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考向 考查内容 考查热度
圆的性质 垂径定理、圆周角、圆心角 ★★★★
切与接 三角形的外接圆、三角形的内切圆、圆内接四边形、圆与正多边形 ★★★
与切线有关的证明与计算 与圆有关的位置关系、切线的性质与判定、切线长定理 ★★★★
与圆有关的计算 弧长的计算、扇形面积的计算、圆锥的有关计算 ★★★
辅助圆 利用定点定长、直角对直径、四点共圆等构造辅助圆，利用辅助圆求最值 ★★★★
1．垂径定理及其推论的有关计算与证明 垂径定理应用中常作的辅助线： （1）若已知圆心和弦，则连接圆心和弦的一个端点，即“连半径”，并作垂直于弦的直径，构造直角三角形； （2）若已知圆心和弦（弧）的中点，则连接圆心和弦（弧）的中点，并延长使其与圆相交，得圆的直径，再“连半径”，构造直角三角形． 2．应用垂径定理作图 圆弧中点的确定：由垂径定理可知垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，所以常通过作孤所对的弦的垂直平分线确定孤的中点． 3．利用垂径定理解决实际问题 利用垂径定理解答弓形问题时，常通过作辅助线构造直角三角形，然后利用勾股定理求得相关线段的长，从而解决问题． 4．计算圆心角和圆周角时的注意事项： （1）在进行有关圆心角与圆周角的计算时，应适当添加辅助线，以方便角度之间的转化．一条弧所对的圆心角只有一个，而所对的圆周角有无数个，它们都相等． （2）一条弦所对的圆心角只有一个，但它所对的圆周角却有无数个，在同一条弦的同侧的圆周角相等，在同一条弦的异侧的两个圆周角互补．
【典例1】 （2024 苍溪县一模）如图，点，，，在上，点为的中点，交弦于点．若，，则的长是
A．2 B．4 C． D．
【答案】
【分析】连接，根据圆周角定理求得，在中可得，可得的长度，故长度可求得，即可求解．
【解答】解：连接，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
点为的中点，
，
故选：．
【典例2】 （2024 碑林区校级一模）如图，和都经过，两点，且点在上．点是优弧上的一点（点不与，重合），的延长线交于点，连接，，．若，，则长为
A． B．3 C． D．
【答案】
【分析】连接，，，过点作于，根据圆心角和圆周角之间的关系得，则为等边三角形，点为等边的外心，由此的，，然后在中利用锐角三角函数即可求出的长．
【解答】解：连接，，，过点作于，如图所示：
和都经过，两点，，，
，
又，
为等边三角形，
，
内接于，
点为等边的外心，
平分，垂直平分，
，，
，
．
故选：．
【典例3】 （2023 凉山州模拟）如图，为的直径，点是弧的中点．过点作于点，交于点，若，，则的半径长是
A．5 B．6.5 C．7.5 D．8
【答案】
【分析】连接，如图，设的半径为，根据垂径定理得，，则，所以，则，利用勾股定理得到，然后解方程即可．
【解答】解：连接，如图，设的半径为，
，
，，
点是弧的中点，
，
，
，
，
在中，，，
，解得，
即的半径为5．
故选：．
【典例4】 （2024 滨海新区模拟）如图，是的直径，弦于点，连接，，，，则弦的长为
A．6 B． C．12 D．
【答案】
【分析】先根据垂径定理得出，再由圆周角定理求出的度数，在中，根据锐角三角函数的定义即可求出的长，进而得出结论．
【解答】解：是的直径，弦于点，
，
，
，
在中，，，
，
．
故选：．
【典例5】 （2024 灞桥区校级四模）如图，是的直径，点为圆上一点，，是弧的中点，与交于点．若是的中点，则的长为
A．5 B．3 C．2 D．1
【答案】
【分析】连接交于，由垂径定理得，，可证，接着证明得到，计算得，然后设，则，，最后利用勾股定理计算得到的长．
【解答】解：连接交于，如图，
是弧的中点，
，
，
是直径，
，
，
，
是的中点，
，
，
，
，
，，
，
，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得，负值舍去，
即，
故选：．
1．直角三角形外接圆的半径：（为斜边长）． 2．等边三角形外接圆的半径：（为边长）． 3．圆内接四边形的对角互补． 4．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的内对角． 5．一般地，正n边形的一个内角的度数为，中心角的度数等于；正多边形的中心角与外角的大小相等． 注意：易错把正多边形的内切圆的半径（即边心距）当作正多边形的半径．
【典例1】 （2024 浙江一模）如图，四边形为矩形，点在边上，，与四边形的各边都相切，的半径为，的内切圆半径为，则的值为
A．2 B． C．3 D．
【答案】
【分析】延长，交于点，延长，交于点，首先推导出，然后利用相似三角形的性质得到，进而得解．
【解答】解：延长，交于点，
与，，均相切，
是内切圆，
又，
，
，
．
故选：．
【典例2】 （2024 蜀山区一模）如图，是的外接圆，，则的度数等于
