江苏省南京市六校联合体学校2023-2024学年高二下学期四月联考数学试卷（含答案）

2023-2024学年第二学期第一次调研考试
高二数学
注意事项：
1．本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷．
2．本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分．
3．答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn若a2－a1＝2，S5－S4＝9，则a50＝(
A. 99 B. 101 C. 2500 D. 9×2545
2．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝( )
A. a－b＋c B. a＋b－c
C. a＋b－c D. －a＋b＋c
3．若(x－)n的展开式中第3项的二项式系数是15，则展开式中所有项系数之和为( )
A. － B. C. D.
4．直线y＝5x＋b是曲线y＝x3＋2x＋1的一条切线，则实数b＝( )
A.－1或1 B.－1或3 C. －1 D. 3
5． (x＋－2)4展开式中的常数项为( )
A. 70 B. －70 C. 16 D. 64
6．在四棱锥P—ABCD中，＝(2，－1，3)，＝(－2， 1，0)，＝(3， －1，4)，则该四棱锥的高为( )
A. eq \f(2,5) B. C. D. eq \f(,5)
7．数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求.现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”，“世界数学通史”，“几何原本”，“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选3门，大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有( )
A. 144种 B. 84种 C. 78种 D. 60种
8．已知a＝e0.4－1，b＝0.4－2ln1.2，c＝0.2，则a，b，c的大小关系为( )
A. a＞b＞c B. a＞c＞b C. b＞a＞c D. c＞b＞a
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9．已知f(x)＝x2＋xln x＋2，g(x)＝f(x)－ex，则( )
A. 函数f(x)在[，1]上的最大值为3 B. x＞0，f(x)＞2
C. 函数g(x)在(3，4)上没有零点 D.函数g(x)的极值点有2个
10．在数列的相邻两项之间插入此两项的和形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；…；第n (n∈N*)次得到数列1，x1，x2，x3，…，xk，2，记an＝1＋x1＋x2＋x3＋…＋xk＋2，数列{an}的前n项和为Sn，则( )
A. a4＝123 B. k＋1＝2n
C. an＝(n2＋3n) D. Sn＝(3n＋1＋2n－3)
11．在正四棱锥P—ABCD中，AB＝，PA＝，点Q满足＝＋λ＋μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则下列结论正确的有( )
A. ||的最小值是
B. 当μ＝1时，三棱锥P—ADQ的体积为定值
C. 当λ＝μ时，PB与PQ所成角可能为
D. 当λ＋μ＝1时，AB与平面PAQ所成角正弦值的最大值为 eq \f(,6).
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10的展开式中，含x3项的系数为用数字作答
13．椭圆＋＝1的焦点在y轴上，离心率大于 eq \f(,2)，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5 ,6,7,8,9}，则满足题意的椭圆的个数为____.
14．设函数f(x)＝e2x＋a，g(x)＝ex＋x，若存在x1，x2，…，x2024∈[－1，1]，使得eq \o(i=1,\d\fo1()\s\up6 ())f(xi)＋g(x2024)＝eq \o(i=1,\d\fo1()\s\up6 ())g(xi)＋f(x2024)成立，则实数a的最大值为___.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
已知空间中三点A (2，0，－2) ，B (1，－1，－2) ，C (3，0，－4)，设a＝，b＝
(1)若| c|＝6，且c∥，求向量c；
(2)已知向量ka－b与b互相垂直，求k的值；
(3)若点P (1，－1， m)在平面ABC上，求m的值．
16．(本小题满分15分)
设(3x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9
(1)求a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9的值；(用数字作答)
(2)若(3x－1)9＝b0＋b1(x＋1)＋b2 (x＋1)2＋b3(x＋1)3＋…＋b9(x＋1)9，试求下列的值
①b1＋b2＋b3＋…＋b9(用数字作答)
②2b1＋4b2＋8b3＋…＋29b9．(用数字作答)
17．(本小题满分15分)
已知数列{an}的前n项和Sn满足2Sn＋an＝3
(1)求{an}的通项公式；
(2)设数列{bn}满足bn＝(n＋1)an，记数列{bn}的前n项和为Tn，若存在n∈N*使得
Tn≥＋λan成立，求λ的取值范围．
18．(本小题满分17分)
如图1，△ABC是边长为3的等边三角形，点D，E分别在线段AC，AB上，AE＝1，AD＝2，沿DE将△ADE折起到△PDE的位置，使得PB＝，如图
(1)求证：平面PDE⊥平面BCDE；
(2)若点F在线段BC上，且直线DF与平面PCD所成角的正弦值为 eq \f(,7)，求BF；
(3)在线段PC上是否存在点M，使得DM∥平面PBE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19．(本小题满分17分)
已知函数f(x)＝，a为常数.
