1，1]，使得∑f(xi)＋
i=1
2023
g(x2024)＝∑g(xi)＋f(x2024)成立，则实数 a的最大值为_____▲______.
i=1
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13分)
已知空间中三点 A (2，0，－2) ，B (1，－1，－2) ，C (3，0，－4)，设 a＝AB，b＝AC
(1)若| c|＝6，且 c∥BC，求向量 c；
(2)已知向量 ka－b 与 b 互相垂直，求 k的值；
(3)若点 P (1，－1， m)在平面 ABC上，求 m的值．
16．(本小题满分 15分)
设(3x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9
(1)求 a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9的值；(用数字作答)
(2)若(3x－1)9＝b0＋b1(x＋1)＋b2 (x＋1)2＋b3(x＋1)3＋…＋b9(x＋1)9，试求下列的值
①b1＋b2＋b3＋…＋b9(用数字作答)
②2b1＋4b2＋8b3＋…＋29b9．(用数字作答)
高二数学周练 2 第 3页(共 4页)
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17．(本小题满分 15分)
已知数列{an}的前 n项和 Sn满足 2Sn＋an＝3
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足 bn＝(n＋1)an，记数列{bn}的前 n项和为 Tn，若存在 n∈N*使得
T ≥15n ＋λan成立，求λ的取值范围．
4
18．(本小题满分 17分)
如图 1，△ABC是边长为 3的等边三角形，点 D，E分别在线段 AC，AB上，AE＝1，AD
＝2，沿 DE将△ADE折起到△PDE的位置，使得 PB＝ 5，如图 2.
(1)求证：平面 PDE⊥平面 BCDE；
(2)若点 F在线段 BC上，且直线 DF与平面 PCD 21所成角的正弦值为 ，求 BF；
7
(3)在线段 PC上是否存在点 M，使得 DM PM∥平面 PBE，若存在，求出 的值；若不存在，
PC
请说明理由.
19．(本小题满分 17分)
lnx
已知函数 f(x)＝ ，a为常数.
(x＋a)2
(1)若 a＝0，求函数 f(x)的极值；
(2)若函数 f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数 a 的取值范围；
(3)若 a＝－1，设函数 f(x)在(0，1)上的极值点为 x0，求证：f(x0)＜－2.
高二数学周练 2 第 4页(共 4页)
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高二数学答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1． A 2． D 3． C 4． B 5．A 6．D 7．C 8．B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得 0分．
9． AC 10． ABD 11． AD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
e212 330 13 －e－1． ． 16 14．
2022
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分 13分)
(1)解：BC＝(2，1，－2)，设 c＝λBC，则| c|＝3，而|BC |＝3，所以λ＝±2；
故 c＝(4，2，－4)或 c＝(－4，－2， 4)……………………………………………………4分
(2)解：a＝AB＝(－1，－1，0)，b＝AC＝(1， 0，－2)，a·b＝－1，
由 ka－b 与 b 互相垂直得：(ka－b)·b＝0, k＝－5…………………………………………8分
(3)解：点 P (1，－1， m)在平面 ABC上，AP＝λAB＋μAC，
(－1，－1， m＋2)＝λ(－1，－1，0)＋μ(1， 0，－2)，解得：m＝－2…………………13分
16．(本小题满分 15分)
解：(1)对式子(3x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9两边求导得：27(3x－1)8＝a1＋a2x＋
a3x2＋…＋a9x8，令 x＝1可得 a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝27×28＝6912………………7分