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，根据可知，，再由三角形内角和定理求出的度数，根据圆周角定理即可得出结论．
【解答】解：连接，如图，
，
，
，
．
故选：．
【典例3】 （2024 阳泉模拟）如图，四边形内接于，连接，，是的直径，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆周角定理得到，，再根据直角三角形的性质计算即可．
【解答】解：，
，
是的直径，
，
，
故选：．
【典例4】 （2024 阿城区一模）如图，圆内接四边形的对角线，交于点，平分，．
（1）求的大小；
（2）过点作交的延长线于点，若，，求此圆直径的长．
【答案】（1）；
（2）4．
【分析】（1）根据圆周角定理得到，，得到是圆的直径，得到；
（2）证明是等边三角形，求出，根据含角的直角三角形的性质求出，进而求出．
【解答】解：（1），，
，
，
平分，
，
，
是圆的直径，
；
（2），
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
，，
，
圆的直径长是4．
【典例5】 （2024 太白县一模）如图，在中，，作的外接圆，延长到点，延长到点，连交圆于点、，点恰好是的中点，连接、．
（1）求证：；
（2）若圆的半径为4，，求的值．
【答案】（1）见解析；（2）．
【分析】（1）根据直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得结论；
（2）连接，由三角形的外接圆的性质、圆周角定理可得，再根据相似三角形的判定与性质可得答案．
【解答】（1）证明：在 中，点恰好是的中点，
，
，
，
．．
（2）解：连接，
，
．
，
是圆的直径，
，，
，
，
．
1．证明线段相等的方法 （1）若所证两线段相连共线，则可以考虑等腰三角形“三线合一”或直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半来证明； （2）若所证两线段相连不共线，则可以考虑将两条线段放到一个三角形中，利用等腰或等边三角形等角对等边来证明． 注意：遇到证线段间比例关系常考虑证两三角形相似，列比例关系式得出相关结论． 2．证明两角相等的方法 （1）在两个直角三角形中通过同角或等角的余角相等来证明； （2）利用半径相等，转化到等腰三角形中利用等边对等角来证明； （3）以上两种方法常结合使用． 注意：已知切线，连接圆心和切点的半径得垂直关系是解题的关键点． 3．求线段长的方法 常考虑从下面几个方面找寻突破口： （1）若题中有直角三角形、30°、45°、60°特殊角或锐角三角函数值，常考虑在直角三角形中直接使用或添加辅助线构造直角三角形，通过勾股定理或三角函数值解题； （2）若题中未出现（1）中情况，或很难构造直角三角形时，常考虑寻找或构造相似三角形求线段长．
【典例1】 （2024 谷城县一模）如图，是的外接圆，为的直径，点为上一点，交的延长线于点，与交于点，连接，若．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【分析】（1）由圆周角定理得，即可得到，由直径所对的圆周角是直角得出，于是得出，由，，于是推出，根据切线的判定定理即可证得是的切线；
（2）先证点是的中点，，根据垂径定理的推论得出，结合已知可求出的度数，在中即可求出的长，从而求出的长．
【解答】（1）证明：连接，
由圆周角定理得，
，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
（2）解：，
，
点是的中点，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【典例2】 （2024 济宁一模）如图，是的外接圆，是的直径，点在上，连接，且平分，过点作的切线交的延长线于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解答；
（2）10．
【分析】（1）连接，如图，先利用圆周角定理得到，再根据垂径定理得到，接着利用切线的性质得，然后根据平行线的性质得到结论；
（2）先利用得到，所以，再根据圆周角定理得，则利用余弦的定义可求出，所以，接着在中利用余弦的定义得到，于是设，，则，求出得到，然后计算即可．
【解答】（1）证明：连接，如图，
平分，
，
，
，
为的切线，
，
；
（2）解：，
，
，
是的直径，
，
在中，，
，
，
，
，
在中，，
设，，
，
即，
解得，
，
．
【典例3】 （2024 滨海新区模拟）如图，是的直径，弦与相交于点，若．
（Ⅰ）如图①，求的度数；
（Ⅱ）如图②，过点作的切线，与的延长线交于点，若，求的度数．
【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【分析】（Ⅰ）如图①，连接，根据圆周角定理得到，于是得到，
（Ⅱ）如图②，连接．根据圆周角定理得到，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①，连接，则，
为的直径，
，
，
（Ⅱ）如图②，连接．
