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整式的化简与求值 整式乘法，合并同类项，乘法公式 ★★★
分式的化简与求值 通分，约分，分式有意义 ★★★★
二次根式的化简与求值 二次根式的化简，分母有理化 ★★★
整式化简一般会用到的运算法则： （1）乘法公式：平方差公式（a+b）（a－b）=a2－b2，完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2； （2）单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加； （3）多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加； （4）合并同类项时，只把系数相加减，字母及字母的指数不变．
【典例1】 （2024 鄞州区模拟）先化简，后求值：，其中是方程的根．
【答案】，10．
【分析】先利用分解因式法解一元二次方程，求出，从而得到的值，然后利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再把的值代入化简后的式子进行计算即可．
【解答】解：，
，
或，
，，
是方程的根，
或2，
原式
，
当时，
原式
；
当时，
原式
．
【典例2】 （2024 南关区校级一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式．
【分析】先利用平方差公式，单项式乘多项式的法则进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答．
【解答】解：
，
当时，原式．
【典例3】 （2024 南宁一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式化简，再利用整式的混合运算法则计算，把已知数据代入得出答案．
【解答】解：原式
，
当，时，
原式
．
【典例4】 （2024 朝阳区模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】，原式．
【分析】利用完全平方公式进行计算，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
【解答】解：
，
当时，原式．
【典例5】 （2024 长沙一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，13．
【分析】先用完全平方公式和平方差公式对整式进行化简，再将数值代入，即可求出结果．
【解答】解：
．
当，时，
原式．
分式化简求值的一般步骤： （1）有括号的先算括号内的，如括号内是异分母分式的加减运算，应先通分化为同分母分式，再将分子相加减； （2）将除法转化为乘法运算； （3）分式的分子、分母能因式分解的先因式分解，然后约分化简； （4）将所给数值带入求值时，要注意使原分式及化简过程中出现的分式均有意义．
【典例1】 （2024 阿城区一模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，．
【分析】先对小括号里面的进行通分相加；再将运算变成乘法进行计算；最后根据零指数幂和特殊角的三角函数值计算出的值，代入式子求出结果．
【解答】解：原式
．
，
原式．
【典例2】 （2024 梁山县校级一模）先化简再求值，其中a的值从不等式的解集中选取一个合适的整数．
【答案】，a＝1时，原式为1．
【分析】先对括号里进行通分，去括号后对分子分母进行分解因式后约分即可化简，估算出的范围，选取合适的数时要注意保证分式的化简有意义．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝
＝，
∵，，
∴﹣1＜a≤3，
由分式的意义可知a≠2且a≠0且a≠4，所以取a＝1，
∴原式＝．
【典例3】 （2024 交城县一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】．
【分析】先将原式化简，为，再将代入即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
【典例4】 （2024 中山市校级一模）先化简，再求值，其中．
【答案】原式，当时，原式．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
【典例5】 （2024 松山区一模）先化简，再求值：，其中．
【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将的值代入化简后的式子即可解答本题．
【解答】解：
，
当时，原式．
运用进行化简，当a的符号无法判断时，就需要进行分类讨论，分类时要做到不重不漏．
【典例1】 （2022 泗洪县一模）已知：，，求的值．
【答案】．
【分析】首先把原式化为，把，代入原式计算即可．
【解答】解：原式，
当，时，
原式
．
【典例2】 （2024 杭州模拟）已知，，求的值．
【答案】．
【分析】先计算得到，然后把代入所求的代数式中约分即可．
【解答】解：，
，
，
，
原式．
【典例3】 （2024 会东县模拟）爱动脑筋的小明在做二次根式的化简时，发现一些二次根式的被开方数是二次三项式，而且这些二次三项式正好是完全平方式的结构，于是就可以利用二次根式的性质：来进一步化简．
比如：，当即时，原式；当即时，原式．
（1）仿照上面的例子，请你尝试化简．
（2）判断甲、乙两人在解决问题：“若，求的值”时谁的答案正确，并说明理由．
甲的答案：原式；
乙的答案：原式．
（3）化简并求值：，其中．
【答案】（1）当即时，原式，
当即时，原式．
（2）乙的答案正确．
（3）．
【分析】（1）仿照上面的例子，分类讨论即可化简；
（2）根据，得，即可判断出答案；
（3）根据，得，，即可化简求值．
【解答】解：（1）
，
当即时，原式，
当即时，原式．
（2），
，
原式．
乙的答案正确．
（3），
，，
．
【典例4】 （2023秋 双牌县期末）已知，求的值．
【答案】14．
【分析】根据，可以计算出和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可．
