第七章万有引力与宇宙航行解答题专项训练（有解析）-高中物理人教版必修第二册
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| 名称 | 第七章万有引力与宇宙航行解答题专项训练（有解析）-高中物理人教版必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 988.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版（2019） | ||
| 科目 | 物理 | ||
| 更新时间 | 2024-04-15 15:19:27 | ||
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文档简介
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第七章万有引力与宇宙航行解答题专项训练-高中物理人教版必修第二册
1．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某行星表面。宇航员手持小球从高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出，测得小球运动的水平距离为L。已知该行星的半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）行星表面的重力加速度；
（2）行星的质量和平均密度。
2．如图所示，飞船绕地球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，地球半径为R0，若飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速度降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A点到B点所需要的时间。
3．火星探测器在火星表面着陆时，一般使用降落伞和保护罩的方式减速缓冲。“毅力号”火星探测器由于质量太大（设为m），在抛掉降落伞时，速度还很大，为v0，无法保障探测器安全降落，此时距降落点的高度为h，“毅力号”立即启动喷气式着陆器进一步减速，当到达火星表面时，恰好减速为零。已知“毅力号”火星探测器喷气式着陆器着陆时的推力恒定，大小为F，火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转及探测器运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：
（1）火星表面的重力加速度大小g；
（2）火星的质量M。
4．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r=5R，到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，求：
（1）第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
（3）飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间。
5．如图所示，距离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1。当从M中挖去两个半径为的球体时，剩下部分对m的万有引力为F2。求F1与F2的比值。
6．“神舟”七号飞船的成功发射为我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”获得了宝贵的经验，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运行，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，万有引力常量为G，求：
（1）飞船在轨道Ⅲ上的运行速率；
（2）飞船在轨道Ⅰ绕月球运行一周所需的时间。
（3）飞船在A点处点火后瞬间与点火前相比，速度是变大还是变小？
7．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度 以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
（1）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动 试求出月球绕地球运动的轨道半径r
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回到抛出点。已知月球半径R月，万有引力常量G。试求出月球的质量M月。
8．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离和落地时间，又已知该星球的半径为，引力常量为，若不考虑星球自转的影响，求：（最后结果必须用题中已知物理量表示）
（1）小球抛出的初速度大小；
（2）该星球表面的重力加速度；
（3）该星球的质量。
9．在未来世界，人类以已经掌握了星际旅行，到了KOI 7711.01类地行星。这颗行星比我们的地球仅大30%，它围绕着一颗与太阳类似的恒星运行，这颗恒星距离地球1700光年。科学家对该行星进行了实地考察，得出该行星的半径为R。在星球地面上，现将一个小球以初速度为v0竖直上抛，经过时间t回到抛出点，不计空气阻力，引力常量为G。求