，
，
是切线，
，
，
，
，
．
【典例4】 （2024 南充模拟）如图，在中，是弦，过点作与交于点，在的延长线取点，使．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的半径长．
【答案】（1）见解析；
（2）的半径长为．
【分析】（1）连接．根据等腰三角形的性质得到，得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据切线的判定定理得到是的切线；
（2）过点作于点，根据平行线的性质得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理得到，设，则，，．根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
是的半径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
解得．
，．
，，
，
．
，
．
，
即的半径长为．
【典例5】 （2024 巧家县模拟）如图，是的直径，弦，垂足为，连接，过上一点作交的延长线于点，连接交于点，且，连接．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）延长交的延长线于点，若，，求的值．
【分析】（1）由，推出，由推出，推出，推出，由此即可证明；
（2）欲证明是的切线只要证明即可；
（3）连接．设的半径为．在中，利用勾股定理求出，证明，可得，由此即可解决问题．
【解答】（1）证明：如图1中，
，
，
，
，
，
，
，
．
（2）证明：如图2中，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
（3）解：如图3中，连接．设的半径为．
在中，，
，
．
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
，
．
1．阴影部分周长的计算方法 （1）若阴影部分是规则图形或由若干规则图形组成，则直接利用相关公式求解即可； （2）若阴影部分是不规则图形，先根据题干信息表示出不规则阴影部分周长，从而将问题转化为易计算的线段或弧长之和； （3）求阴影部分周长的最值，先通过2表示出周长，从而将问题转化为求线段和最值问题，再利用最值模型进行求解即可． 2．阴影部分面积的计算方法 （1）直接和差法：所求阴影部分面积可以看成扇形、三角形、特殊四边形面积相加减 （2）构造和差法：先设法将不规则阴影部分与空白部分组合，构造规则图形或分割后为规则图形，再进行面积和差计算． （3）等积转化法：通过图形的变换，为利用公式法或和差法求解创造条件． （4）容斥原理法：有的阴影部分面积是由两个基本图形相互重叠得到的．常用的方法是：“两个基本图形的面积之和”－“被重叠图形的面积”=“组合图形的面积”．
【典例1】 （2024 运城模拟）如图，的顶点，落在上，经过圆心，与相交于点，已知，，，则的长为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，，首先根据圆周角定理由求出，再由求出，进而利用三角形外角的性质求出，再求出，确定是等边三角形，进而根据求出半径长，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：连接，，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
的长为：．
故选：．
【典例2】 （2024 瑶海区校级模拟）如图，四边形内接于圆，，，，则的长度为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据圆内接四边形对角和为180度可得，进而可得弧：弧，即可求解．
【解答】解：弧，弧，
圆的周长，
四边形内接于圆，
，
，
，
，
弧：弧，
，
故选：．
【典例3】 （2024 连云港一模）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转后得到，点经过的路径为弧，将线段绕点顺时针旋转后，点恰好落在上的点处，点经过的路径为弧，则图中阴影部分的面积是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先用扇形的面积减去的面积，再用扇形的面积减去上面的计算结果即可解决问题．
【解答】解：由题知，
，，
．
在中，
，
．
同理可得，．
．
，
．
故选：．
【典例4】 （2024 山西模拟）如图，点、为上的点，的半径为2，，点在外，连接、与分别交于点、，若，则阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】连接，，连接并延长交于，过点作于，则，进而得，再根据得，，则，由此可得，则为等边三角形，继而得，，然后根据可得出答案．
【解答】解：连接，，连接并延长交于，过点作于，如下图所示：
，，
，
即，
，
，
，，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，，