【解答】解：，
，，
．
【典例5】 （2023秋 邯郸期末）已知，．
（1）求的值；
（2）求．
【答案】（1）；
（2）7．
【分析】先根据分母有理化求出，，即可求出，，即可得出答案．
【解答】解：，
，
（1）；
（2），
．一、选择题（共10小题）
1．（2023 新华区校级一模）如果，那么代数式的值为
A． B． C．12 D．8
2．（2024 武汉模拟）当时，式子的值是
A． B．2 C．1 D．
3．（2024 阳西县一模）若，则代数式的值是
A． B．2 C． D．4
4．（2024 市中区模拟）若，则的值是
A． B．2 C． D．
5．（2024 峰峰矿区校级二模）若为整数，则使分式的值为整数的的个数有
A．2个 B．3个 C．4个 D．无数个
6．（2024 邱县一模）已知，，则的值为
A． B． C． D．3
7．（2024 裕华区一模）用替换分式中的后，经过化简结果是
A． B． C． D．
8．（2024 兰山区校级模拟）若，则的值是
A． B．3 C． D．
9．（2022 峄城区校级模拟）已知，，则的值为
A．5 B．65 C．95 D．135
10．（2024 莱芜区校级模拟）已知，则的值为
A．6 B． C．3 D．9
二、填空题（共10小题）
11．（2023 路桥区二模）已知，代数式的值为 ．
12．（2023 苏州模拟）已知，则代数式的值为 ．
13．（2023 靖江市校级三模）已知是方程的一个根，则代数式的值 ．
14．（2023 武侯区校级模拟）已知，则的值为 ．
15．（2023 西城区校级模拟）如果，那么代数式的值为 ．
16．（2023 兴庆区模拟）若，则代数式的值是 ．
17．（2023 唐河县模拟）已知，，则代数式的值为 ．
18．（2023 建平县模拟）， ．
19．（2023 姑苏区校级二模）若满足，则 ．
20．（2024 肇东市模拟）如果，那么分式的值是 ．
三、解答题（共10小题）
21．（2024 绥化模拟）先化简，再求值的值，其中．
22．（2023 长岭县模拟）先化简，再求值：，其中．
23．（2024 黄石港区模拟）先化简，再求值：，其中．
24．（2024 兴宁区校级模拟）先化简，再求值，其中．
25．（2024 雁塔区校级模拟）先化简，再求值：，其中．
26．（2023 桑植县模拟）我们以前学过完全平方公式，现在，又学习了二次根式，那么所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，，下面我们观察：．
反之，
．
仿上例，求：
（1）；
（2）计算：；
（3）若，则求的值．
27．（2023 新市区一模）先化简，，再从，0，1，中选择一个合适的值代入求值．
28．（2024 武威一模）先化简，再求值：，其中．
29．（2024 建邺区校级模拟）化简，从中选出你喜欢的整数值代入求值．
30．（2024 阜阳一模）先化简，再求值：，其中．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：
，
，
，
原式，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：原式，
将代入得：
原式．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：，
，
原式
．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：，
，
．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：
，
要使分式值为整数，且为整数，
，，
又，
，，
整数的的个数有1，，，共3个，
故选：．
6．【答案】
【解答】解：，，
，
．
故选：．
7．【答案】
【解答】解：把代入原式得
；
故选：．
8．【答案】
【解答】解：
．
当时，
原式．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：，，
，，
原式
．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：，
原式
，
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】5．
【解答】解：，
，
，
故答案为：5．
12．
【解答】解：把代入，则
．
故答案为：．
13．【答案】3．
【解答】解：是方程的一个根，
，
，
，
当时，原式
，
故答案为：3．
14．【答案】17．
【解答】解：，
．
故答案为：17．
15．【答案】．
【解答】解：，
，
．
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：原式，
，
，
，
原式
．
故答案为：．
17．【答案】．
【解答】解：原式：，
，，
，
，
将，，代入，
．
故答案为：．
18．【答案】9．
【解答】解：，
．
故答案为：9．
19．【答案】15．
【解答】解：，
，
故答案为：15．
20．【答案】．
【解答】解：
，
当时，原式，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．【答案】，．
【解答】解：原式
，
，
当时，原式．
22．【答案】，．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
23．【答案】，．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
24．【答案】，．
【解答】解
，
当时，原式．
25．【答案】，8．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
26．
【解答】解：（1）；
（2）
；
（3），
，
原式
．
27．【答案】；当时，原式．
【解答】解：
，
当，0时，原分式无意义，
，
当时，原式．
28．【答案】．
【解答】解：原式
，
当时，
原式
．
29．【答案】，0．
【解答】解：原式
，
当时，
原式．
30．【答案】，．
【解答】解：
，
当时，
原式．
