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考向 考查内容 考查热度
相反数、绝对值、倒数 求一个数的相反数、绝对值、倒数 ★★★★
数轴 数轴的简单应用、数轴中的数形结合思想 ★★★
近似数和有效数字 四舍五入法、与科学记数法结合 ★★
实数的混合运算 非0实数的0次幂等于1，运算顺序，运算律 ★★★★
1．中考中对相反数的考查属于高频考点，解题的关键是掌握相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 2．对绝对值的考查属于高频考点，熟记绝对值的概念是解答的关键：数轴上一个数对应点到原点的距离，叫做这个数的绝对值．任何数的绝对值都是非负数． 3．中考中对倒数的考查属于中频考点，牢记倒数的概念是解答的关键：乘积为1的两个数互为倒数.具体求值的时候，符号不变，改变分子分母的位置即得答案．
【典例1】 （2024 郸城县一模）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数计算即可．
【解答】解：的相反数是，
故选：C．
【典例2】 （2024 莲湖区校级一模）如图，数a的绝对值是（ ）
A．﹣2 B． C． D．2
【答案】D
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：绝对值的定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，
由数轴可知，a表示的数是﹣2，到原点的距离是2，所以数a的绝对值是2，
故选：D．
【典例3】 （2023秋 江阴市期末）有理数的绝对值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据绝对值的定义即可得出答案．
【解答】解：||．
故选：A．
【典例4】 （2024 香洲区校级模拟）若一个数的倒数是，则这个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先把带分数化成假分数，再根据倒数的计算方法即可得出答案．
【解答】解：∵，而（）×（）＝1，
∴的倒数是，
故选：B．
【典例5】 （2024 常州模拟）一个数的相反数的倒数是，则这个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据相反数和倒数的定义即可求得答案．
【解答】解：∵一个数的相反数的倒数是3，
∴这个数是，
故选：C．
（1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度（重点） （2）任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 （3）数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数．
【典例1】 （2024 廉江市一模）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
A．a＜﹣3 B．|a|＜b C．a+b＞0 D．|ab|＞1
【答案】D
【分析】观察数轴得到﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，进一步判断出|a|＞|b|，a+b＜0，|ab|＞1，从而得出结论．
【解答】解：由数轴得，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2，
∴|a|＞|b|，a+b＜0，|ab|＞1，
故选：D．
【典例2】 （2024 雁塔区校级四模）如图，数轴上点A和点B分别表示数a和b，则下列式子不正确的是（ ）
A．b＞0 B．a＜﹣1 C．a﹣b＞0 D．a+b＜0
【答案】C
【分析】观察数轴可得，a＜﹣1＜0＜b＜1，a﹣b＜0，a+b＜0．
【解答】解：观察数轴可得，a＜﹣1＜0＜b＜1，故A、B不符合题意，
a﹣b＜0，故C符合题意，
a+b＜0，故D不符合题意，
故选：C．
【典例3】 （2023 晋安区校级模拟）如图，数轴的单位长度是1，若点A表示的数是﹣1，则点B表示的数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案．
【解答】解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是﹣1，
∴点B表示的数是：﹣1+5＝4，故D正确．
故选：D．
【典例4】 （2023 昆都仑区二模）如图，数轴上有三个点A、B、C，点A、B表示的数互为相反数，若数轴的单位长度为1，则图中点C对应的数是（ ）
A．﹣2 B．0 C．4 D．1
【答案】D
【分析】数轴中的数形结合思想题型，因为点A、C表示的数互为相反数．所以找出点A、C的中点，此题就好做了．
【解答】解：因为A、B表示的数互为相反数，所以点A、B的中点是原点．原点向右第1个点是C，所以点C表示的数是1．
故选：D．
【典例5】 （2023 东城区一模）有理数a在数轴上的对应点的位置如图所示，若有理数b满足b＜﹣a，则b的值可能是（ ）
A．2 B．﹣2 C．0 D．﹣3
【答案】D
【分析】先判断出表示﹣a的点的位置，再根据b＜﹣a判断出表示b的大致位置判断选项即可．
【解答】解：∵表示数a的点在数轴上位于2和3之间，
∴表示数﹣a的点在数轴上位于﹣2和﹣3之间，
又∵b＜﹣a，
∴表示数b的点位于表示数﹣a的点的左侧，
所以b的值可能是3．
故选：D．
（1）近似数精确到哪一位，只需看这个数的最末一位在原数的哪一位． （2）当四舍五入到十位或十位以上时，应先用科学记数法表示这个数，再按要求取近似数．
