高中数学人教A版（2019）必修2 8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）（26页ppt）

(共26张PPT)
第七章
8.6.2 直线与平面垂直（第1课时）
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.理解直线与平面垂直的定义； 1.数学抽象素养和几何直观素养.
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直； 2.空间想象素养和逻辑推理素养.
3.理解直线与平面所成角的概念，并能求直线和平面所成的角. 3.几何直观素养好逻辑推理素养.
温故知新
直线与平面的位置关系有几种，分别是什么？
文字语言 交点个数 图形语言 符号语言
直线在平面内
直线与平面相交
直线与平面平行
有无数个公共点
没有交点
有1个交点
a α
a∩α＝A
a//α
a
a
A
a
知新引入
日常生活中，直线与平面垂直的例子有很多． 比如，广场上的旗杆与地面的位置关系．
大桥的桥墩与海面的位置关系．
教室相邻墙面的交线与地面，门轴所在直线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象．
知新引入
如图，在阳光下观察直立于地面的旗杆AB及它在地面
的影子BC.随着时间的变化,影子BC的位置在不断地变化,
旗杆所在直线AB与影子BC所在直线是否保持垂直？
A
B
α
C′
B′
C
事实上，随着时间的变化，尽管影子BC的位置在不断地变化，但是旗杆所在直线AB始终与影子BC所在直线垂直.也就是说旗杆所在直线AB与地面上任意一条过点B的直线垂直.
对于地面上有不过点B的任意一条直线B′C′，总能在在地面上找到过点B的一条直线与之平行，根据异面直线的定义，可知旗杆 AB所在直线与直线B′C′也垂直.因此，旗杆 AB所在直线与地面上任意一条直线都垂直.
知新探究
一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
α
P
l
直线l的垂面
平面α的垂线
垂足
直线l叫做平面α的垂线．平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
知新探究
注意：
①“任何”表示 “所有”.
若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是, 直线与平面的位置关系如何？
②定义包含着哪些含义？
⑴如果直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直，则l⊥α.
⑵如果l⊥α,则直线 l 与平面α内的任意一条直线都垂直.
利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的性质.
m
l
n
任意=所有≠无数
知新探究
在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
可以发现，
α
P
l
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段．垂线段的长度叫做点到该平面的距离．
在棱锥的体积公式中，棱锥的高就是棱锥的顶点到底面的距离．
O
知新探究
下面我们研究直线与平面的判定，即探究直线与平面垂直的充分条件.
根据定义可以进行判断，但无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直.那么，有没有可行的方法？
如图，准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC
的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片
竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
（1）折痕AD与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD与桌面垂直？为什么？
不垂直
知新探究
通过实验操作，我们不难发现，AD所在直线与桌面所在平面α垂直的充要条件是折痕AD是BC边上的高．
这个时候，由于翻折后垂直关系不变，所以直线AD与平面内的两条相交直线BD，DC都垂直．
AD⊥BD,AD⊥DC,BD α,CD α,BD∩CD=D.
事实上，由基本事实的推论2，平面α可以看作由两条相交直线BD，DC所唯一确定的，所有当直线AD垂直于两条相交直线时，就能保证AD与α内所有直线都垂直.
知新探究
一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理.
定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
图形语言表示
α
P
l
m
n
用符号语言表示
l⊥m,l⊥n,m α,n α,m∩n=P l⊥α.
线线垂直 　线面垂直
判定定理
定义
定理体现了“直线与平面垂直”和“直线与直线垂直”的互相转化．
知新探究
两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
m
l
n
知新探究
【例1】求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面,那么另一条直线也垂直于这个平面.
证明：
如图，在平面内取两条相交直线m，n.
∴b⊥α.
∵直线 a⊥α，
∴a⊥m， a⊥n，
∴ b⊥m， b⊥n.
又∵m α,n α，m，n是两条相交直线，
已知：如图,a//b，a⊥α,求证:b⊥α．
分析：要证明直线b⊥α，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需证明直线b垂直于平面α内的两条相交直线即可.
∵ a//b，
你能用直线与平面垂直的定义证明这个结论吗？
知新探究
要判断一条已知直线与一个平面是否垂直,只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点这是无关紧要的.
注意：例1也可以作为一个定理，给了我们证明线面垂直的又一方法.
.
知新探究
问题：直线与平面垂直是直线与平面的相交时的一种特殊情况，当它们不垂直时，可以发现不同的直线与平面相交的情况也是不同的，如何刻画这种不同？
如图，直线l与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α作垂线PO,过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影.
