5.3等比数列同步练习（含解析）2023-2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册
文档属性
| 名称 | 5.3等比数列同步练习（含解析）2023-2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 833.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-10 20:42:39 | ||
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文档简介
5.3等比数列同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．－36或36 B．－36 C．36 D．18
3．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ）
A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏
4．等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．3 B． C．3或 D．2
5．中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
7．已知等比数列的前n项和，则数列的前5项和等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．5
8．有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小麦，…，第个方格放粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第次被抽取的小麦编号为，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为，接下来的幸运小麦按照规律逐个抽取，则共能抽取（ ）粒幸运小麦．
A．4 B．5 C．15 D．63
二、多选题
9．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列的前项的和，则
B．若为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若为等差数列，，，则当时，最大
10．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
11．对函数给出如下新定义：若在区间上为定值（其中表示不超过的最大整数，如），则称为的一个“整元”，将区间上从左到右所有“整元”的和称为在上的“整积分”，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上的“整积分”为
B．在区间上的“整积分”为4950
C．在区间上的“整积分”为
D．在区间上的“整积分”为
12．满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（ ）
A．存在非零实数t，使得为等差数列
B．存在非零实数t，使得为等比数列
C．
D．
三、填空题
13．已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比 ．
14．已知正项等比数列的前项和为，若，，则 ．
15．若正项等比数列中的是方程的两个根，则 ．
四、解答题
16．已知各项均为正数的等比数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．求证：．
17．已知数列满足，且（，且）．
(1)设，求证数列是等差数列．
(2)记，求数列的前项和．
18．已知数列满足，其中．
(1)李四同学欲求的通项公式，他想，如果能找到一个函数，其中是常数，把递推关系变成后，就容易求出的通项了．请问：他设想的存在吗？的通项公式是什么？
(2)记，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
19．已知实数，定义数列如下：如果，，则．
(1)求和（用表示）；
(2)令，证明：；
(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
20．已知数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)若为的前n项和，是否存在，使得对于任意，都有 若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的通项公式得到，利用是递减数列列出关于的不等式，进而求出的取值范围.
【详解】将整理得，
又，易知当时,，不满足是递减数列，故，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故，因此，
由于是递减数列，故恒成立，得，
化简得，故，
因此，解得，
故选：B．
2．C
【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.
【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
3．A
【分析】根据等比数列的前和公式建立方程，解出即可.
【详解】设各层塔的灯盏数为，
数列是公比为的等比数列，
由题意可得，
解得，
故选：A.
4．C
【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出，判断，利用前项和公式表示，联立方程即可解出.
【详解】数列为等比数列，设首项为，公比为，根据题意有，
即①，所以，若，则有，与不符，所以，
所以②，联立①②两式有：，即
，整理得，解得或.
故选：C
5．C
【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可求得的值，即为所求.
【详解】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以该马七天所走的里程为，解得，
故该马第五天行走的里程数为．
故选：C．
6．B
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
7．A
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再求出即可计算得解.
【详解】等比数列的前n项和，则，而，
因此公比，，，显然是等差数列，
所以数列的前5项和等于.
故选：A
8．B
【分析】根据递推公式可得，进而取对数求解通项公式即可得，再列不等式求解即可.
【详解】配方得：．
取对数：，设，则，
又，所以，，．
由放小麦的规则可得小麦总粒数为，
.
故选：B
9．ACD
【分析】选项A，利用等比数列前项和公式，即可求出，从而判断出选项A的正误；选项B，根据条件，利用等比数列的性可求解；选项C，当，为偶数时，，不合题意，从而判断出选项C的正误；选项D，根据条件得出，，即可判断出选项D的正误.
【详解】对于选项A，因为，则数列为等比数列，
由等比数列的前项和公式，知，所以选项A错误，
对于选项B，由，得到，所以，故选项B正确，
对于选项C，若，为偶数时，，显然，，，…不成等比数列，所以选项C错误，
对于选项D，因为，即，又，所以公差，且或，最大，故选项D错误，
故选：ACD.
10．BC
【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.
【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，
因此不存在，使得恒成立，A错误；
对于B，由选项A知，，则，
显然当时，恒成立，B正确；
对于C，由，得，
当时，
即，
于是，
两式相减得，
因此，显然满足上式，则，由，
得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，
从而对任意，总存在，使得，C正确；
对于D，，由选项C得，
显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
11．BCD
【分析】根据新定义对各选项逐项分析即可得解.