（1）求该行星表面的重力加速度；
（2）求离行星表面h处卫星的周期。
10．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为，质量为m0的恒星和质量为m的行星（m0>m），在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）。设引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。
（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道。
（2）试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。
11．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面上，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G。求该星球的质量M。
12．2020年4月16日，小明同学受邀参观天文观测站，恰好当日该站收到了最新观测数据。2020年4月7日晚，在距离地球12345光年的恒星周围，发现了行星通过研究发现，行星围绕恒星做匀速圆周运动，且运行n圈所用时间为t，恒星的半径为R，表面的重力加速度为g，引力常量为G。小明同学为科学的发展，贡献了自己的一份力量算出了以下数值：
（1）恒星的质量M；
（2）恒星的第一宇宙速度v；
（3）行星与恒星星球表面的距离L。
请同为高中生的你也计算出以上三个数据。
注：行星与恒星之间距离较小，且恒星的半径极大。
13．2022年我国科学家牵头发现了“雾绕双星”系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了更为深刻的认识。一般双星系统由两个星体构成，其中每个星体的直径都远小于两者间的距离，同时距离其他星体足够远，可视为孤立系统。如图所示，已知某双星系统由星体A和B组成，每个星体的质量都是m0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点O做匀速圆周运动，引力常量为G。
（1）求该双星系统中星体的加速度大小a；
（2）求该双星系统中星体的运动周期T；
（3）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。我们熟悉的“地—月系统”，常常认为地球是不动的，月球绕地心做圆周运动。但实际上它们也可视为一双星系统，地球和月球围绕两者连线上的某点做匀速圆周运动。请利用下列数据，选择合适的角度，说明“认为地球是不动的”这种近似处理的合理性。已知地球和月球的质量分别为M=6×1024kg和m=7×1022kg。
14．如图所示为一质量为M的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点。
（1）若将球体挖去一个半径为的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切），则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
（2）若再挖去一个半径为的小球，则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
15．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，质量为M、半径为R、球心为O的密度均匀的球体表面R处有一质量为的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为（未知），从球O中挖去一半径为的球体后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求：
（1）质点Q在距球心的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小；
（2）质点Q在空腔球心处时，它所受球壳A的万有引力大小。
参考答案：
1．（1）；（2）；
【详解】（1）依题意，小球做类平抛运动，有
联立，解得
（2）根据
解得
则行星的密度为
2．
【详解】设飞船在椭圆轨道上运动的周期为，椭圆的半长轴则有
由开普勒第三定律可得
解得
则有飞船由A点到B点所需要的时间为
3．（1）；（2）
【详解】（1）探测器减速下落到地面时
由牛顿第二定律
解得
（2）根据
解得
4．（1）减速、减速；（2）；（3）
【详解】（1）根据变轨原理，飞船在轨道Ⅰ的A点减速，做近心运动进入椭圆轨道Ⅱ，飞船在轨道Ⅱ的近月点B点减速，做近心运动进入近月轨道Ⅲ。
（2）根据万有引力与重力的关系
根据万有引力提供向心力
解得飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为
（3）根据万有引力提供向心力
解得飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间为
根据开普勒第三定律
飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间为
5．
【详解】设挖去的两个球体与m之间的万有引力分别为F左、F右，根据题意得
根据万有引力定律得
， ，
又因为
解得