(1)若a＝0，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x0)＜－2.
2023-2024学年第二学期第一次调研考试
高二数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． A 2． D 3． C 4． B 5．A 6．D 7．C 8．B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．
9． AC 10． ABD 11． AD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 330 13． 16 14．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题满分13分)
(1)解：＝(2，1，－2)，设c＝λ，则| c|＝3，而||＝3，所以λ＝±2；
故c＝(4，2，－4)或c＝(－4，－2， 4) ……………………………………………………4分
(2)解：a＝＝(－1，－1，0)，b＝＝(1， 0，－2)，a·b＝－1，
由ka－b与b互相垂直得：(ka－b)·b＝0, k＝－5…………………………………………8分
(3)解：点P (1，－1， m)在平面ABC上，＝λ＋μ，
(－1，－1， m＋2)＝λ(－1，－1，0)＋μ(1， 0，－2)，解得：m＝－2…………………13分
16．(本小题满分15分)
解：(1)对式子(3x－1)9＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋…＋a9x9两边求导得：27(3x－1)8＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋a9x8，令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝27×28＝6912………………7分
(2) ①令x＝－1可得b0＝－49，
令x＝0可得b0＋b1＋b2＋b3＋…＋b9＝－1，
所以b1＋b2＋b3＋…＋b9＝49－1＝262143………………………………………………11分
②令x＝1可得b0＋2b1＋4b2＋8b3＋…＋29b9＝29，b0＝－49，
所以2b1＋4b2＋8b3＋…＋29b9＝29＋49＝512＋5122＝512＋262144＝262656. ………15分
注：没有用数字作答，每个结果扣1分
17．(本小题满分15分)
解：(1) 2Sn＋an＝3，当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，2Sn＋an＝3，2Sn－1＋an－1＝3，两式相减得： 3an＝an－1(n≥2)，
＝(n≥2)为非零定值，a1＝1，，即{an}是以1为首项，公比q＝的等比数列，
an＝() n－1；………………………………………………………………………………5分
(2) bn＝(n＋1)an＝(n＋1) () n－1，
所以Tn＝2()0＋3()＋4()2＋5()3＋…＋(n＋1) () n－1，
Tn＝ 2()＋3()2＋4()3＋5()4＋…＋n() n－1＋(n＋1) () n，
两式相减：(1－)Tn＝2＋＋()2＋()3＋()4＋…＋() n－1－(n＋1) () n，
Tn＝－(n＋) () n…………………………………………………………………11分
由Tn≥＋λan得，λ≤－(n＋)，
即存在n∈N*使λ≤－(n＋)成立，
随着n增大，－(n＋)在减小，当n＝1时，λ≤－，
故求λ的取值范围是 (－∞，－]. ……………………………………………15分
18．(本小题满分17分)
解：(1)在△PDE中，PE＝1，PD＝2，∠EPD＝60 ，
由余弦定理得DE2＝PE2＋PD2－2PE·PDcos60 ＝3，
所以PE2＋DE2＝PD2，所以DE⊥PE…………………………………………………2分
在△PBE中，PE＝1，BE＝2，PB＝，
所以PE2＋BE2＝PB2，所以BE⊥PE……………………………………………………4分
又因为，BE、平面BCDE，
所以PE⊥平面BCDE，又平面PDE，
所以平面PDE⊥平面BCDE…………………………………………………………6分
(2)由(1)可知EB，ED，EP两两互相垂直，以E为原点，EB，ED，EP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则D(0，，0)，B(2，0，0)，P(0，0，1)，C(， eq \f(3,2)，0) …………………………8分
所以＝(， eq \f(3,2)，－1)，＝(， eq \f(,2)，0)，
设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，
则 eq \b\lc\{(\a\al(n·＝0，, n·＝0．))令y＝－1，得n＝(，－1，－) ………………………………10分
设＝λ(0≤λ≤1)，则＝＋＝＋λ＝(2－λ，－＋ eq \f(3,2)λ，0).
