第五章 《生活中的轴对称》复习试题 2023--2024学年北师大版七年级数学下册（含答案）

北师大版数学七年级下
第五单元《生活中的轴对称》复习试题
一．选择题（共10小题）
1．下列图形中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，Rt△ABC的斜边AB的垂直平分线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为（　　）
A．1 B．2 C．4 D．5
3．如图，直线a∥b，点A在直线a上，点B在直线b上，AC＝BC，∠C＝120°，∠1＝44°，则∠2的度数为（　　）
A．64° B．74° C．56° D．66°
4．如图所示的△ABC，进行以下操作：①以A，B为圆心，大于AB为半径作圆弧，相交点D，E；②以A，C为圆心，大于AC为半径作圆弧，相交于点F，G．两直线DE，FG相交于△ABC外一点P，且分别交BC点M，N．若∠MAN＝50°，则∠MPN等于（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D和点E分别在BC和AC上，AD＝AE，则下列结论一定正确的是（　　）
A．∠1+2∠2＝90° B．∠1＝2∠2
C．2∠1+∠2＝90° D．∠1+∠2＝45°
6．如图，已知等边△ABC的边长为4，P、Q、R分别为边AB、BC、AC上的动点，则PR+QR的最小值是（　　）
A．2 B．2 C．2 D．3
7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝BC＝2，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是（　　）
A．2 B． C．1 D．
8．若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48°，则它的顶角的度数为（　　）
A．42° B．42°或 138°
C．48°或96° D．48°
9．如图，AM是△ABC的角平分线，以M为圆心适当长为半径画弧交直线AB于D，E两点，分别以D，E为圆心以大于为半径画弧，两弧相交于点N（M，N位于直线AB的两侧），作直线MN交AB于点F，若AC＝5，MF＝2，则△AMC的面积为（　　）
A．3 B．7 C．5 D．10
10．如图，点D是△ABC边BC上一点，将△ABD沿AD折叠，使点B落在AC上的点B′处，连接BB′，B'D∠ABC的平分线交AD于点E，若B′D∥BE，那么下列结论中：①AD平分∠BAC；②AD是BB'的垂直平分线，③B'D＝B'C；④∠ABC＝3∠C．其中正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
A．100° B．95° C．90° D．50°
二．填空题（共8小题）
11．如图在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线交于点P，连结BP，CP，若∠A＝50°，则∠BPC＝　 　
12．“线段、角、三角形、圆”这四个图形中，一定是轴对称图形的有 　 　个．
13．如图，在正方形方格中，阴影部分是4张小正方形纸片所形成的图案，只移动其中一张纸片，使得到的新图案成为一个轴对称图形的移法有 　 　种．
14．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D边AB上一点，将△BCD沿直线CD翻折至△BCD所在平面内得到△CDE，若∠ACE＝62°，则∠ACD＝　 　．
15．如图，分别以△ABC的边AB，AC所在直线为对称轴作△ABC的对称图形△ABD和△ACE，∠BAC＝150°，线段BD与CE相交于点O，连接BE、ED、DC、OA．有如下结论：①∠EAD＝90°；②∠BOE＝60°；③OA平分∠BOC；④BP＝EQ．其中正确的是 　 　．
16．如图，∠AOB＝45°，点M、N分别在射线OA、OB上，MN＝8，△OMN的面积为12，P是直线MN上的动点，点P关于OA对称的点为P1，点P关于OB对称的点为P2，当点P在直线NM上运动时，△OP1P2的面积最小值为 　 　．
17．如图，等边△ABC 的边长为4cm，P、Q两点分别从A、B两点同时出发，点P以8cm/s的速度按顺时针方向在等边△ABC的边上运动，点Q以2cm/s的速度按逆时针方向在等边△ABC的边上运动，则P、Q两点第一次在等边△ABC 顶点处相遇的时间t1＝　 　秒，第四次在等边△ABC顶点处相遇的时间t4＝　 　秒．
18．如图，在△ABC中，AB＝AC＝24厘米，BC＝16厘米，点D为AB的中点，点P在线段BC上以4厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．当点Q的运动速度为 　 　厘米/秒时，能够在某一时刻使△BPD与△CQP全等．
三．解答题（共10小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在小正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），并写出A′、B′、C′的坐标；
（2）在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D，使得∠A′DB′＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）
20．如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．
21．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　 　．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
23．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC，点M，N分别是边AC，BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC，点C的对应点为点D．
（1）若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠1与∠ACB的数量关系是 　 　；
（2）若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB＝40°，求∠1+∠2的度数；
（3）若如图3所示，点D在△ABC外部，直接写出∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系．