α
l
P
A
θ
斜线
斜足
射影
(直线)
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
若直线l垂直于平面α，我们说它们所成的角是90°；
若直线l和平面α平行，或在平面α内，则说它们所成的角是0°．
直线与平面所成的角θ的取值范围为0°≤θ≤90°．
斜线与平面所成的角是它与该平面内所有直线所成的角中最小的角.
知新探究
【例2】如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线A1B和平面A1DCB1所成的角．
∴BC1⊥平面A1DCB1.
解：
连接BC1．BC1与B1C相交于点O，连接A1O．设正方体的棱长为a．
又 BC1⊥B1C，
∴ A1B1⊥平面BCC1B1.
∴BO＝A1B．
在Rt△A1BO中，A1B＝，BO＝，
∴∠BA1O＝30°．
∴A1B和平面A1DCB1所成的角为30°.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
O
∵ A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，B1C1∩ B1B＝B，
∴ A1O为斜线A1B在平面A1DCB1上的射影，∠BA1O为A1B和平面A1DCB1所成的角．
分析：关键是找出直线A1B在平面A1DCB1上的射影.
初试身手
1.如图，如果直线l是平面α的一条斜线，A为斜足，P是l上斜足以外的一点，PO⊥α,垂足为O，即AO为l在平面α上的射影，直线m α，且m⊥AO,求证：m⊥l.
证明：
∵PO⊥α,m α.
∴PO⊥m.
又∵m⊥AO,PO∩AO=O，PO 平面PAO，AO 平面PAO.
∴m⊥l.
∴m⊥平面PAO.
α
l
A
P
m
又l 平面PAO，
如果平面内的一条直线垂直于这个平面的一条斜线在这个平面内的射影，那么这条直线垂直于这条斜线. （三垂线定理）
试写出这个命题的逆命题，并给出证明.
初试身手
2.在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AB，D为PB的中点，
求证：AD⊥PC.
证明：
∵PA⊥平面ABC，
∴PA⊥BC.
∴AD⊥PC.
∴BC⊥平面PAB.
又AB⊥BC，PA 平面PAB,AB 平面PAB,PA∩AB=A.
∵PA=AB，D为PB的中点，
∴BC⊥AD,
又BC 平面PBC,PB 平面PBC,BC∩PB=B.
P
A
B
C
D
∴AD⊥PB,
∴AD⊥平面PBC.
初试身手
3.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
⑴ A1C1与面BB1C1C所成的角;
⑵A1B与面A1B1CD所成的角.
解：
∴∠A1BB1为A1C1与面BB1C1C所成的角，∠A1BB1=45°.
∵CD⊥平面BB1C1C，
∴CD⊥BC1，
⑴∵A1B1⊥BB1，A1B1⊥B1C1,BB1∩B1C1=B1,
∴∠BA1O为A1B与面A1B1CD所成的角，
∴∠BA1O=30°，即A1B与面A1B1CD所成的角等于30°.
∴A1B1⊥平面BB1C1C，
即∠A1BB1为A1C1与面BB1C1C所成的角等于45°.
⑵连接BC1交B1C于点O，连接A1O
O
又BC1⊥B1C，B1C 面A1B1CD，CD 面A1B1CD，CD∩B1C=C.
∴BC1⊥面A1B1CD.
设正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则可得A1B=，BO=,
课堂小结
1.直线与平面垂直的定义
如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作l⊥α．
α
P
l
直线l的垂面
平面α的垂线
垂足
直线l叫做平面α的垂线．平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足．
过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条．
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段．垂线段的长度叫做点到该平面的距离．
课堂小结
2.直线与平面垂直的判定定理
定理 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直.
图形语言表示
α
P
l
m
n
用符号语言表示
l⊥m,l⊥n,m α,n α,m∩n=P l⊥α.
线线垂直 　线面垂直
判定定理
定义
课堂小结
3.直线与平面所成角
如图，直线l与平面α相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线与平面的交点A叫做斜足.过斜线上斜足以外的一点P向平面α作垂线PO,过垂足O和斜足A的直线叫做斜线在这个平面上的射影.
α
l
P
A
θ
斜线
斜足
射影
(直线)
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．
若直线l垂直于平面α，我们说它们所成的角是90°；
若直线l和平面α平行，或在平面α内，则说它们所成的角是0°．
直线与平面所成的角θ的取值范围为0°≤θ≤90°．
作业布置
作业： P152 练习 第2，3, 4题
P163-164 习题8.6 第4, 5，15题
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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