6．（1）；（2）；（3）变小
【详解】（1）设月球的质量为M，飞船的质量为m，根据万有引力提供向心力
根据万有引力等于重力
联立解得
（2）设飞船在轨道Ⅰ绕月球运行一周所需的时间为T，则
可得
（2）飞船在A点处点火后将做近心运动，所需的向心力将小于万有引力，而万有引力不变，所以要减小速度以减小向心力，所以速度减小。
7．（1）；（2）
【详解】（1）根据万有引力定律和向心力公式，可得
地球表面
联立解得
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意可得
月球表面
联立解得
8．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设小球抛出的初速度大小为，则有
解得
（2）设该星球表面的重力加速度为，则有
解得
（3）在星球表面上，由万有引力等于物体的重力，得
解得该星球的质量为
9．（1）；（2）
【详解】（1）由竖直上抛运动规律得
解得
（2）由万有引力提供向心力得
根据
联立可得
10．（1） ；（2），
【详解】（1）恒星运动的轨道大致如图所示
（2）设恒星与点C间的距离为，对行星有
对恒星有
根据牛顿第三定律，与大小相等，联立解得
对恒星，由万有引力提供向心力可得
可得恒星的运行速率为
11．
【详解】设小球抛出点的竖直高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有
由平抛运动规律知，当初速度增大为原来的2倍时，其水平射程也增大到2x，可得
设该星球表面的重力加速度为g，由平抛运动的规律得
根据在星球表面上的物体的重力近似等于万有引力可得
联立以上各式解得
12．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据
得恒星的质量
（2）根据
得恒星的第一宇宙速度
（3）周期
根据
联立以上各式得
13．（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律有
得
（2）由运动学公式可知
得
（3）模型Ⅰ中，设月球绕地球的球心做圆周运动的半径为r，周期为T1，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
得
模型Ⅱ中，月球球心与地球球心相距为r，两者的轨道半径分别为r1和r2，周期相同为T2，对月球有
得
对地球有
得
因
将以上两式代入，可解得
①若选择的是轨道半径的角度，两种模型中月球轨道的半径之比为。
②若选择的是旋转周期的角度，两种模型中月球公转的周期之比为。
综上分析可知，两种模型比较可知，地球和月球的质量分别为和，即，所以从轨道半径角度分析可得半径之比为
从周期角度分析可得月球公转的周期之比为
说明该近似处理是合理的。
14．（1）；（2）
【详解】（1）小球未被挖去时，大球对质点的万有引力为
由体积公式知，大球的质量
被挖去的小球的质量为
则有
它在被挖去前对质点的万有引力为
因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力为
（2）由于挖去的小球的质量
设剩余部分对质点m的万有引力为F＇，则
解得
15．（1）；（2）
【详解】（1）根据万有引力定律可得，实心球对Q的万有引力为
设挖去部分的质量为，根据和可得
则挖去部分对质点Q的万有引力为
质点Q在距球心的Q处时受到球壳A的万有引力大小
（2）若将挖去的部分用原材料补回，可知球壳对质点的吸引力等于实心球对质点的吸引力与挖去部分对质点Q的吸引力之差；由题可知挖去部分的球心与质点重合，对质点的引力为零；则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球对质点的万有引力。
根据题意实心球球体内部距离球心r处的万有引力定律，有
解得
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第七章万有引力与宇宙航行解答题专项训练-高中物理人教版必修第二册
1．我国航天技术飞速发展，设想数年后宇航员登上了某行星表面。宇航员手持小球从高度为h处，沿水平方向以初速度v抛出，测得小球运动的水平距离为L。已知该行星的半径为R，万有引力常量为G。求：
（1）行星表面的重力加速度；
（2）行星的质量和平均密度。
2．如图所示，飞船绕地球做圆周运动的轨道半径为R，周期为T，地球半径为R0，若飞船要返回地面，可在轨道上某点A处将速度降到适当的数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，求飞船由A点到B点所需要的时间。
3．火星探测器在火星表面着陆时，一般使用降落伞和保护罩的方式减速缓冲。“毅力号”火星探测器由于质量太大（设为m），在抛掉降落伞时，速度还很大，为v0，无法保障探测器安全降落，此时距降落点的高度为h，“毅力号”立即启动喷气式着陆器进一步减速，当到达火星表面时，恰好减速为零。已知“毅力号”火星探测器喷气式着陆器着陆时的推力恒定，大小为F，火星的半径为R，引力常量为G，忽略火星的自转及探测器运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：
（1）火星表面的重力加速度大小g；
（2）火星的质量M。