，
，
由勾股定理得：，
，，
．
故选：．
【典例5】 （2024 义乌市模拟）如图，点、是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】首先根据圆周角定理得出扇形半径以及圆周角度数，进而利用锐角三角函数关系得出，的长，利用图中阴影部分的面积求出即可．
【解答】解：连接，，，，设半圆的半径为．
，是半圆弧的三等分点，
，
，
，
弧的长为，
，
解得：，
，
，
，
，
和同底等高，
和面积相等，
图中阴影部分的面积为：．
故选：．
1．在旋转或折叠问题中，有时会利用“到定点的距离等于定长作圆”模型确定动点的运动轨迹． 2．在解决某些面积最值问题时，常将问题转化为求动点到定边的最大（小）距离，进而利用面积公式求解．
【典例1】 （2024 西安校级二模）完成下列各题
（1）【问题提出】如图1，为的一条弦，点在弦所对的优弧上，根据圆周角性质，我们知道的度数 （填“变”或“不变” ；若，则 度．即：若线段的长度已知，的大小确定，则点一定在某一个确定的圆上，我们把这样的几何模型称之为“定弦定角”模型；
（2）【问题探究】如图2，在凸四边形中，，，，，试求四边形面积的最大值；
（3）【问题解决】如图3是四边形休闲区域设计示意图，已知，，休闲区域内原有一条笔直小路的长为80米，现为了市民在该区域内散步方便，准备再修一条长为30米的小路，满足点在边上，点在小路上．按设计要求需要给图中阴影区域（即与四边形，小路宽度忽略不计）种植花卉，为了节约成本且满足设计需求，阴影部分的面积要尽可能的小．请问，是否存在符合设计要求的方案？若存在，请直接写出阴影部分面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）不变，50；
（2）；
（3）存在，．
【分析】（1）根据圆周角定理进行解答即可；
（2）过点作于点，连接，当的面积最大时，四边形的面积最大，利用（2）中的结论计算的面积最大值即可得出结论．
（3）根据题意，要使阴影部分面积最小，只需的面积最大即可，连接，作的外接圆，连接，，利用（2）结论即可求得的面积的最大值；将绕着点旋转得到，通过说明，，三点共线，则四边形的面积的面积，利用阴影部分面积的最小值四边形的面积的面积的最大值，即可得出结论．
【解答】解：（1）为的一条弦，点在弦所对的优弧上，
根据圆周角性质，我们知道的度数不变；
，，
则，
故答案为：不变；50；
（2）过点作于点，连接，如图2.1，
，，
，
．
，
当的面积最大时，四边形的面积最大．
作的外接圆，连接，，如图2.2，
设经过圆心时的线段为，则，过点作于点，连接，如图2.3，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
即，
当且仅当经过圆心时，最大；
与上述过程同理，当点为的中点时，的面积最大．
设为的中点为，连接，交于点，
则，，，
，
，
．
，，
，
，
，
．
，
，
，
的面积的最大值，
四边形的面积的最大值．
（3）存在符合设计要求的方案，阴影部分面积的最小值平方米，理由如下：
根据题意，要使阴影部分面积最小，只需的面积最大即可，
连接，如图3，
，，
．
，
，，，四点共圆，
．
作的外接圆，连接，，如图4．
，
，
为等腰直角三角形，
．
由（2）的结论可知：当点为优弧的中点时，
的面积的最大值为平方米．
将绕着点旋转得到，如图5，
则，
，，．
，
，
，
，，三点共线，
为等腰直角三角形，
米，
，
（平方米），
阴影部分面积的最小值（平方米）．
【典例2】 （2024 雁塔区校级二模）（1）【学习心得】
小宸同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，求 的度数，若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 45 ．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形中，，，求 的度数．小宸同学认为用添加辅助圆的方法，可以使问题快速解决，他是这样思考的： 的外接圆就是以的中点为圆心，长为半径的圆；的外接圆也是以的中点为圆心，长为半径的圆．这样、、、四点在同一个圆上，进而可以利用圆周角的性质求出 的度数，请运用小底的思路解决这个问题．
（3）【问题拓展】
①如图3，的三条高、、相交于点，求证：．
②如图4，在中，，是边上的高，且，，直接写出的长．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解；
（2）由、、、共圆，得出；
（3）先判断出点、、、在以为直径的同一个圆上，得出，同理得出，即可得出结论；
（4）如图4，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．利用圆周角定理推知是等腰直角三角形，结合该三角形的性质求得；在等腰中，利用勾股定理得到；则在中，易得，进而得解．
【解答】（1）解：如图1，
，，
