第五章数列综合复习训练（含解析）2023-2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册

第五章数列综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知公差不为0的等差数列满足成等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知数列满足，则“ ”是“ 是等比数列”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知两个等差数列与的前项和分别为和，则使得的值为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．2 B．4 C．8 D．13
5．已知数列为等差数列，，则的公差为（ ）
A．2 B．6 C．1 D．14
6．已知正项等比数列的前n项和为，若，且与的等差中项为，则（ ）
A．29 B．31 C．33 D．36
7．已知数列的前项和为，，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在等比数列中，．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．等差数列中，为其前项和，，则以下说法正确的是（ ）
A． B．
C．的最大值为 D．使得成立的最大整数
10．已知数列，，满足，，当时，，则（ ）
A． B．
C． D．
11．已知数列是单调递增的等比数列，且，，则（ ）
A． B．．
C．与的等比中项为4 D．数列是公差为的等差数列
12．设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（ ）
A．是等差数列 B．是等比数列
C．9980是中的一项 D．
三、填空题
13．设等差数列的前项和为，若，，则 .
14．已知等比数列的前项和为，若，为实数，则 .
15．已知数列的前项和为，且，给出下列结论：①；②；③；④存在常数，使得数列是等比数列．其中所有正确结论的序号为 ．
四、解答题
16．已知数列，记集合.
(1)若数列为，写出集合；
(2)若，是否存在，使得？若存在，求出一组符合条件的；若不存在，说明理由；
(3)若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为， 若，求的最大值．
17．如果数列，其中，对任意正整数都有，则称数列为数列的“接近数列”．已知数列为数列的“接近数列”．
(1)若，求的值；
(2)若数列是等差数列，且公差为，求证：数列是等差数列；
(3)若数列满足，且，记数列的前项和分别为，试判断是否存在正整数，使得？若存在，请求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由．（参考数据：）
18．已知数列是正项等比数列，其前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)记的前n项和为，求满足的最大整数n．
19．已知数列为等差数列，且．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，记，求．
20．已知数列的前项和为，且．
(1)证明数列为等比数列，并求的通项公式；
(2)在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
(3)若对于任意，数列的前项和恒成立，求实数的取值范围．
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参考答案：
1．A
【分析】借助等差数列的性质计算可得，代入计算即可得.
【详解】设等差数列的公差为，
由题意可得，
即，即，即，即，
则.
故选：A.
2．C
【分析】根据充分必要条件的证明方法，结合等比数列的定义与数列递推式即可得解.
【详解】当时，因为，所以，
又，则，则，
依次类推可知，故，
则是首项为，公比为的等比数列，即充分性成立；
当是等比数列时，因为，所以，
当时，，则是公比为的等比数列，
所以，即，
则，，，
由，得，解得，不满足题意；
当，即时，易知满足题意；
所以，即必要性成立.
故选：C.
3．C
【分析】根据题意，由等差数列前n项和的性质可得，令即可得答案.
【详解】根据题意，两个等差数列和，
则＝＝＝＝＝＝，
当时，
故选：C.
4．B
【分析】根据条件，求出，，再利用等比数列的通项公式及前项和公式，即可求出结果.
【详解】设等比数列的公比为，因为，所以，解得，
又因为，所以，解得，
，，所以，
（另解：）
故选：B．
5．B
【分析】利用等差数列的通项公式的变形即可得解.
【详解】根据题意，因为等差数列中，，
所以公差.
故选：B．
6．B
【分析】设公比为，将两个条件中的量分别用表示，解方程组即得的值，代入等比数列的前n项和公式计算即得.
【详解】不妨设等比数列的公比为，由可得：，因，则①
又由与的等差中项为可得：，即②
将①代入②，可得：，回代入①，解得：，于是
故选：B.
7．B
【分析】根据给定的递推公式求出，再按为奇数、偶数分类求解即可得的范围.
【详解】由，得，当时，，则，
整理得，即，而，解得，
于是，数列是首项为，公比为的等比数列，
因此，即，由，得，
当为奇数时，，即，显然为递增数列，
当时，，于是，
当为偶数时，，即，显然恒有，于是，
所以实数的取值范围为.
故选：B
8．B
【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，即有，又，故且，
当时，有，故不能得到，
即“”不是“”的充分条件；
当时，即有，即且，
则，当时，由，故，故，
当时，，亦可得，
故“”是“”的必要条件；
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
9．ABD
【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出公差，再逐项计算判断即可.
【详解】在等差数列中，由，得，则，
因此，而，则，
对于A，公差，A正确；
对于B，，因此，B正确；
对于C，，数列单调递减，其前8项均为正数，从第9项起为负数，
因此的最大值为，C错误；
对于D，，由，得，
因此使得成立的最大整数，D正确.
故选：ABD
10．ABD
【分析】依题意可得，从而得到，则单调递增，推导出①，再由得到，结合①判断B，当时，将上式两边平方即可得到，利用不等式的性质得到，即可判断A，结合函数的单调性判断C，利用基本不等式判断D.
【详解】由，，
所以，又，显然，所以，
所以单调递增，则单调递减，
即，所以①，
由，设，
即、为关于的方程的两根，所以，
即，则，代入①得，故B正确；
当时，所以，
所以，
所以，，，，
所以，则，
所以，所以，故A正确；
因为单调递增，所以，又因为函数在上单调递增，
所以，
所以，
所以，故C错误；
因为
，
当且仅当时取等号，故D正确.
故选：ABD
【点睛】关键点点睛：本题关键是以递推公式推导出的单调性及，再结合不等式的知识判断.