4．已知月球半径为R，月球表面的重力加速度为g0，飞船在绕月球的圆形轨道Ⅰ上运动，轨道半径为r，r=5R，到达轨道Ⅰ的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道Ⅱ的近月点B时再次点火进入近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动。已知引力常量G，求：
（1）第一次点火和第二次点火分别是加速还是减速；
（2）飞船在轨道Ⅰ上的运行速率；
（3）飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间。
5．如图所示，距离质量为M、半径为R、密度均匀的球体表面R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1。当从M中挖去两个半径为的球体时，剩下部分对m的万有引力为F2。求F1与F2的比值。
6．“神舟”七号飞船的成功发射为我国在2010年实现探月计划——“嫦娥工程”获得了宝贵的经验，假设月球半径为R，月球表面的重力加速度为，飞船在距月球表面高度为3R的圆形轨道Ⅰ运行，到达轨道的A点时点火变轨进入椭圆轨道Ⅱ，到达轨道的近月点B再次点火进入月球近月轨道Ⅲ绕月球做圆周运动，万有引力常量为G，求：
（1）飞船在轨道Ⅲ上的运行速率；
（2）飞船在轨道Ⅰ绕月球运行一周所需的时间。
（3）飞船在A点处点火后瞬间与点火前相比，速度是变大还是变小？
7．我国首个月球探测计划“嫦娥工程”将分三个阶段实施，大约用十年左右时间完成，这极大地提高了同学们对月球的关注程度 以下是某同学就有关月球的知识设计的两个问题，请你解答：
（1）已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，月球绕地球运动的周期为T，且把月球绕地球的运动近似看作是匀速圆周运动 试求出月球绕地球运动的轨道半径r
（2）若某位宇航员随登月飞船登陆月球后，在月球表面某处以速度v0竖直向上抛出一个小球，经过时间t小球落回到抛出点。已知月球半径R月，万有引力常量G。试求出月球的质量M月。
8．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离和落地时间，又已知该星球的半径为，引力常量为，若不考虑星球自转的影响，求：（最后结果必须用题中已知物理量表示）
（1）小球抛出的初速度大小；
（2）该星球表面的重力加速度；
（3）该星球的质量。
9．在未来世界，人类以已经掌握了星际旅行，到了KOI 7711.01类地行星。这颗行星比我们的地球仅大30%，它围绕着一颗与太阳类似的恒星运行，这颗恒星距离地球1700光年。科学家对该行星进行了实地考察，得出该行星的半径为R。在星球地面上，现将一个小球以初速度为v0竖直上抛，经过时间t回到抛出点，不计空气阻力，引力常量为G。求
（1）求该行星表面的重力加速度；
（2）求离行星表面h处卫星的周期。
10．太阳系以外存在着许多恒星与行星组成的双星系统，它们运行的原理可以理解为，质量为m0的恒星和质量为m的行星（m0>m），在它们之间的万有引力作用下有规律地运动着。如图所示，我们可认为行星在以某一定点C为中心、半径为a的圆周上做匀速圆周运动（图中没有表示出恒星）。设引力常量为G，恒星和行星的大小可忽略不计。
（1）试在图中粗略画出恒星运动的轨道。
（2）试计算恒星与点C间的距离和恒星的运行速率v。
11．宇航员在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间t，小球落到星球表面上，测得抛出点与落地点之间的距离为L。若抛出时初速度增大为原来的2倍，则抛出点与落地点之间的距离为。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，引力常量为G。求该星球的质量M。
12．2020年4月16日，小明同学受邀参观天文观测站，恰好当日该站收到了最新观测数据。2020年4月7日晚，在距离地球12345光年的恒星周围，发现了行星通过研究发现，行星围绕恒星做匀速圆周运动，且运行n圈所用时间为t，恒星的半径为R，表面的重力加速度为g，引力常量为G。小明同学为科学的发展，贡献了自己的一份力量算出了以下数值：
（1）恒星的质量M；
（2）恒星的第一宇宙速度v；
（3）行星与恒星星球表面的距离L。
请同为高中生的你也计算出以上三个数据。
注：行星与恒星之间距离较小，且恒星的半径极大。
13．2022年我国科学家牵头发现了“雾绕双星”系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙有了更为深刻的认识。一般双星系统由两个星体构成，其中每个星体的直径都远小于两者间的距离，同时距离其他星体足够远，可视为孤立系统。如图所示，已知某双星系统由星体A和B组成，每个星体的质量都是m0，两者相距L，它们正围绕两者连线的中点O做匀速圆周运动，引力常量为G。
（1）求该双星系统中星体的加速度大小a；
（2）求该双星系统中星体的运动周期T；
（3）分析物理量的数量级，是解决物理问题的常用方法。我们熟悉的“地—月系统”，常常认为地球是不动的，月球绕地心做圆周运动。但实际上它们也可视为一双星系统，地球和月球围绕两者连线上的某点做匀速圆周运动。请利用下列数据，选择合适的角度，说明“认为地球是不动的”这种近似处理的合理性。已知地球和月球的质量分别为M=6×1024kg和m=7×1022kg。
14．如图所示为一质量为M的球形物体，密度均匀，半径为R，在距球心为2R处有一质量为m的质点。