(2) ①令 x＝－1可得 b0＝－49，
令 x＝0可得 b0＋b1＋b2＋b3＋…＋b9＝－1，
所以 b1＋b2＋b3＋…＋b9＝49－1＝262143………………………………………………11分
②令 x＝1可得 b0＋2b1＋4b2＋8b3＋…＋29b9＝29，b0＝－49，
所以 2b1＋4b2＋8b3＋…＋29b9＝29＋49＝512＋5122＝512＋262144＝262656.………15分
注：没有用数字作答，每个结果扣 1 分
17．(本小题满分 15分)
高二数学周练 2 第 1页(共 5页)
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解：(1) 2Sn＋an＝3，当 n＝1时，a1＝1，
当 n≥2时，2Sn＋an＝3，2Sn－1＋an－1＝3，两式相减得： 3an＝an－1(n≥2)，
an 1(n 1＝ ≥2)为非零定值，a1＝1，，即{an}是以 1为首项，公比 q＝ 的等比数列，
an－1 3 3
a 1n＝( ) n－1；………………………………………………………………………………5分
3
(2) bn＝(n＋1)a (n 1n＝ ＋1) ( ) n－1，
3
1 1 1 1 1 －
所以 Tn＝2( )0＋3( )＋4( )2＋5( )3＋…＋(n＋1) ( ) n 1，
3 3 3 3 3
1Tn＝ 2(
1)＋3(1)2＋4(1)3 1＋5( )4＋…＋n(1) n－1＋(n＋1) (1) n，
3 3 3 3 3 3 3
1 1 1 1 1 1
两式相减：(1－ )Tn＝2＋ ＋( )2＋( )3＋( )4＋…＋( ) n－1－(n＋1) (1) n，
3 3 3 3 3 3 3
T 15 3 15 1n＝ －( n＋ ) ( ) n…………………………………………………………………11分
4 2 4 3
由 Tn≥
15
＋λa 1 5n得，λ≤－( n＋ )，
4 2 4
1 5
即存在 n∈N*使λ≤－( n＋ )成立，
2 4
1随着 n增大，－( n 5＋ ) 7在减小， 当 n＝1时，λ≤－ ，
2 4 4
7
故求λ的取值范围是 (－∞，－ ]. ……………………………………………15分
4
18．(本小题满分 17分)
解：(1)在△PDE中，PE＝1，PD＝2，∠EPD＝60 ，
由余弦定理得 DE2＝PE2＋PD2－2PE·PDcos60 ＝3，
所以 PE2＋DE2＝PD2，所以 DE⊥PE…………………………………………………2分
在△PBE中，PE＝1，BE＝2，PB＝ 5，
所以 PE2＋BE2＝PB2，所以 BE⊥PE……………………………………………………4分
又因为 BE DE E，BE、DE 平面 BCDE，
所以 PE⊥平面 BCDE，又 PE 平面 PDE，
所以平面 PDE⊥平面 BCDE…………………………………………………………6分
高二数学周练 2 第 2页(共 5页)
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(2)由(1)可知 EB，ED，EP两两互相垂直，以 E为原点，EB，ED，EP所在直线分别为 x，y，
z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 D(0， 3，0)，B(2，0，0) P(0 0 1) C(1 3 3， ， ， ， ， ，0) …………………………8分
2 2
PC (1 3 3
1 3
所以 ＝ ， ，－1)，DC＝( ， ，0)，
2 2 2 2
设平面 PCD的法向量为 n＝(x，y，z)，
n·PC＝0，
则 令 y＝－1，得 n＝( 3，－1，－ 3) ………………………………10分
n·DC＝0．
设BF＝λBC (0≤λ≤1)，则DF＝DB＋BF＝DB＋λBC (2 3λ 3 3＝ － ，－ 3＋ λ，0).
2 2
因为直线 DF 21 21与平面 PCD所成角的正弦值为 ，所以|cos|＝ ，
7 7
| 3 (2 3 3 3－ λ)－(－ 3＋ λ)|
2 2 21 2
即 ＝ ，解得λ＝ ，即 BF＝2 ………………………13分
7 3
7|DF |
(3) PM μPC (0 μ 1 3 3设 ＝ ≤ ≤1)，DM＝DP＋PM＝DP＋μPC＝( μ，－ 3＋ μ，1－μ).
2 2
平面 PBE的法向量 n＝(0，1，0)，
由 n·DM＝0得，μ 2 PM 2＝ ，此时 ＝ 。………………………………………………17分
3 PC 3
19．(本小题满分 17分)
已知函数 f(x) lnx＝ 中 a为常数.
