5.5数学归纳法同步练习（含解析）2023-2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册

5.5数学归纳法同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．用数学归纳法证明“”的过程中，从到时，左边增加的项数为（ ）
A． B． C． D．
2．在正项数列中，，，则（ ）
A．为递减数列 B．为递增数列
C．先递减后递增 D．先递增后递减
3．“”表示实数整除实数，例如：，已知数列满足：，若，则，否则，那么下列说法正确的有（ ）
A． B．
C．对任意，都有 D．存在
4．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2024项的和为（ ）
A．1348 B．675 C．1349 D．1350
5．意大利数学家列昂那多斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等领域都有着广泛的应用.若此数列被2除后的余数构成一个新数列，则数列的前2023项的和为（ ）
A．1348 B．675 C．1349 D．1350
6．利用数学归纳法证明不等式（，）的过程中，由到时，左边增加了（ ）
A．1项 B．k项 C．项 D．项
7．用数学归纳法证明“当为正奇数时，能被整除”，第二步归纳假设应写成（　　）
A．假设正确，再推正确
B．假设正确，再推正确
C．假设正确，再推正确
D．假设正确，再推正确
8．用数学归纳法证明“对任意的，”，第一步应该验证的等式是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（多选题）已知数列{}的前n项和为，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．存在，使得
C． D．是单调递增数列，{}是单调递减数列
10．用数学归纳法证明不等式的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．使不等式成立的第一个自然数
B．使不等式成立的第一个自然数
C．推导时，不等式的左边增加的式子是
D．推导时，不等式的左边增加的式子是
11．已知数列中，，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，数列为常数列
B．当时，数列单调递减
C．当时，数列单调递增
D．当时，数列为摆动数列
12．设是定义在正整数集上的函数，且满足：“当成立时，总可推出成立”，那么下列命题不成立的是（ ）
A．若成立，则当时，均有成立
B．若成立，则当时，均有成立
C．若成立，则当时，均有成立
D．若成立，则当时，均有成立
三、填空题
13．用数学归纳法证明“”时，第一步需要验证的不等式为
14．用数学归纳法证明时，从 “到”左边需要增加的代数式是
15．数列满足：.若数列单调递减，则c的取值范围是 ；若数列单调递增，则c的取值范围是 .
四、解答题
16．已知数列满足，设该数列的前项和为，且，，成等差数列.
(1)用数学归纳法证明：（是正整数）；
(2)求数列的通项公式.
17．在数列{an}中，．
(1)求出，猜想的通项公式；并用数学归纳法证明你的猜想．
(2)令，为数列的前n项和，求．
18．数列有100项，，对任意，存在,若与前n项中某一项相等，则称具有性质P．
(1)若，写出所有可能的值；
(2)若不是等差数列，求证：数列中存在某些项具有性质P;
(3)若中恰有三项具有性质P，这三项和为，请用表示．
19．已知函数，设，且任意的，有.
(1)求的值；
(2)试猜想的解析式，并用数学归纳法给出证明.
20．数列满足为正整数.
(1)试确定实数的值，使得数列为等差数列；
(2)当数列为等差数列时，等比数列的通项公式为，对每个正整数，在和之间插入个2，得到一个新数列，设是数列的前项和，试求满足的所有正整数.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．A
【分析】
根据和时，对比左边的表达式，进行计算即可.
【详解】时，可得：
时，可得：，
故增加了项.
故选：A
2．A
【分析】先判断大小关系，进而假设数列单调性，利用数学归纳法证明即可得结论.
【详解】由，且，
显然成立，
假设，成立，
当时，则，
所以，故为递减数列.
故选：A
3．C
【分析】根据递推关系可计算，，故可判断AB的正误，利用数学归纳法可证：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数，故可判断CD的正误.
【详解】因为，故，故，
而，故，故A错误.
但，故，此时，故B错误.
下面用数学归纳法证明：除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.
当时，，此时除3余1，除3余2，
且，为奇数，为偶数.
设当时，除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.
则当时，为奇数，为偶数，
为奇数，
又与除3余数相同，故除3余1，故除3余2，
故除3余2，
由数学归纳法可得除3余1，除3余2，且，为奇数，为偶数.
故除3余1，除3余2，故除3余0，即，
故C正确.
由C的分析可得没有项使得，否则除以3的余数为0，故D错误.
故选：C.
【点睛】方法点睛：对于给定的数列的递推关系，要研究数列的若干性质，注意从而特殊情况总结出一般规律，再 利用数学归纳法证明即可.