以点为圆心，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案为：45；
（2）解：如图2，取的中点，连接、．
，
点、、、共圆，
，
，
；
（3）证明：，，如图3，
点、、、在以为直径的同一个圆上，
，
同理：点、、、在以为直径的同一个圆上，，
又，
；
（4）解：如图4，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．
，
．
在中，，
．
，为圆心，
，
．
在中，，，
．
在中，，，
，
．
【典例3】 （2024 长沙模拟）正弦定理在高中数学中有很广泛的运用，据此，回答问题．
（1）在中，顶点，，所对的边分别为，，，记的外接圆半径为，求证：．（本题图未给出）
（2）在等边三角形中，，分别为边，上的点，且满足，过作的垂线交于点，设与交于点，若，，求的外接圆半径．（用，表示）
【答案】（1）证明见解答；
（2）的外接圆半径为．
【分析】（1）作的外接圆，作的直径，连接，则，由，，得，所以；同理，，即可证明；
（2）由等边三角形的性质得，，而，即可证明，得，，推导出，因为，所以，则，所以，设的外接圆的半径为，则，即，求得．
【解答】（1）证明：如图1，作的外接圆，作的直径，连接，则，
，，，
，
；
同理，，
．
（2）解：如图2，是等边三角形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
于点，，，
，
，
，
，
设的外接圆的半径为，则，
，
，
，
的外接圆半径为．
【典例4】 （2024 临渭区一模）问题提出：
（1）如图①，已知点到直线的距离是5，以为圆心、3为半径作圆，则上一点到直线的最小距离为 ；
问题探究：
（2）如图②，已知正方形的边长为2，是边上的动点，交于点，垂足为，连接，则求的最小值；
问题解决：
（3）如图③，有一个矩形花坛，，，根据设计造型要求，在上任取一动点，连接，过点作，交于点，在上截取，连接、；现需在的区域内种植一种黄色花卉，在矩形内的其它区域种植一种红色花卉，已知种植这种黄色花卉每平方米需200元，种植这种红色花卉每平方米需180元，完成这两种花卉的种植至少需花费多少元？（结果保留整数，参考数据：
【答案】（1）2；
（2）；
（3）37400元．
【分析】（1）画图即可判断；
（2）取的中点，连接，根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧，所以和的长度是定值，因此、、共线时，取最小值，根据勾股定理计算即可；
（3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆，在上取一点，连接，，过点作于点，过点作于点，求出的最小值即可解决问题．
【解答】解：（1）过点作于点，则，
以点为圆心，3为半径作圆，交于点，
上一点到直线的最小距离为；
（2）取的中点，连接，
根据题意得：点的运动轨迹是以中点为圆心，为半径的弧，
、为定值，
当、、共线时，取得最小值，
四边形是正方形，
，，
是的中点，
，
在中，，
的最小值为；
（3）以为边向上作等边三角形，以点为圆心，为半径作圆，
在上取一点，连接，，过点作于点，过点作于点，
，，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
，
、、、四点共圆，
，，
，
，
的最小值为，
完成这两种花卉的最低种植费用为
（元．
【典例5】 （2024 子洲县校级二模）
（1）如图1，，，，，交于点，若，则 ；
（2）如图2，矩形内接于，，点在上运动，求的面积的最大值；
（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地（如图改造成一个户外休闲区，计划在边，上分别取点，，修建一条笔直的通道，要求，过点作于点，在点处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路，，，并计划在内种植花卉，内修建老年活动区，内修建休息区，在四边形内修建儿童游乐园．问种植花卉的的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）；
（3）存在，最小值为平方米．
【分析】（1）由得，得对应成比例的线段，于是得到结论；
（2）当时，的面积有最大值，解直角三角形求出的高即可得到结论；
（3）连接交于点，作的外接圆，过点作于点，交于点，交于点，连接，，此时△的面积最小．
【解答】解：（1），
，
，即，
设，，
，解得．
故答案为：；
（2）如图1，连接．
四边形是矩形，
，
是的直径．
在中，，
过点作，垂足为，延长交于点，
连接，，此时△的面积最大．
理由：在上任意另取一点，过点作，垂足为，
连接，，则，即，
当，，三点共线，且时，最大，即的面积最大．
连接，则．
在中，．，
，
，
（3）如图2，连接交于点．
四边形是正方形，
，，，，
．
，
，，
，
，
．
过点作于点，
，
，
，
，．
在中，根据勾股定理得，
作的外接圆，则为的中点，
且点在上运动，
过点作于点，交于点，交于点，
连接，，此时△的面积最小．