【详解】A选项，，所以区间上的“整积分”为，故选项错误；
B选项，当时，；当时，，以此类推，当时，，
所以区间上的“整积分”为，故B选项正确；
C选项，当时，；
当时，；当时，，以此类推，当时，，
故区间上的“整积分”为，故C选项正确；
选项，当时，，“整元”为；
当时，，“整元”为；当时，，“整元”为，以此类推，当时，，“整元”为．
设在区间上的“整积分”为，则①，
所以②，②①得，故D选项正确，
故选：BCD．
12．BCD
【分析】对A、B：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C：借助代入即可得；对D：由，得到，从而将展开后借助该式裂项相消即可得.
【详解】对A：若数列为等差数列，则有，
即，由，
故有恒成立，即有，无解，
故不存在这样的实数，故A错误；
对B：若数列为等比数列，则有，
即，由，
故有恒成立，即有，
即，解得，此时，
故存在非零实数t，使得为等比数列，故B正确；
对C：由，
则，
即有，故C正确；
对D：由，
故，
故
，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于由，得到，从而将展开后可借助该式裂项相消.
13．
【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解.
【详解】由题意可知：，
根据等比数列的前项公式可得：①，②,
联立①②可得，解得.
故答案为：
14．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，
则，解得．
则，，
．
故答案为：.
15．
【分析】根据等比中项结合对数运算分析求解.
【详解】因为正项等比数列中的是方程的两个根，
则，
所以
.
故答案为：.
16．(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；
（2）先根据等差数列求和公式求，然后利用裂项相消法求即可得证.
【详解】（1）记数列的公比为，
则，解得，
所以.
（2）由（1）可得，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即.
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知递推公式，求得为常数即可；
（2）根据（1）中所求得到，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）证明：因为，则，
则，即；
故数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）可知，，即，解得；
则，
故
即，
，
故
，
故.
18．(1)存在，
(2)
【分析】（1）由题可得，结合可求得，然后由等比数列通项公式即可求解；
（2）先利用分组求和法求得，然后分离参数，令，当时，作差，利用二项式定理证明的单调性，然后验证时即可得最小值，然后可解.
【详解】（1），
所以只需，
，则，
，故李四设想的存在， ，
，
是以3为公比，2为首项的等比数列，
，
.
（2）
由，得，
设，则，
当时，.
，
当时，
，所以的取值范围为
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；
（2），分别计算和可证明结论；
（3）先根据无上界说明存在正整数，使得，分是偶数和是奇数分别说明.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以；
（2）由数列定义得：；所以．
而，
所以；
（3）当，由（2）可知，无上界，故对任意，存在，使得．
设是满足的最小正整数．下面证明．
①若是偶数，设，
则，于是．
因为，所以．
②若是奇数，设，
则．
所以．
综上所述，对于任意正整数，存在正整数，使得．
20．(1)
(2)存在，7.
【分析】（1）待定系数法，求出，即可得出；
（2）错位相减法求出，然后判断出数列单调性，求值得出答案即可.
【详解】（1）由可得，
，即，
又，
所以，
即，所以．
（2），
，
两式相减得
，
易知单调递增，
又，
，
所以存在满足条件的k，k的最小值是7．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列满足，若是递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列为等比数列，且，，设等差数列的前n项和为，若，则（ ）
A．－36或36 B．－36 C．36 D．18
3．明代程大位《算法统宗》卷10中有题：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头儿盏灯？”你的答案是（ ）
A．3盏 B．4盏 C．5盏 D．7盏
4．等比数列的前n项和为，若，，则公比（ ）
A．3 B． C．3或 D．2
5．中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了里路，则该马第五天走的里程数约为（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列的各项均为正数，且，则（ ）
A．12 B．10 C．5 D．
7．已知等比数列的前n项和，则数列的前5项和等于（ ）
A．10 B．15 C．20 D．5