4．D
【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，再利用数学归纳法证明猜想，从而可求得答案.
【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，
显然，
猜想：，
当时，成立；
假设当时，成立，
则为奇数，为偶数；
当时，则为奇数，
为奇数，为偶数，
故符合猜想，
因此，，
所以数列的前2024项的和为.
故选：D
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
5．C
【分析】由已知条件写出数列的前若干项，观察发现此数列周期为3，从而可求得答案.
【详解】依题意，若，等价于为偶数，若，等价于为奇数，
显然，
猜想：，当时，成立；
假设当时，成立，则为奇数，为偶数；
当时，则为奇数，为奇数，为偶数，
故符合猜想，因此，
，所以数列的前2023项的和为.
故选：C
【点睛】方法点睛：本题主要考查数列的周期性以及应用，考查了递推关系求数列各项的和，利用递推关系求数列中的项或求数列的和：
（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；
（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
6．D
【分析】
利用数学归纳法，分别写出和的式子，作差能够得到增加的项.
【详解】当时，左边，
当时，左边，
左边增加的项为，共项.
故选：D
7．B
【分析】
注意为正奇数，观察第一步取到1，即可推出第二步的假设．
【详解】
解：根据数学归纳法的证明步骤，注意为奇数，
所以第二步归纳假设应写成：假设正确，再推正确；
故选：B．
【点睛】
本题是基础题，不仅注意第二步的假设，还要使n＝2k﹣1能取到1，是解好本题的关键
8．B
【分析】
由数学归纳法相关步骤可得答案.
【详解】因，则第一步应验证当时，是否成立.
故选：B
9．ACD
【分析】由整理得，令，得到，借助反比例函数和的单调性得到和的增减性，即可判断D选项；根据求的范围即可判断C选项；利用数学归纳法证明，，即可得到，，即可判断A选项，根据，，可得，即可判断B选项.
【详解】对于D，由可得，
令，则，又，则，，
当时， ，，，
设，在上单调递增，
∵，∴，传递下去，可得，
同理可得，∴是单调递增数列，是单调递减数列，
又∵，在R上单调递增，
所以是单调递增数列，是单调递减数列，故D正确；
对于C，由，得，，得，
∴，即，
∵，∴，
，
显然，故C正确；
对于A，先证：，
当时，成立，
假设当时，成立，
那么当时，成立，
综上，成立，
同理可得，
∴，即，故A正确；
对于B，要使，则，而，，
所以，即，故B错误.
故选：ACD.
【点睛】方法点睛：利用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：
①证明当时命题成立；
②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”，
只要完成这两个步骤，就可以判断命题对从开始的所有正整数都成立.
10．BC
【分析】根据数学归纳法逐项分析判断.
【详解】当时，可得；当时，可得；
即使不等式成立的第一个自然数，故A错误，B正确；
当时，可得；
当时，可得；
两式相减得：，
所以推导时，不等式的左边增加的式子是，故C正确，D错误；
故选：BC.
11．ABC
【分析】求出数列各项的值，可判断A选项；利用数列的单调性可判断B选项；利用数学归纳法推导出，结合数列的单调性可判断C选项；取，求出数列各项的值，可判断D选项.
【详解】对于A选项，当时，，
由可得，，，，
以此类推可知，对任意的，，此时，数列为常数列，A对；
对于B选项，当时，则，此时，数列单调递减，B对；
对于C选项，因为，，且，则，
猜想，，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
因为，则，则函数在上单调递增，
所以，，即成立，
由数学归纳法可知，对任意的，，
所以，，此时，数列单调递增，C对；
对于D选项，当时，取，则且，
则，，，，
以此类推可知，当且时，，即，
此时，数列不是摆动数列，D错.
故选：ABC.
【点睛】方法点睛：判断数列单调性的方法有：
（1）利用数列对应的函数的单调性判断；
（2）对数列的前后项作差（或作商），利用比较法判断.
12．ABC
【分析】根据题设结论逐项分析判断.
【详解】对于A，若成立，由题意只可得出当时，均有成立，故A错误；
对于B，若成立，则当时均有成立，故B错误；
对于C：因为不满足题设条件，故不能得出相应结论，故C错误；
对于D：若成立，则当时，均有成立，故D正确；
故选：ABC.
13．
【分析】因，故第一步需要验证的是时的不等式，代入整理即得.
【详解】用数学归纳法证明“”时，
第一步需要验证，当时，不等式，即成立，
故答案为：.
14．
【分析】
利用数学归纳法的步骤计算即可.