理由：在上任意另取一点，
过点作于点，连接，，
则，即
当，，三点共线，且时，最小，即的面积最小．
由题意可得四边形为矩形，
．
，，
，
，
，
，
的最小值平方米．
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一、选择题（共10小题）
1．（2024 碑林区校级一模）如图，在中，点为弦中点，连接、，点是上任意一点，若，则的大小为
A． B． C． D．
2．（2024 老河口市一模）如图，，是的直径，是的中点，，的度数是
A． B． C． D．
3．（2024 建邺区校级模拟）如图，在扇形中，为上的点，连接并延长与的延长线交于点，，，则的度数为
A． B． C． D．
4．（2024 仁和区一模）如图，正方形网格中，点，，、均在格点上．过点，且与交于点，点是上一点，则
A． B．2 C． D．
5．（2024 驻马店一模）如图，是半圆的直径，、是半圆弧上两点，若，则的度数为
A． B． C． D．
6．（2024 临渭区一模）如图，内接于，为的直径，连接，若，，则的长为
A． B．1 C． D．
7．（2024 阳泉模拟）如图，在矩形中，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，的长为半径画弧，交于点．已知，，则图中阴影部分的面积为
A． B． C． D．
8．（2024 邱县一模）如图，点是的六等分点．若△，△的周长分别为，，面积分别为，，则下列正确的是
A． B． C． D．
9．（2024 浙江模拟）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若该“莱洛三角形”的面积为，则等边三角形的边长为
A． B．1 C． D．
10．（2024 新北区一模）如图，与相切于点，连接交于点，弦，连接．若，的半径是9，则的长是
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题）
11．（2024 东海县一模）如图，一块直角三角板的角的顶点落在上，两边分别交于，两点，连结，，则的度数 ．
12．（2024 荆州模拟）如图，将圆形纸片折叠使弧经过圆心，过点作半径于点，点为圆上一点，则的度数为 ．
13．（2024 拱墅区校级模拟）如图，四边形是的内接四边形，，对角线、相交于点，是直径，于点，．若，则的值是 ．
14．（2024 顺昌县一模）一根钢管放在形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是，若，则弧的长是 ．
15．（2024 汇川区一模）如图，用一个半径为的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点绕点旋转了到，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了 ．
16．（2024 浙江模拟）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到（点与点对应），使点落在上，边交于点．若，，则的长为 ．
17．（2024 南乐县一模）如图，半径为的经过正方形的两个顶点，，与边交于点，过点作的切线交于点，若，则的长为 ．
18．（2024 项城市模拟）如图，在矩形中，以点为圆心，长为半径画弧，交于点，交于点．若，，则阴影部分的面积为 ．
19．（2024 亳州一模）如图，内接于，过点作交于点，连接，，若，则 ．
20．（2024 焦作一模）如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线交于点．则的长为 ．
三、解答题（共10小题）
21．（2024 泗阳县一模）如图，在中，，以点为圆心，长为半径的圆交于点，点在边上，且．
（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；
（2）若，，求的半径．
22．（2024 惠安县一模）如图，内接于，是的直径，．点在延长线上，．过点作，交的延长线于点．求证：是的切线．
23．（2024 咸丰县模拟）如图，是的内接三角形，，，连接并延长，交于点，过作的平行线交延长线于点．
（1）求证：与相切；
（2）若，求线段的长．
24．（2024 南漳县一模）在中，弦．
（1）如图1，比较与的长度，并证明你的结论．
（2）如图2，为的直径，过点作的切线与的延长线交于点，若，，求阴影部分的面积．
25．（2024 漳州一模）如图，是的外接圆，是的直径，切线交的延长线于点，，垂足为点，延长交于点，连接，．
（1）求证：平分；
（2）若的半径为4，，求的值．
26．（2024 龙华区校级模拟）【问题发现】
船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁．如图1，，表示灯塔，暗礁分布在经过，两点的一个圆形区域内，优弧上任一点都是有触礁危险的临界点，就是“危险角”．当船位于安全区域时，它与两个灯塔的夹角与“危险角” 有怎样的大小关系？
