6.1导数 同步练习（含解析）2023-2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册

6.1导数同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知二次函数的图象与轴交于、两点，图象在、两点处的切线相交于点．若，则的面积的最小值为（ ）．
A． B． C． D．
2．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（ ）．
A． B． C．2 D．
3．若直线与曲线（且）无公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．函数的导数（ ）
A． B．
C． D．
5．某质点沿直线运动，位移S（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则当s时该质点的瞬时速度为（ ）
A． B． C． D．
6．给出定义：设是函数的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．已知函数的“拐点”是，则点G（ ）
A．在直线上 B．在直线上
C．在直线上 D．在直线上
7．已知函数，则曲线在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．若函数的图像在点处的切线恰为直线，则（ ）
A．3 B． C．1 D．
二、多选题
9．已知定义域为的函数满足为的导函数，且，则（ ）
A．
B．为奇函数
C．
D．设，则
10．下列选项正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．设函数，且，则
11．已知函数的图象在y轴上的截距为，是该函数的最小正零点，则（ ）
A．
B．恒成立
C．在上单调递减
D．将的图象向右平移个单位，得到的图象关于轴对称
12．已知函数，，则（ ）
A．恒成立的充要条件是
B．当时，两个函数图象有两条公切线
C．当时，直线是两个函数图象的一条公切线
D．若两个函数图象有两条公切线，以四个切点为顶点的凸四边形的周长为，则
三、填空题
13．已知函数（是的导函数），则曲线在处的切线方程为 ．
14．已知函数，，若存在实数使得且，则实数的取值范围为 .
15．函数 在区间上的平均变化率为 ，
四、解答题
16．已知函数，记的图象为曲线C．
(1)若以曲线C上的任意一点为切点作C的切线，求切线的斜率的最小值；
(2)求证：以曲线C上的两个动点A，B为切点分别作C的切线，，若恒成立，则动直线AB恒过某定点M．
17．设函数，函数在点处的切线方程为．
(1)求的解析式；
(2)证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．
18．（1）已知k，，且，求证：；
（2）若，且，证明：；
（3）设数列，，，…，是公差不为0的等差数列，证明：对任意的，函数是关于x的一次函数.
19．已知函数．
(1)若第一象限内的点在曲线上，求到直线的距离的最小值；
(2)求曲线过点的切线方程．
20．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.
(1)求证：；
(2)设点是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】根据导数的几何意义可得切线方程及点坐标，结合韦达定理及面积公式可得面积的最值.
【详解】设，，
则与是方程的两根，
则，，
，
又，
则函数在点处的切线方程为，
同理函数在点处的切线方程为，
则，解得，
即点，
则，当且仅当时等号成立，
故选：C.
2．A
【分析】求导，求出切点坐标，利用点线距求解.
【详解】∵，设为所求的点，
则
得，，则点P到直线的最小距离为．
故选:A.
3．D
【分析】由时，易知直线与曲线必有一个公共点，当时，由直线与曲线相切，利用导数法求得，再由图象位置判断．
【详解】解：当时，直线与曲线必有一个公共点，不合题意，
当时，若直线与曲线相切，设直线与曲线相切于点，则，得．
由切点在切线上，得，
由切点在曲线上，得，
所以，．
如图所示：
故当直线与曲线（且）无公共点时，．
故选：D
【点睛】思路点睛：时，由单调递增，单调递减容易判断；时，利用导数法研究直线与曲线相切时a的值，再根据对数函数在第一象限内随底数a的增大,图象向x轴靠近而得解.
4．C
【分析】根据复合函数的求导法则直接求解即可.
【详解】
，
故选：C
5．B
【分析】求出函数的导数，根据导数的几何意义求解.
【详解】因为，
所以，
所以，
即当s时该质点的瞬时速度为24m/s.
故选：B.
6．D
【分析】对函数求导，根据“拐点”定义可得，即可知在直线上.
【详解】由可得，
所以，可得；
因此，
即“拐点”即为，在直线上．
故选：D．
7．C
【分析】代入法求得，以及利用导数的四则运算法则求得进一步求得即可得解.
【详解】由题意知，，
∴曲线在处的切线斜率为，
∴曲线在处的切线方程为，且.
故选：C．
8．D
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由条件可得，，即可求得．
【详解】函数的导数为，
由题意可得，图像在点处的切线恰为直线，
所以，，解得，，
即．
故选：D．
9．ABD
【详解】对于A：令可得；对于B：令可得；对于C ：先确定的奇偶性，然后令后对两边同时求导，再代入即可；对于D：利用累加法求通项公式.
【点睛】对于A：令得，所以，A正确；
对于B：令得，所以，B正确；
对于C：因为，所以，即，
所以为偶函数，由可得，
令得，
则，令，得，
所以，C错误；
对于D：因为，，
所以，且
所以，相加可得，
所以，则，D正确.
故选：ABD.
10．AD
【分析】根据题意，由基本初等函数的求导公式以及导数的四则运算代入计算，逐一判断，即可得到结果.
【详解】因为，则，则，故A正确；
因为，则，故B错误；
因为，则，故C错误；
因为，则，又，
则，即，所以，故D正确；
故选：AD
11．AC
【分析】由题意求出，然后由余弦型函数的性质判断即可.