11．BD
【分析】由等比数列的性质可得，联立可求解，从而求出通项公式，依次代入判断选项即可.
【详解】因为数列是单调递增的等比数列，所以．
由，解得或（舍去），
则数列的公比，，，则，与的等比中项为，所以AC错误，B正确；
因为，
所以数列是公差为的等差数列，所以D正确；
故选：BD．
12．AB
【分析】A选项，变形得到，得到A正确；B选项，在A选项基础上求出，故，利用等比数列定义求出B正确；C选项，，显然单调递增，求出，，故C错误；D选项，错位相减法求和得到D错误.
【详解】A选项，，
故为等差数列，公差为1，首项为，A正确；
B选项，由A选项可知，，
故，所以，故为等比数列，B正确；
C选项，由B选项知，，显然单调递增，
，，故9980不是中的一项，C错误；
D选项，①，
故②，
式子①-②得，，
故，D错误.
故选：AB
13．10
【分析】由已知条件计算出和公差，再根据等差数的前项和公式求解即可.
【详解】解：因为为等差数列，，即，所以，
又因为，所以，所以，
所以，，
所以公差，所以，
所以.
故答案为：10
14．
【分析】根据已知和求通项及等比数列通项公式可得结果.
【详解】当时，，
当时，，
所以，，因为为等比数列，所以，
即，解得或0（舍去），
所以，，公比，所以.
故答案为：.
15．②③④
【分析】由已知化简可得，利用作差法判断数列为递减数列可判断①，由已知求得，进而可得，可判断②，由可得，进而有，化简可判断③，化简可得，进而判断④.
【详解】对于①：因为，所以，得，又，
所以，即，故①错误．
对于②：在中取，得，所以，则，②正确．
对于③：由可得，所以，③正确．
对于④：由得，而，所以数列是等比数列，（点拨：等比数列的概念）④正确．
故答案为：②③④
16．(1)
(2)不存在，使得成立
(3)
【分析】（1）根据题目给出的集合的定义求解即可；
（2）使用假设法，假设存在，使得，进行计算检验，从而得出结论；
（3）首先证明时，对任意的都有，然后证明除形式以外的数都可以写成若干个连续正整数之和，分类讨论即可得解.
【详解】（1）由题意可得，，，
所以.
（2）假设存在，使得，
则有，
由于与的奇偶性相同，与奇偶性不同，
又，，
所以中必有大于等于的奇数因子，这与无以外的奇数因子矛盾，
故不存在，使得.
（3）首先证明时，对任意的都有，
因为，
由于与均大于且奇偶性不同，
所以为奇数，对任意的都有，
其次证明除形式以外的数，都可以写成若干个连续正整数之和，
若正整数，其中，
则当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
当时，由等差数列的性质可得：
，此时结论成立，
对于数列，此问题等价于数列其相应集合中满足有多少项，
由前面证明可知正整数不是中的项，
所以的最大值为.
【点睛】本题考查了等差数列及数列的综合问题，考查了求数列下标最值，同时考查了分类讨论的思想，计算量较大，属于难题.
17．(1)
(2)证明见解析
(3)存在，17
【分析】（1）将分别代入即可求解；
（2）利用等差数列的定义和绝对值不等式性质先证充分性，再证必要性即可；
（3）构造等比数列求出的通项公式，进一步求其前n项和，分n为奇数和偶数两种情况结合数列的单调性，确定的通项，进而确定，再解不等式求解即可.
【详解】（1）由题：令则，即，故，
得，又，同理可得，.
（2）由题意，
故，
从而，即，
因为，所以即，故数列是等差数列.
（3）因为,则，解得，
又，故是以为首项，公比为的等比数列，
则，即，
当n为奇数时，，易知单调递减，
故，得，进一步有；
当n为偶数时，，易知单调递增，
故，即，得，进一步有；
综上，，
易知
当n为偶数时，由，得即，无解；
当n为奇数时，
由,得即，
故，所以存在正整数，使得，正整数的最小值为17.
【点睛】关键点点睛：本题考查数列的通项公式及求和，关键是分奇数和偶数并利用数列单调性确定的范围来确定.
18．(1)
(2)
【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式和前项和公式列方程组解出公比，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得，然后用分组求和法即可求，分别计算和，即可确定的值.
【详解】（1）设的公比为，则，
因为，所以，
依题意可得，即，
整理得，
解得或（舍去），
所以.
（2）由（1）可知，
故
显然，随着的增大而增大，
，
，
所以满足的最大整数.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根据条件得出数列为等比数列，再根据条件求出，即可求出结果；
（2）根据（1）得到，再利用错误相减法，即可求出结果.
【详解】（1）设等差数列的公差为，则，即，则，
则数列为等比数列，设其公比为，由，
得且，解得，所以．
（2）由（1）可得，
所以①，
②，
①②得：
，
所以．
20．(1)证明见解析，
(2)
(3)
【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得证，再由等比数列通项公式计算可得；
（2）依题意可得则，利用错位相减法计算可得；
（3）依题意可得（）恒成立，令，利用作差法判断的单调性，即可求出的最小值，即可得解．
【详解】（1）因为①，
当时，，所以．
当时，②，
由①－②得，即，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所以，故．
（2）因为，所以，
解得，所以．
所以，
，
两式相减得
，
所以．
（3）由于对于任意，恒成立，即恒成立，
等价于的最小值大于．
令，则，
所以数列是递减数列，故数列中的最大值为，
所以的最小值为，所以当对于任意恒成立时，．
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