【典例1】 （2023 长沙县二模）湘雅路过江通道工程是长沙市区“十八横十六纵”三十四条主干路之一，位于三一大道与营盘路之间，总投资53.278亿元．其中数据53.278亿元精确到哪位？（ ）
A．万位 B．十万位 C．百万位 D．亿位
【答案】B
【分析】根据近似数的精确度求解．
【解答】解：数据53.278亿精确到的位数是十万位．
故选：B．
【典例2】 （2023 金凤区校级一模）我国古代数学家祖冲之推算出π的近似值为，它与π的误差小于0.0000003．将0.0000003用科学记数法可以表示为（ ）
A．0.3×10﹣6 B．3×10﹣6 C．3×10﹣7 D．3×107
【答案】C
【分析】用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n（1≤|a|＜10，n是正整数），由此即可得到答案．
【解答】解：0.0000003＝3×10﹣7．
故选：C．
【典例3】 （2023 西陵区模拟）宜昌、荆州、荆门在地理位置上构成一个“黄金三角”，每条边长约100公里，形成了宜荆荆都市圈．2022年，宜荆荆经济总量达1071226000000元，成为湖北第二个经济总量跨越万亿的都市圈．请将1071226000000精确到亿位，并用科学记数法表示（ ）
A．10712×108 B．1.07123×1012
C．1.0712×108 D．1.0712×1012
【答案】D
【分析】根据科学记数法将1071226000000写成1.071226×1000000000000进而1.071226×1012，再取近似值得到1.0712×1012即可．
【解答】解：1071226000000＝1.071226×1000000000000＝1.071226×1012≈1.0712×1012，
故选：D．
【典例4】 （2022 路南区二模）用四舍五入法对0.06045取近似值，错误的是（ ）
A．0.1（精确到0.1）
B．0.06（精确到百分位）
C．0.061（精确到千分位）
D．0.0605（精确到0.0001）
【答案】C
【分析】取近似数的时候，即精确到哪一位，只需对下一位的数字四舍五入．即可得出结论．
【解答】解：A．0.06045精确到0.1为0.1，此选项正确，不符合题意；
B．0.06045精确到百分位为0.06，此选项正确，不符合题意；
C．0.06045精确到千分位为0.060，此选项错误，符合题意；
D．0.06045精确到0.0001为0.0605，此选项正确，不符合题意；
故选：C．
【典例5】 （2023 盐湖区校级三模）2014年某市初中毕业生约为5.94万人，把5.94万用科学记数法表示且保留两个有效数字为（ ）
A．6.0×104 B．5.9×104 C．59×103 D．6.0万
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于59400有5位，所以可以确定n＝5﹣1＝4．
有效数字的计算方法是：从左边第一个不是0的数字起，后面所有的数字都是有效数字．
用科学记数法表示的数的有效数字只与前面的a有关，与10的多少次方无关．
【解答】解：5.94万用科学记数法表示且保留两个有效数字为5.9×104，
故选：B．
（1）有理数的运算律在实数范围内都适用，其中常用的运算律有加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律． （2）在实数范围内进行运算的顺序：先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减．运算中有括号的，先算括号内的，同一级运算要从左到右依次进行．
【典例1】 （2024 霍邱县模拟）计算：（）﹣1﹣|﹣4|×cos60°+（﹣2）．
【答案】0．
【分析】首先计算负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：（）﹣1﹣|﹣4|×cos60°+（﹣2）
＝4﹣42
＝4﹣2﹣2
＝0．
【典例2】 （2024 东海县一模）计算：．
【答案】1．
【分析】首先计算零指数幂、特殊角的三角函数值、开平方，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝41﹣3
1．
【典例3】 （2024 巧家县模拟）计算：．
【答案】．
【分析】首先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
1×3﹣1+4+2
3﹣1+4
＝2．
【典例4】 （2024 昆明模拟）计算：．
【答案】2．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝1+1+2﹣2﹣2
＝1+1+2﹣2
＝2．
【典例5】 （2024 金华一模）计算：．
【答案】2．
【分析】直接利用绝对值的性质以及特殊角的三角函数值、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：原式＝2+21＝2+2﹣1﹣1＝2．
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一、选择题（共12小题）
1．（2024 宽城区校级一模）在实数，0，，1.8中，最小的是
A． B．0 C． D．1.8
2．（2024 巴东县模拟）下列无理数中，大小在0和1之间的是
A． B． C． D．
3．（2024 织金县一模）的相反数是
A． B． C． D．551
4．（2024 河南一模）的绝对值是
A． B． C． D．
5．（2024 肥东县校级模拟）计算的结果是
A． B． C． D．
6．（2024 碑林区校级一模）下列运算中，正确的是