【解决问题】
（1）数学小组用已学知识判断与“危险角” 的大小关系，步骤如下：
如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
（填“”，“ ”或“” ，
（填“”，“ ”或“” ；
【问题探究】
（2）如图3，已知线段与直线，在直线上取一点，过、两点，作使其与直线相切，切点为，不妨在直线上另外任取一点，连接、，请你判断与的数量关系，并说明理由；
【问题拓展】
（3）一位足球左前锋球员在某场赛事中有一精彩进球，如图4，他在点处接到球后，沿方向带球跑动，球门米，米，米，，．该球员在射门角度最大时射门，球员在上的何处射门？（求出此时的长度．
27．（2024 肥东县校级模拟）如图1，是的直径，点在上，连接，．过点作交于，连接．
（1）求证：平分；
（2）过点作的切线交的延长线于点，如图2，若半径为13，，求的长．
28．（2024 修水县一模）课本再现
（1）在圆周角和圆心角的学习中，因为圆内接四边形的每一个角都是圆周角，所以我们可以利用圆周角定理，来研究圆内接四边形的角之间的关系．
如图1，四边形为的内接四边形，为直径，则 度， 度．
（2）如果的内接四边形的对角线不是的直径，如图2、图3，请选择一个图形证明：圆内接四边形的对角互补．
知识运用
（3）如图4，等腰三角形的腰是的直径，底边和另一条腰分别与交于点，．点是线段的中点，连接，求证：是的切线．
29．（2024 昆明模拟）如图，是的外接圆，为的直径，的平分线交于点，过点作，交的延长线于点．
（1）求证：直线是的切线；
（2）求证：；
（3）若，，求的长（用含，的代数式表示）．
30．（2024 南岗区校级一模）中，以为直径的交于，交于，连接，．
（1）如图1：求证；
（2）如图为的直径，交于，求证：；
（3）在（2）的条件下，为上一点，交于，若，，，求的长．
一、选择题（共10小题）
1．【答案】
【解答】解：作所对的圆周角，如图，
，
，
，
，
为的中点，，
，平分，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：是的直径，，
，
是劣弧的中点，
，
是的直径，
的度数为，
由圆周角定理得：，
故选：．
3．【答案】
【解答】解：连接，如图，设的度数为，
，
，
，
，
，
，，
，
解得，
．
故选：．
4．【答案】
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：连接，
是圆的直径，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：为的直径，
，
，
，
，，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：由题意可知，与扇形只有一个交点，则与扇形相切，设这个切点为，
连接，，则．
过点作，交于点．
四边形是矩形，
，．
由题意可得，，
在中，由勾股定理可得：
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
在和中，
，
，
，
，
，
即扇形的圆心角为．
，
故选：．
8．【答案】
【解答】解：连接，，，
点是的六等分点，
，，，，
△是等边三角形，
，
，故正确，不正确；
两个三角形有两条边相等，一条边是2倍关系，
，故、不正确．
故选：．
9．【答案】
【解答】解：过点作的垂线，垂足为，
，，
．
令等边三角形的边长为，
则，，
在中，
．
，
又，
，
解得（舍负），
．
即等边三角形的边长为1．
故选：．
10．【答案】
【解答】解：如图，连接，，
切于点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的长；
故选：．
二、填空题（共10小题）
11．【答案】．
【解答】解：由图可知：，
，
，
故答案为：．
12．【答案】．
【解答】解：连接，
由题意知垂直平分，
，
，
是等边三角形，
，
．
故答案为：．
13．【答案】108．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
为的直径，，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：108．
14．【答案】．
【解答】解：根据题意得，，，
，
，
，
所对的圆心角的度数为，
，
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：根据题意得：重物上升了．
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：与的边相切，
，
，
连接，如图，
绕点按顺时针方向旋转得到，
，，，
是直径，
，，共线，
，
，
，
，
．
故答案为：．
17．【答案】．
【解答】解：过点作于，连接，如图，
是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，，
正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