（1）若将球体挖去一个半径为的小球（两球心和质点在同一直线上，且挖去的球的球心在原来球心和质点连线之间，两球表面相切），则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
（2）若再挖去一个半径为的小球，则剩余部分对质点的万有引力的大小是多少？
15．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，在球体内部距离球心r处，质点受到的万有引力就等于半径为r的球体对其的引力。如图所示，质量为M、半径为R、球心为O的密度均匀的球体表面R处有一质量为的质点Q，此时实心球O对Q的万有引力为（未知），从球O中挖去一半径为的球体后，剩下部分为一个球壳A，已知引力常量为G，球体体积公式：。求：
（1）质点Q在距球心的Q处时，它受到球壳A的万有引力大小；
（2）质点Q在空腔球心处时，它所受球壳A的万有引力大小。
参考答案：
1．（1）；（2）；
【详解】（1）依题意，小球做类平抛运动，有
联立，解得
（2）根据
解得
则行星的密度为
2．
【详解】设飞船在椭圆轨道上运动的周期为，椭圆的半长轴则有
由开普勒第三定律可得
解得
则有飞船由A点到B点所需要的时间为
3．（1）；（2）
【详解】（1）探测器减速下落到地面时
由牛顿第二定律
解得
（2）根据
解得
4．（1）减速、减速；（2）；（3）
【详解】（1）根据变轨原理，飞船在轨道Ⅰ的A点减速，做近心运动进入椭圆轨道Ⅱ，飞船在轨道Ⅱ的近月点B点减速，做近心运动进入近月轨道Ⅲ。
（2）根据万有引力与重力的关系
根据万有引力提供向心力
解得飞船在轨道Ⅰ上的运行速率为
（3）根据万有引力提供向心力
解得飞船在轨道Ⅲ上绕月运行一周所需的时间为
根据开普勒第三定律
飞船在轨道Ⅱ上绕月运行一周所需的时间为
5．
【详解】设挖去的两个球体与m之间的万有引力分别为F左、F右，根据题意得
根据万有引力定律得
， ，
又因为
解得
6．（1）；（2）；（3）变小
【详解】（1）设月球的质量为M，飞船的质量为m，根据万有引力提供向心力
根据万有引力等于重力
联立解得
（2）设飞船在轨道Ⅰ绕月球运行一周所需的时间为T，则
可得
（2）飞船在A点处点火后将做近心运动，所需的向心力将小于万有引力，而万有引力不变，所以要减小速度以减小向心力，所以速度减小。
7．（1）；（2）
【详解】（1）根据万有引力定律和向心力公式，可得
地球表面
联立解得
（2）设月球表面处的重力加速度为g月，根据题意可得
月球表面
联立解得
8．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设小球抛出的初速度大小为，则有
解得
（2）设该星球表面的重力加速度为，则有
解得
（3）在星球表面上，由万有引力等于物体的重力，得
解得该星球的质量为
9．（1）；（2）
【详解】（1）由竖直上抛运动规律得
解得
（2）由万有引力提供向心力得
根据
联立可得
10．（1） ；（2），
【详解】（1）恒星运动的轨道大致如图所示
（2）设恒星与点C间的距离为，对行星有
对恒星有
根据牛顿第三定律，与大小相等，联立解得
对恒星，由万有引力提供向心力可得
可得恒星的运行速率为
11．
【详解】设小球抛出点的竖直高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有
由平抛运动规律知，当初速度增大为原来的2倍时，其水平射程也增大到2x，可得
设该星球表面的重力加速度为g，由平抛运动的规律得
根据在星球表面上的物体的重力近似等于万有引力可得
联立以上各式解得
12．（1）；（2）；（3）
【详解】（1）根据
得恒星的质量
（2）根据
得恒星的第一宇宙速度
（3）周期
根据
联立以上各式得
13．（1）；（2）；（3）见解析
【详解】（1）根据万有引力定律和牛顿第二定律有
得
（2）由运动学公式可知
得
（3）模型Ⅰ中，设月球绕地球的球心做圆周运动的半径为r，周期为T1，根据万有引力定律和牛顿第二定律有
得
模型Ⅱ中，月球球心与地球球心相距为r，两者的轨道半径分别为r1和r2，周期相同为T2，对月球有
得
对地球有
得
因
将以上两式代入，可解得
①若选择的是轨道半径的角度，两种模型中月球轨道的半径之比为。
②若选择的是旋转周期的角度，两种模型中月球公转的周期之比为。
综上分析可知，两种模型比较可知，地球和月球的质量分别为和，即，所以从轨道半径角度分析可得半径之比为
从周期角度分析可得月球公转的周期之比为
说明该近似处理是合理的。
14．（1）；（2）
【详解】（1）小球未被挖去时，大球对质点的万有引力为
由体积公式知，大球的质量
被挖去的小球的质量为
则有
它在被挖去前对质点的万有引力为
因此，小球被挖去后，剩余部分对质点的万有引力为
（2）由于挖去的小球的质量
设剩余部分对质点m的万有引力为F＇，则
解得
15．（1）；（2）
【详解】（1）根据万有引力定律可得，实心球对Q的万有引力为
设挖去部分的质量为，根据和可得
则挖去部分对质点Q的万有引力为
质点Q在距球心的Q处时受到球壳A的万有引力大小
（2）若将挖去的部分用原材料补回，可知球壳对质点的吸引力等于实心球对质点的吸引力与挖去部分对质点Q的吸引力之差；由题可知挖去部分的球心与质点重合，对质点的引力为零；则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球对质点的万有引力。
根据题意实心球球体内部距离球心r处的万有引力定律，有
解得
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