A． B． C． D．
7．（2024 涧西区一模）2024年春节假期（正月初一至正月初八）期间，洛阳地铁线网总客运量307.72万人次，日均客运量38.46万人次，较去年春节期间增长，最大单日客运量发生于正月初四万人次），当日客运强度为1.09万人次公里，位居全国第一．数据“307.72万”用科学记数法表示为
A． B． C． D．
8．（2024 孝感一模）下列各数中最小的是
A． B． C． D．2
9．（2024 松山区一模）下列说法正确的是
A．如果，则有
B．若干个有理数相乘，如果负因数的个数是奇数，则乘积一定是负数
C．一个有理数的绝对值是它本身，则这个数是正数
D．若，则、互为相反数
10．（2024 黄山一模）下列计算正确的是
A． B． C． D．
11．（2024 莱芜区模拟）有理数、在数轴上的位置如图所示，下列选项正确的是
A． B． C． D．
12．（2024 新北区一模）实数、、在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
13．（2024 南岗区校级一模）计算： ．
14．（2024 蚌埠模拟）计算： ．
15．（2024 韩城市模拟）在实数，，0，，中，最大的无理数是 ．
16．（2024 宝鸡一模）计算： ．
17．（2024 建邺区校级模拟）计算的结果是 ．
18．（2024 珠海校级一模）计算： ．
19．（2024 大同模拟）计算：的结果为 ．
20．（2024 两江新区校级模拟）计算： ．
21．（2024 平凉一模）实数，在数轴上的位置如图所示，化简 ．
22．（2024 建邺区校级模拟）计算的结果是 ．
三、解答题（共8小题）
23．（2024 黄山一模）计算：．
24．（2024 永州一模）计算：．
25．（2024 子洲县校级二模）计算：．
26．（2024 商州区校级模拟）计算：．
27．（2024 东兴区一模）计算：．
28．（2024 合肥一模）观察以下等式：
第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
按照以上规律，解决下列问题：
（1）写出第6个等式： ；
（2）写出你猜想的第个等式： （用含的等式表示），并证明．
29．（2024 汶上县二模）计算：．
30．（2024 汝阳县一模）计算：
（1）；
（2）．
一、选择题（共12小题）
1．【答案】
【解答】解：，
最小的数为．
故选：．
2．【答案】
【解答】解：，
，
则符合题意；
，
，
则不符合题意；
，
，
则不符合题意；
是分数，不是无理数，
则不符合题意；
故选：．
3．【答案】
【解答】解：的相反数是551，
故选：．
4．【解答】解：，
，
．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：，故计算错误，不符合题意；
，故计算错误，不符合题意；
，故计算正确，符合题意；
，故计算错误，不符合题意．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：307.72万．
故选：．
8．【解答】解：，
则最小的是：．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：、当，时，，不符合题意，故不符合题意．
、若有一个数为零时，此时乘积为0，故不符合题意．
、一个有理数的绝对值是它本身，则这个是非负数，故不符合题意．
、若，则、互为相反数，故符合题意．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：．，故本选项不符合题意；
．，故本选项符合题意；
．，故本选项不符合题意；
．，故本选项不符合题意．
故选：．
11．【解答】解：由数轴可得，，
则，，，，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：，，，故符合题意；
，，故不符合题意；
，，，故不符合题意；
，，，故不符合题意，
故选：．
二、填空题（共10小题）
13．【答案】．
【解答】解：
；
故答案为：．
14．【解答】解：原式，
故答案为：7．
15．【答案】．
【解答】解：在实数，，0，，中，无理数有：，，，
，
最大的无理数是，
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：原式
，
故答案为：．
17．【答案】．
【解答】解：原式
．
故答案为：．
18．【答案】．
【解答】解：
．
故答案为：．
19．【答案】．
【解答】解：
，
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：
，
故答案为：．
21．【答案】．
【解答】解：由题可知，，
，，
原式，
故答案为：．
22．【答案】1．
【解答】解：，
故答案为：1
三、解答题（共8小题）
23．【答案】．
【解答】解：原式
．
24．【答案】4．
【解答】解：
．
25．【答案】．
【解答】解：原式
．
26．【答案】．
【解答】解：
．
27．【答案】2024．
【解答】解：
．
28．【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）第1个等式：，
第2个等式：，
第3个等式：，
第4个等式：，
第5个等式：．
第六个等式为：，
故答案为：；
（2）第个等式为：．
故答案为：．
29．【答案】2．
【解答】解：
．
30．【答案】（1）
（2）．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
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