在中，，，
，即
．
故答案为：．
18．【答案】．
【解答】解：连接，
四边形是矩形，
，．
在中，
，
，
又，
是等边三角形，
，
则．
过点作的垂线，垂足为，
在中，
，
，
则，
，
又，
．
故答案为：．
19．【答案】．
【解答】解：内接于，过点作交于点，
四边形内接于，
，
，
，
，
，
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：连接、，则，
，
，，
，
，
，
为的直径，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
故答案为：．
三、解答题（共10小题）
21．【答案】24．
【解答】解：（1）直线与相切，理由如下：
如图，连接，
，，
，，
，
，
，
，
，
又为半径，
是的切线，
直线与相切；
（2），
设，，
，
，
，
，
，
，
的半径为24．
22．【答案】见解析．
【解答】证明：过点作于，
是的直径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
23．【答案】（1）见解析；（2）．
【解答】（1）证明：连，
，
，
，
，
，
，
为半径，
与相切；
（2）解：如图，作于点，
，
；
为直径，
，，，
四边形是矩形，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）与的长度相等，证明见解答；
（2）阴影部分的面积是．
【解答】解：（1）与的长度相等，
证明：弦，
，
，
，，
，
与的长度相等．
（2）如图2，连接，则，
，
与相切于点，
，
为的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是．
25．【答案】（1）证明见解答；
（2）的值为．
【解答】（1）证明：连接，则，
是的直径，于点，
，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
平分．
（2）解：的半径为4，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
的值为．
26．【答案】（1），；
（2），理由见解析；
（3）15米．
【解答】解：（1）如图2，与相交于点，连接，由同弧或等弧所对的圆周角相等，可知，
是的外角，
，
，
（2），理由如下：
如图所示，设与交于点，连接，
，
，
是的外角，
，
．
（3）如图所示，由（2）可得，当经过，的与相切时，最大，
过点作交于点，延长交于点，过点作交于点，
，
，
，，，
四边形是矩形，
，
，
，，
，
，
，
，
设的半径，
，即，
，
，
在中，，
，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
，
．
答：的长度为15米．
27．【答案】（1）见解析；
（2）．
【解答】（1）证明：是的直径，
，
，
，
，
，
，
平分；
（2）解：如图2，
过作于，
，，
，
，
设，则，
，，
，
解得，
即，
是的切线，
，
，
，
，
即：，
．
28．【答案】（1）90，180；
（2）证明见解答；
（3）证明见解答．
【解答】（1）解：四边形为的内接四边形，为直径，
，
，
故答案为：90，180；
（2）证明：如图2，连接，，
，
，，
，
，
，
在四边形中，，
即圆内接四边形的对角互补；
如图3，连接，，
，
，，
，
，
，
在四边形中，，
即圆内接四边形的对角互补；
（3）证明：连接，，如图4，
，
，
，
，
，
，
四边形是圆内接四边形，
，
，
，
，
，
点是线段的中点，
，
，
，
是的半径，
是的切线．
29．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解答】（1）证明：连接，如图，
为的直径，
．
是的平分线，
，
，
．
，
．
为 半径，
直线是的切线；
（2）证明：是的平分线，
，
，
．
为的直径，
，
，
，
，．
，
．
，
，
，
，
；
（3）解：，
．
，
．
，
，
，
．
由（2）知：为等腰直角三角形，
，
，
，
．
由（2）知：，
，
，
，
．
30．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解答】（1）证明：连接，如图，
，，
，
，
．
．
，
，
，
；
（2）证明：连接，，如图，
为的直径，
，
由（1）知：，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
为的直径，
，
，
，
为的直径，
；
（3）解：设与交于点，连接并延长交于点，连接，如图，
为的直径，
，
，
，
，．
，
，
，
，
，
，
，
．
在和中，
，
，
，
，
．
，，
，
．
．
设，则，
，
，
．
，，．
，
．
设，则．
，
，
．
．
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