因为直线DF与平面PCD所成角的正弦值为 eq \f(,7)，所以|cos<，n>|＝ eq \f(,7)，
即 eq \f(| (2－λ)－(－＋ eq \f(3,2)λ)|, ||)＝ eq \f(,7)，解得λ＝，即BF＝2 ………………………13分
(3) 设＝μ(0≤μ≤1)，＝＋＝＋μ＝(μ，－＋ eq \f(3,2)μ，1－μ).
平面PBE的法向量n＝(0，1，0)，
由n·＝0得，μ＝，此时＝。………………………………………………17分
19．(本小题满分17分)
已知函数f(x)＝中a为常数.
(1)若a＝0，求函数f(x)的极值；
(2)若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若a＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x0，求证：f(x)＜－2.
解：(1)当a＝0时，f(x)＝，定义域为(0，＋∞)，f (x)＝，令f (x)＝0，得x＝
x (0，) (，＋∞)
f (x) ＋ 0 －
f(x) 极大值
当x＝时，f(x)的极大值为，无极小值. …………………………………3分
(2)f (x)＝ eq \f(1＋－2lnx,( x＋a) 3)，由题意f (x)≥0对x∈(0，－a)恒成立.
∵x∈(0，－a)，∴(x＋a)3＜0， 1＋－2lnx≤0对x∈(0，－a)恒成立.
∴a≤2xlnx－x对x∈(0，－a)恒成立.
令g(x)＝2xlnx－x，x∈(0，－a)，则g (x)＝2lnx＋1，
①若0＜－a≤ eq \f(1, )，则g (x)＝2lnx＋1＜0对x∈(0，－a)恒成立，
g(x)＝2xlnx－x在 (0，－a)上单调递减，
则a≤2(－a)ln(－a)－(－a)，∴ln(－a)≥0，∴a≤－1与a≥－ eq \f(1, )矛盾，舍去；
②若－a＞ eq \f(1, )，令g (x)＝2lnx＋1＝0，得x＝ eq \f(1, )，
当0＜x＜ eq \f(1, )时，g (x)＝2lnx＋1＜0，∴g(x)＝2xlnx－x单调递减，
当 eq \f(1, )＜x＜－a时，g (x)＝2lnx＋1＞0，∴g(x)＝2xlnx－x单调递增，
∴当x＝ eq \f(1, )时，g(x)的最小值g( eq \f(1, ))＝－2 eq \f(1, )，∴a≤－2 eq \f(1, )
综上，实数a的取值范围为(－∞，－2 eq \f(1, )]。……………………………………9分
(3)当a＝－1时，f(x)＝，f (x)＝，
令h(x)＝x－1－2xlnx，x∈(0，1)，则h (x)＝－1－2lnx，令h (x)＝0，得x＝ eq \f(1, )，
①当 eq \f(1, )≤x＜1时，h (x)≤0，∴h(x)＝x－1－2xlnx单调递减，h(x)∈(0，2 eq \f(1, )－1]
∴f (x)＝＜0恒成立，∴f(x)＝单调递减，且f(x)≤f( eq \f(1, ))
②当0＜x≤ eq \f(1, )时，h (x)≥0，∴h(x)＝x－1－2xlnx单调递增，
∴h()＝ln eq \r()＞0,又h(e－2)＝e－2－1－2 e－2ln(e－2)＝5e－2－1＜0，
存在唯一x0∈(e－2， )，使得h(x0)＝0，∴f (x0)＝0，
当0＜x＜x0时，f (x)＞0，∴f(x)＝单调递增，
当x0＜x≤ eq \f(1, )时，f (x)＜0，∴f(x)＝单调递减，且f(x)≥f( eq \f(1, ))，
由①和②可知，f(x)＝在(0， x0)单调递增，在(x0，1)上单调递减，
当x＝x0时，f(x)＝取极大值.
h(x0)＝x0－1－2x0lnx0＝0， lnx0＝，f(x0)＝＝＝ eq \f(1, 2(x0－)2－)，
又x0∈(0， eq \f(1, ))，所以2(x0－)2－∈(－，0)，
f(x0) ＝ eq \f(1, 2(x0－)2－)＜－2………………………………………………………17分