24．如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长；
（2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB．
25．若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题：
（1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数；
（3）如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上）使点C落在线段PE上的点C'处，线段PB'落在∠EPF内部．若∠1与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数．
26．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；
（3）当∠a＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由．
27．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
28．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝108°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝54°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）请判断AE是否平分∠CAF，并说明理由；
（3）若AC+CD＝10，AB＝6，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．C．
2．A．
3．B．
4．B．
5．B．
6．C．
7．B．
8．B．
9．C．
10．B．
二．填空题（共8小题）
11.100°
12．3．
13．8．
14．14°或76°．
15．①②③．
16．．
17．2，20．
18．4或6
三．解答题（共10小题）
19．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（3，2），C（1，4）均在小正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴的对称图形△A′B′C′（点A、B、C的对应点分别为A′、B′、C′），并写出A′、B′、C′的坐标；
（2）在第三象限内的格点上找点D，连接A′D，B′D，使得∠A′DB′＝45°．（保留作图痕迹，不写作法）
解：（1）根据A（0，1），B（3，2），C（1，4），得到关于x轴对称的△A′B′C′的三个顶点坐标分别为A′（0，﹣1），B′（3，﹣2），C′（1，﹣4），画图如下：
则△A′B′C′即为所求．
（2）根据题意，画图如下：
则点D即为所求．
20．如图，AB＝AE，AB∥DE，∠DAB＝70°，∠E＝40°．
（1）求∠DAE的度数；
（2）若∠B＝30°，求证：AD＝BC．
解（1）∵AB∥DE，∠E＝40°，
∴∠EAB＝∠E＝40°，
∵∠DAB＝70°，
∴∠DAE＝30°；
（2）证明：在△ADE与△BCA中，
，
∴△ADE≌△BCA（ASA），
∴AD＝BC．
21．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕EF分别与AB、DC交于点E和点F．
（1）证明：△ADF≌△AB′E；
（2）若AD＝12，DC＝18，求△AEF的面积．
解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D＝∠C＝∠B′＝90°，AD＝CB＝AB′，
∵∠DAF+∠EAF＝90°，∠B′AE+∠EAF＝90°，
∴∠DAF＝∠B′AE，
在△ADF和△AB′E中，
，
∴△ADF≌△AB′E（ASA）．
（2）由折叠性质得FA＝FC，
设FA＝FC＝x，则DF＝DC﹣FC＝18﹣x，
在Rt△ADF中，AD2+DF2＝AF2，
∴122+（18﹣x）2＝x2．
解得x＝13．
∵△ADF≌△AB′E（已证），
∴AE＝AF＝13，
∴S△AEF＝AE AD＝×12×13＝78．
22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．
（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是　50°　．
（2）连接MB，若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．
①求BC的长；
②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由．
解：（1）若∠B＝70°，则∠NMA的度数是 50°，
故答案为：50°；
（2）如图：
①∵MN垂直平分AB．
∴MB＝MA，
又∵△MBC的周长是14cm，
∴AC+BC＝14cm，
∴BC＝6cm．
②当点P与点M重合时，PB+CP的值最小，△BPM周长的最小值是8+6＝14cm，
23．数学小组的同学发现，折纸中蕴含着许多数学问题．现有一张三角形纸片ABC，点M，N分别是边AC，BC上的点，若沿直线MN折叠△ABC，点C的对应点为点D．
（1）若如图1所示，点D恰好在BC边上，则∠1与∠ACB的数量关系是 　∠1＝2∠ACB　；
（2）若如图2所示，点D在△ABC内部，∠ACB＝40°，求∠1+∠2的度数；
（3）若如图3所示，点D在△ABC外部，直接写出∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系．
解：（1）因为点D恰好在BC上，
所以C，D，N三点在一条直线上．
所以∠1＝∠MDN+∠ACB．
由折叠可知，
MD＝MC，
所以∠MDN＝∠ACB，
所以∠1＝2∠ACB．
故答案为：∠1＝2∠ACB．
（2）连接C，D，
由折叠可知，
MD＝MC，
所以∠MDC＝∠ACD．
又因为∠1＝∠MDC+∠ACD，
所以∠1＝2∠ACD．
同理可得，
∠2＝2∠BCD，
又因为∠ACD+∠BCD＝∠ACB，
所以∠1+∠2＝2（∠ACD+∠BCD）＝2∠ACB．
因为∠ACB＝40°，
所以∠1+∠2＝2×40°＝80°．
（3）∠2﹣∠1＝2∠ACB．
连接C，D，
由折叠可知，
MD＝MC，
所以∠MDC＝∠MCD．
又因为∠1＝∠MDC+∠MCD，
所以∠1＝2∠MCD．
同理可得，
∠2＝2∠NCD．
又因为∠NCD﹣∠MCD＝∠ACB，