8．有一个国王奖励国际象棋发明者的故事，故事里象棋发明者要求这样的奖励；在棋盘上的64个方格中，第1个方格放1粒小麦，第2个方格放2粒小麦，…，第个方格放粒小麦，结果国王拿出全国的小麦也不够．假设能有这么多的小麦，则这个故事继续如下，将这些小麦用1，2，3，…，编号并按照一定规律逐个抽取幸运小麦，设第次被抽取的小麦编号为，若第一次随机抽取的幸运小麦编号为，接下来的幸运小麦按照规律逐个抽取，则共能抽取（ ）粒幸运小麦．
A．4 B．5 C．15 D．63
二、多选题
9．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列的前项的和，则
B．若为等比数列，且，则
C．若数列为等比数列，为前项和，则，，，…成等比数列
D．若为等差数列，，，则当时，最大
10．给定数列，定义差分运算：.若数列满足，数列的首项为1，且，则（ ）
A．存在，使得恒成立
B．存在，使得恒成立
C．对任意，总存在，使得
D．对任意，总存在，使得
11．对函数给出如下新定义：若在区间上为定值（其中表示不超过的最大整数，如），则称为的一个“整元”，将区间上从左到右所有“整元”的和称为在上的“整积分”，下列说法正确的是（ ）
A．在区间上的“整积分”为
B．在区间上的“整积分”为4950
C．在区间上的“整积分”为
D．在区间上的“整积分”为
12．满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（ ）
A．存在非零实数t，使得为等差数列
B．存在非零实数t，使得为等比数列
C．
D．
三、填空题
13．已知等比数列的前项和为，且，，数列的公比 ．
14．已知正项等比数列的前项和为，若，，则 ．
15．若正项等比数列中的是方程的两个根，则 ．
四、解答题
16．已知各项均为正数的等比数列，满足，．
(1)求数列的通项公式；
(2)设，数列的前n项和为．求证：．
17．已知数列满足，且（，且）．
(1)设，求证数列是等差数列．
(2)记，求数列的前项和．
18．已知数列满足，其中．
(1)李四同学欲求的通项公式，他想，如果能找到一个函数，其中是常数，把递推关系变成后，就容易求出的通项了．请问：他设想的存在吗？的通项公式是什么？
(2)记，若不等式对任意都成立，求实数的取值范围．
19．已知实数，定义数列如下：如果，，则．
(1)求和（用表示）；
(2)令，证明：；
(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．
20．已知数列中，，
(1)求的通项公式；
(2)若为的前n项和，是否存在，使得对于任意，都有 若存在，求出k的最小值；若不存在，请说明理由．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．B
【分析】根据题意得到是等比数列，利用等比数列的通项公式得到，利用是递减数列列出关于的不等式，进而求出的取值范围.
【详解】将整理得，
又，易知当时,，不满足是递减数列，故，
因此数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故，因此，
由于是递减数列，故恒成立，得，
化简得，故，
因此，解得，
故选：B．
2．C
【分析】根据等比数列的通项公式求得，继而求得的值，利用等差数列前项和公式进行计算即可.
【详解】数列为等比数列，设公比为q，且，，
则，则，
则，
则，
故选：C.
3．A
【分析】根据等比数列的前和公式建立方程，解出即可.
【详解】设各层塔的灯盏数为，
数列是公比为的等比数列，
由题意可得，
解得，
故选：A.
4．C
【分析】利用等差数列的通项公式，化简求出，判断，利用前项和公式表示，联立方程即可解出.
【详解】数列为等比数列，设首项为，公比为，根据题意有，
即①，所以，若，则有，与不符，所以，
所以②，联立①②两式有：，即
，整理得，解得或.
故选：C
5．C
【分析】设该马第天行走的里程数为，分析可知，数列是公比为的等比数列，利用等比数列的求和公式可求出的值，即可求得的值，即为所求.
【详解】设该马第天行走的里程数为，
由题意可知，数列是公比为的等比数列，
所以该马七天所走的里程为，解得，
故该马第五天行走的里程数为．
故选：C．
6．B
【分析】利用等比数列的性质，结合对数的运算法则即可得解.
【详解】因为是各项均为正数的等比数列，，
所以，即，则
记，则，
两式相加得，
所以，即.
故选：B.
7．A
【分析】根据给定条件，求出数列的通项公式，再求出即可计算得解.
【详解】等比数列的前n项和，则，而，
因此公比，，，显然是等差数列，
所以数列的前5项和等于.
故选：A
8．B
【分析】根据递推公式可得，进而取对数求解通项公式即可得，再列不等式求解即可.
【详解】配方得：．
取对数：，设，则，
又，所以，，．
由放小麦的规则可得小麦总粒数为，
.
故选：B
9．ACD
【分析】选项A，利用等比数列前项和公式，即可求出，从而判断出选项A的正误；选项B，根据条件，利用等比数列的性可求解；选项C，当，为偶数时，，不合题意，从而判断出选项C的正误；选项D，根据条件得出，，即可判断出选项D的正误.
【详解】对于选项A，因为，则数列为等比数列，
由等比数列的前项和公式，知，所以选项A错误，
对于选项B，由，得到，所以，故选项B正确，
对于选项C，若，为偶数时，，显然，，，…不成等比数列，所以选项C错误，
对于选项D，因为，即，又，所以公差，且或，最大，故选项D错误，
故选：ACD.