【详解】函数的图象在y轴上的截距为，
所以，因为，所以.故A正确；
又因为是该函数的最小正零点，
所以，所以，
解得，所以，，
所以，故B错误；
当时，，故C正确；
将的图象向右平移个单位，得到，
是非奇非偶函数，图象不关于轴对称，故D错误.
故选：AC.
12．ACD
【分析】根据导数求解恒成立即可求解A，根据导数求解切线方程，根据公切线的性质即可结合选项求解BCD.
【详解】对于A，若恒成立，即恒成立，
而恒成立，所以，解得，故A正确；
对于B，设切点,，,，，，
有，
①代入②，可得，
当时，代入方程解得：，
，方程无解，即两个函数图象无公切线，故B错误；
对于C，当时，代入方程得：，
，故，，
所以函数与的一条公切线为：，故C正确；
对于D，如图，不妨设切线与切于，与切于，
设,，,，,，,，，，
故
所以，，
，同理，
则中点即可中点，
所以四边形是平行四边形，
由处的切线方程为，
处的切线方程为，
得，即，结合可知， 是方程的根，
由C选项可知：是的两个切点，所以，也是方程的根，
所以,且,故，
则，，
，
，
令，则，
故，故D正确．
故选：ACD．
【点睛】关键点点睛：本题BC选项的关键是设切点，根据导数含义和斜率定义得到，再整理化简代入值即可判断.
13．．
【分析】由导数的几何意义先求出切线的斜率，再求出切点坐标，有点斜式求出切线方程即可.
【详解】由题意设切点，因为 ，
令，得，
由导数几何意义知：，
又，所以，
故曲线在处的切线方程为：，
整理得： .
故答案为：.
14．
【分析】根据题意，利用两点的斜率公式把问题转化为的取值范围为两点连线斜率范围，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解.
【详解】由题意，相减得，又，所以，
则表示点与点连线的斜率，则的取值范围为两点连线斜率范围，
设过点与的切线为（过原点切线为割线斜率的上界），切点为，由，则，
所以，所以切线方程为，又切线过点，所以，解得，
所以切线方程为，即.
如图：

由图可知，，所以，即实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题考查了方程有根求参数范围问题，解题的关键是转化为，利用几何思想将问题转化为点与点连线的斜率范围问题，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解，属较难题.
15．1
【分析】利用平均变化率计算即可.
【详解】由平均变化率可知.
故答案为：1
16．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）利用导数求出切线的斜率，再借助二次函数求出最小值.
（2）设出点的坐标，再结合两条切线平行，列式计算推理即得.
【详解】（1）由函数，求导得，
因此曲线C在处切线的斜率为，当且仅当时取等号，
所以切线的斜率的最小值为.
（2）设点，，由，得，
即，整理得，因此，
于是
，
显然点是线段的中点，
所以当时，直线恒过定点.
17．(1)
(2)证明见解析，定值为6
【分析】（1）根据导数的几何意义以及切线方程，即可列式求解；
（2）首先求曲线上任一点处的切线方程，并结合图象，求三角形的面积，即可求解.
【详解】（1）直线的斜率为，将代入直线方程得，
，由题意可知，，且，
即，解得：，
所以；
（2）设曲线上任一点为，，
曲线在点处的切线方程为，
整理为，当时，，
联立，得，
如图，即，，
所以，
所以曲线上任意一点处的切线与直线和所围成的三角形面积为定值，定值为6.
18．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析
【分析】（1）运用组合数运算公式进行计算证明即可；
（2）法一：运用组合数运算公式，结合（1）的结论进行计算证明即可；法二：利用分析法，结合导数的运算性质进行计算证明即可；
（3）运用等差数列的通项公式，逆用二项式定理进行证明即可.
【详解】（1）左边，
右边，
所以；
（2），
而，
所以.
所以.
所以，原命题成立.
另法：，
要证，只需证.
设，
由，
两边同时求导，
得
令，得，
即得证.
所以，原命题成立.
（3）由条件，设等差数列，，，…，的公差为d，，
则
.
因为，所以对任意的，是关于x的一次函数.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是第一问的证明，后续证明需要第一问的结论，利用二项式定理和等差数列的性质也是本题的关键.
19．(1)
(2)
【分析】（1）设，求出在点的切线斜率与直线的斜率相等时，点的坐标，进一步计算即可；
（2）设出切点坐标，利用斜率相等建立方程，解出后求得切点坐标，进一步计算即可.
【详解】（1）设，由题意得，
当曲线在的切线与平行时，到的距离最小，
此时，
得，即，则
故到的距离的最小值为．
（2）设所求切线的切点为，
由（1）得，则，
解得，所以切点为，
切线的斜率为．
故所求的切线方程为，
即．
20．(1)证明见解析
(2)
【分析】
（1）利用导函数的几何意义求得直线的表达式，得出三点的坐标，联立直线与抛物线方程根据韦达定理得出；
（2）利用点到直线距离公式可求得，可求出的最小值.
【详解】（1）因为抛物线的焦点为，
所以，即的方程为：，如下图所示：
设点，
由题意可知直线的斜率一定存在，设，
联立得，
所以.
由，得，
所以，即.
令，得，即，
同理，且，
所以.
由，得，即.
所以.
故.
（2）设点，结合（1）知，即
因为，
所以.
同理可得，
所以.
又，
所以.
当且仅当时，等号成立；
即直线斜率为0时，取最小值；
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页