所以∠2﹣∠1＝2（∠NCD﹣∠MCD）＝2∠ACB．
故∠1，∠2和∠ACB之间的数量关系为：∠2﹣∠1＝2∠ACB．
24．如图，已知点P在∠AOB的内部，且点P与点M关于OA对称，PM交OA于点Q，点P与点N关于OB对称，PN交OB于点R，MN分别交OA，OB于点E，F．
（1）连接PE，PF，若MN＝15，求△PEF的周长；
（2）若PM＝PN，求证：OP平分∠AOB．
（1）解：∵点P与点M关于OA对称，
∴ME＝PE．
同理：FN＝PF．
∴△PEF的周长＝EP+FP+EF＝ME+EF+FN＝MN＝15；
（2）证明：∵PN＝PM，Q、R为MP，PN的中点，
∴，，
∴PQ＝PR．
又∵点P与点M关于OA对称，点P与点N关于OB对称，
∴PQ⊥QA，PR⊥OB，
∴OP平分∠AOB．
25．若∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，且|∠α﹣∠β|＝60°，则称∠α和∠β互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题：
（1）若∠α和∠β互为“伙伴角”，当∠α＝130°时，求∠β的度数；
（2）如图1，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B'，若∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数；
（3）如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上）使点C落在线段PE上的点C'处，线段PB'落在∠EPF内部．若∠1与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数．
解：（1）∵∠α和∠β互为“伙伴角”，
∴|∠α﹣∠β|＝60°，
∴∠β＝∠α﹣60°或∠β＝∠α+60°，
∵∠α＝130°，
∴∠β＝70°或190°．
∵∠α和∠β均为大于0°小于180°的角，
∴∠β＝70°．
（2）由翻折可得，∠1＝∠3，
∵∠1与∠2互为“伙伴角”，
∴|∠1﹣∠2|＝60°，
∴∠2＝∠1﹣60°或∠2＝∠1+60°，
∵∠1+∠2+∠3＝180°，
∴2∠3+∠3﹣60°＝180°或2∠3+∠3+60°＝180°，
∴∠3＝80°或40°．
（3）由题意得，∠CPF＝∠EPF＝∠1+∠B′PF＝∠1+∠4﹣∠CPF，
∴2∠CPF＝∠1+∠4．
由（2）可知，∠1＝∠3＝40°或80°，∠4＝∠1+60°或∠1﹣60°，
∴∠4＝100°或20°，
∴∠1+∠4＝140°或100°，
∴∠CPF＝70°或50°，
∴∠BPF＝180°﹣∠CPF＝110°或130°．
26．如图，已知点O是∠APB内的一点，M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，连接MN，与PA、PB分别相交于点E、F，已知MN＝6cm．
（1）求△OEF的周长；
（2）连接PM、PN，若∠APB＝a，求∠MPN（用含a的代数式表示）；
（3）当∠a＝30°，判定△PMN的形状，并说明理由．
解：（1）∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，
∴EM＝EO，FN＝FO，
∴△OEF的周长＝OE+OF+EF＝ME+EF+FN＝MN＝6cm；
（2）连接OP，
∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，
∴∠MPA＝∠OPA，∠NPB＝∠OPB，
∴∠MPN＝2∠APB＝2a；
（3）∵∠a＝30°，
∴∠MPN＝60°，
∵M，N分别是点O关于PA、PB的对称点，
∴PM＝PO，PN＝PO，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等边三角形．
27．在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC，交AC于点D，BD＝AD．
（1）如图1，求∠BAC的度数；
（2）如图2，E是AB的中点，连接ED并延长，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：AF＝AB+BC．
（1）解：设∠ABD＝x°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC＝x°，
∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC＝2x°，
又∵BD＝AD，
∴∠A＝x°，
又∵∠BDC＝∠A+∠ABD，即2x°＝∠A+x°，
∴∠BDC＝∠C＝2x°，
∴BD＝BC，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴x+2x+2x＝180，
解得x＝36，
∴∠A＝36°，
∴∠BAC的度数为36°；
（2）∵E是AB的中点，BD＝AD，
∴EF是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠FBA＝∠FAB＝72°，
∴∠AFB＝∠FAC＝36°，
∴CA＝CF，
∴AB＝AC＝CF，
∴AF＝BF＝BC+CF＝AB+BC．
28．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝108°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝54°．
（1）求∠ACE的度数；
（2）请判断AE是否平分∠CAF，并说明理由；
（3）若AC+CD＝10，AB＝6，且S△ACD＝15，求△ABE的面积．
解：（1）∵∠ACB＝108°，
∴∠ACD＝180°﹣108°＝72°，
∵EH⊥BD，
∴∠CHE＝90°，
∵∠CEH＝54°，
∴∠ECH＝90°﹣54°＝36°，
∴∠ACE＝72°﹣36°＝36°；
（2）AE是否平分∠CAF，理由：
过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，
∵BE平分∠ABC，
∴EM＝EH，
∵∠ACE＝∠ECH＝40°，
∴CE平分∠ACD，
∴EN＝EH，
∴EM＝EN，
∴AE平分∠CAF；
（3）∵AC+CD＝10，S△ACD＝15，EM＝EN＝EH，
∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC EN+CD EH＝（AC+CD） EM＝15，
即，
解得EM＝3，
∵AB＝6，
∴S△ABE＝AB EM＝×6×3＝9．