10．BC
【分析】由已知求出及范围判断AB；利用累加法结合错位相减法求和求出及范围判断C；求出及的范围判断D.
【详解】对于A，由，得，显然有最小值4，无最大值，
因此不存在，使得恒成立，A错误；
对于B，由选项A知，，则，
显然当时，恒成立，B正确；
对于C，由，得，
当时，
即，
于是，
两式相减得，
因此，显然满足上式，则，由，
得数列是递增数列，有最小值1，无最大值，
从而对任意，总存在，使得，C正确；
对于D，，由选项C得，
显然数列是递减数列，，因此对任意，不存在，使得成立，D错误.
故选：BC
【点睛】关键点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
11．BCD
【分析】根据新定义对各选项逐项分析即可得解.
【详解】A选项，，所以区间上的“整积分”为，故选项错误；
B选项，当时，；当时，，以此类推，当时，，
所以区间上的“整积分”为，故B选项正确；
C选项，当时，；
当时，；当时，，以此类推，当时，，
故区间上的“整积分”为，故C选项正确；
选项，当时，，“整元”为；
当时，，“整元”为；当时，，“整元”为，以此类推，当时，，“整元”为．
设在区间上的“整积分”为，则①，
所以②，②①得，故D选项正确，
故选：BCD．
12．BCD
【分析】对A、B：借助等差数列与等比数列定义计算即可得；对C：借助代入即可得；对D：由，得到，从而将展开后借助该式裂项相消即可得.
【详解】对A：若数列为等差数列，则有，
即，由，
故有恒成立，即有，无解，
故不存在这样的实数，故A错误；
对B：若数列为等比数列，则有，
即，由，
故有恒成立，即有，
即，解得，此时，
故存在非零实数t，使得为等比数列，故B正确；
对C：由，
则，
即有，故C正确；
对D：由，
故，
故
，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：D选项中关键点在于由，得到，从而将展开后可借助该式裂项相消.
13．
【分析】利用等比数列前n项和公式联立方程组即可求解.
【详解】由题意可知：，
根据等比数列的前项公式可得：①，②,
联立①②可得，解得.
故答案为：
14．
【分析】利用等比数列的通项公式与求和公式即可求解.
【详解】设等比数列的公比为，由题意知且，
则，解得．
则，，
．
故答案为：.
15．
【分析】根据等比中项结合对数运算分析求解.
【详解】因为正项等比数列中的是方程的两个根，
则，
所以
.
故答案为：.
16．(1)；
(2)证明见详解.
【分析】（1）根据已知列方程组求出基本量，然后可得通项；
（2）先根据等差数列求和公式求，然后利用裂项相消法求即可得证.
【详解】（1）记数列的公比为，
则，解得，
所以.
（2）由（1）可得，，
所以，
所以，
所以，
因为，所以，
所以，即.
17．(1)证明见解析；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的定义，结合已知递推公式，求得为常数即可；
（2）根据（1）中所求得到，再利用错位相减法求解即可.
【详解】（1）证明：因为，则，
则，即；
故数列是首项为，公差为的等差数列.
（2）由（1）可知，，即，解得；
则，
故
即，
，
故
，
故.
18．(1)存在，
(2)
【分析】（1）由题可得，结合可求得，然后由等比数列通项公式即可求解；
（2）先利用分组求和法求得，然后分离参数，令，当时，作差，利用二项式定理证明的单调性，然后验证时即可得最小值，然后可解.
【详解】（1），
所以只需，
，则，
，故李四设想的存在， ，
，
是以3为公比，2为首项的等比数列，
，
.
（2）
由，得，
设，则，
当时，.
，
当时，
，所以的取值范围为
19．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；
（2），分别计算和可证明结论；
（3）先根据无上界说明存在正整数，使得，分是偶数和是奇数分别说明.
【详解】（1）因为，所以；
因为，所以；
（2）由数列定义得：；所以．
而，
所以；
（3）当，由（2）可知，无上界，故对任意，存在，使得．
设是满足的最小正整数．下面证明．
①若是偶数，设，
则，于是．
因为，所以．
②若是奇数，设，
则．
所以．
综上所述，对于任意正整数，存在正整数，使得．
20．(1)
(2)存在，7.
【分析】（1）待定系数法，求出，即可得出；
（2）错位相减法求出，然后判断出数列单调性，求值得出答案即可.
【详解】（1）由可得，
，即，
又，
所以，
即，所以．
（2），
，
两式相减得
，
易知单调递增，
又，
，
所以存在满足条件的k，k的最小值是7．
答案第1页，共2页
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