(x＋a)2
(1)若 a＝0，求函数 f(x)的极值；
(2)若函数 f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数 a的取值范围；
高二数学周练 2 第 3页(共 5页)
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(3)若 a＝－1，设函数 f(x)在(0，1)上的极值点为 x0，求证：f(x)＜－2.
lnx
解：(1)当 a＝0时，f(x)＝ ，定义域为(0，＋∞)，f (x) 1－2lnx＝ ，令 f (x)＝0，得 x＝ e
x2 x3
x (0， e) e ( e，＋∞)
f (x) ＋ 0 －
1
f(x) 极大值2e
当 x＝ e时，f(x) 1的极大值为 ，无极小值.…………………………………3分
2e
1 a＋ －2lnx
(2)f (x)＝ x ，由题意 f (x)≥0对 x∈(0，－a)恒成立.
( x＋a) 3
a
∵x∈(0，－a)，∴(x＋a)3＜0， 1＋ －2lnx≤0对 x∈(0，－a)恒成立.
x
∴a≤2xlnx－x对 x∈(0，－a)恒成立.
令 g(x)＝2xlnx－x，x∈(0，－a)，则 g (x)＝2lnx＋1，
1
①若 0＜－a≤ ，则 g (x)＝2lnx＋1＜0对 x∈(0，－a)恒成立，
e
g(x)＝2xlnx－x在 (0，－a)上单调递减，
则 a≤2(－a)ln(－a)－(－a)，∴ln(－a)≥0，∴a≤－1与 a 1≥－ 矛盾，舍去；
e
1 1
②若－a＞ ，令 g (x)＝2lnx＋1＝0，得 x＝ ，
e e
0 1当 ＜x＜ 时，g (x)＝2lnx＋1＜0，∴g(x)＝2xlnx－x单调递减，
e
1
当 ＜x＜－a时，g (x)＝2lnx＋1＞0，∴g(x)＝2xlnx－x单调递增，
e
1 1 1 1
∴当 x＝ 时，g(x)的最小值 g( )＝－2 ，∴a≤－2
e e e e
综上，实数 a 1的取值范围为(－∞，－2 ]。……………………………………9分
e
(3) lnx x－1－2xlnx当 a＝－1时，f(x)＝ ，f (x)＝ ，
(x－1)2 x (x－1)3
令 h(x) 1＝x－1－2xlnx，x∈(0，1)，则 h (x)＝－1－2lnx，令 h (x)＝0，得 x＝ ，
e
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1
①当 ≤x＜1时，h (x) 1≤0，∴h(x)＝x－1－2xlnx单调递减，h(x)∈(0，2 －1]
e e
f (x) x－1－2xlnx 0 f(x) lnx 1∴ ＝ ＜ 恒成立，∴ ＝ 单调递减，且 f(x)≤f( )
x (x－1)3 (x－1)2 e
1
②当 0＜x≤ 时，h (x)≥0，∴h(x)＝x－1－2xlnx单调递增，
e
∴h(1) 4＝ln ＞0,又 h(e－2)＝e－2－1－2 e－2ln(e－2)＝5e－2－1＜0，
2 e
存在唯一 x0∈(e－2
1
， )，使得 h(x0)＝0，∴f (x2 0
)＝0，
当 0＜x＜x0时，f (x)＞0
lnx
，∴f(x)＝ 单调递增，
(x－1)2
x x 1 f (x) 0 f(x) lnx当 0＜ ≤ 时， ＜ ，∴ ＝ 单调递减，且 f(x) f(
1
≥ )，
e (x－1)2 e
lnx
由①和②可知，f(x)＝ 在(0， x0)单调递增，在(x0，1)上单调递减，(x－1)2
x x f(x) lnx当 ＝ 0时， ＝ 取极大值.
(x－1)2
h(x x0－1 lnx 1
1
0
0)＝x0－1－2x0lnx0＝0， lnx0＝ ，f(x0)＝ ＝ ＝ ，
x (x 2 1 2 10 0－1) 2x0(x0－1) 2(x0－ ) －2 2
1 1 1 1
又 x 20∈(0， )，所以 2(x0－ ) － ∈(－ ，0)，
e 2 2 2
1
f(x0) ＝
2(x 1 )2 1
＜－2………………………………………………………17分
0－ －2 2
高二数学周练 2 第 5页(共 5页)
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