【详解】把和代入等式左边分别可得：
①
②
两式作差得.
故答案为：
15．
【分析】若数列单调递减，则恒成立，可得恒成立，由此可得c的范围.若数列单调递增，则，即，且母函数.数列有极限，其值为其不动点.又在上单调增加，故，所.于是只需要证明时满足条件，时不满足条件即可.
【详解】①若数列单调递减，因为，则，即，因此恒成立，
即恒成立，即恒成立，即恒成立，
所以c＜0.
②数列单调递增，则当时，，
当时，，而函数在上单调递增，
则，即，
假设当n＝k，k∈时，，
则，即，
因此由数学归纳法可得，即数列单调递增；
当时，因为，则，即，
有，，而，
于是，即有，
从而，
则，
令，
故当时，，
此时，而在上单调递减，
∴，即，与题意矛盾.
综上，的取值范围是.
故答案为：；
16．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）先根据题意得到之间的等式关系，再证明时，符合题意，而后假设时，所证成立，最后再根据之间的关系，推出时所证成立即可；
（2）根据（1）的结论，结合，可得出当时，的通项公式，再验证时，是否符合通项公式，最后写出通项公式即可。
【详解】（1）证明：因为，，成等差数列，所以，
因为，所以上式可化简为，
将带入上式可得：，
当时，，符合，
假设当时，有成立，
则当时，，
因为，所以,
所以,符合，
故有成立；
（2）由（1）可得，，
当时，，
因为，符合，
故。
17．(1)，，，证明见解析
(2)
【分析】（1）代入计算即可得到，按照数学归纳法的步骤证明即可；
（2），再利用错位相减法即可.
【详解】（1）∵，
∴
因此可猜想: ；
当时，，等式成立，
假设时，等式成立，即，
则当时，，
即当时，等式也成立，
综上所述，对任意自然数，.
（2），
①
②
由①-②得：
18．(1)3,5,7
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）根据定义式子代入即可求解；
（2）通过数学归纳法证明逆否命题为真命题；
（3）分析去掉具有P性质三项后，得到等差数列求和即可.
【详解】（1），；
当时，；当时，；
，
若，则；若，则；
若，则（与时重复），或；
所以的可能值有
（2）假设中不存在满足性质的项，即对任意均有；
下面数学归纳法证明，是等差数列；
①当时，成立；
②设当且时，；
则当时，因为不具有性质，故
而又存在，故，即；
综上所述，当中不存在满足性质的项时，时等差数列成立；
故其逆否命题：当不是等差数列时，中存在满足性质的项成立.
（3）将数列中具有性质的三项去掉，得到一个新的数列，，，，
且中没有满足性质的项，
由（2）可知，数列是等差数列， 所以，
又因为数列中去掉的三项和为，所以.
【点睛】方法点睛：本题属于数列新定义问题，重点考查新定义“性质”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力.处理带否定词的命题经常通过证明其逆否命题得到.而（3）题关键是分析得出去掉三项后，得到一个等差数列再求和.
19．(1)；
(2)，证明见解析
【分析】（1）利用给定条件，依次计算的值.
（2）由已知及（1）的结论猜想，再利用数学归纳法证明即得.
【详解】（1）由，任意的，有，
得，，，
所以.
（2）由（1）猜想：.
用数学归纳法证明如下：
①当时，，猜想正确；
②假设当时，猜想正确，即，
则当时，，因此当时，猜想正确，
由①②知，对任意的，都有.
20．(1)；
(2).
【分析】（1）由已知有，写出前3项并利用等差中项的性质列方程求t即可.
（2）根据（2）和题设列举数列，易判断不合题意，适合题意，要使时成立，必为中一项得整理化简有，结合数学归纳法判断上述等式恒不成立，即可得结果.
【详解】（1）由，得，于是，
由，可得，此时，
由知：此时数列为等差数列.
（2）由（2）及题设知：为，
则，显然不合题意，适合题意，
当时，若后添入，则，不合题意，
从而必是数列中的某一项，则，
则 即，整理，
显然k=1，2，3，4不是该方程的解，而当时，成立，证明如下：
当n = 5时，，左边大于右边，不等式成立；
假设时，成立，
当时，
因此当时，不等式成立，
所以恒成立，即无正整数解．
所以满足题意的正整数仅有.
【点睛】关键点睛：涉及给出递推公式探求数列规律的问题，按条件写出变量的前几个取值对应数列，认真分析每个变量对应的数列，找准变化规律是解决问题的关键.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页