第六章 导数及其应用综合复习训练（含解析）2023-2024学年人教B版（2019）高中数学选择性必修第三册

第六章导数及其应用综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设函数在处存在导数为2，则（ ）
A．1 B．2 C． D．3
2．已知方程有4个不同的实数根，分别记为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数的导数的最小值为0，则函数的零点为（ ）
A．0 B． C． D．
4．已知函数，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
5．曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．已知，则下列各式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．已知函数为奇函数，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
8．如图是的导函数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ）
A．当时，取得极大值 B．在上是增函数
C．当时，取得极大值 D．在上是增函数，在上是减函数
二、多选题
9．已知函数，则下列选项正确的是（ ）
A．在上单调递减
B．恰有一个极大值
C．当时，有三个零点
D．当时，有三个实数解
10．已知函数，，若直线与曲线和分别相交于点，，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．
11．下列结论正确的有（ ）
A．若不存在，则曲线在点处没有切线
B．函数的导数为
C．函数在上单调递减
D．函数的切线与函数的图象可以有两个公共点
12．已知函数的图象与直线的交点个数分别为3，1，则（ ）
A．在上单调递增
B．1是的极大值点
C．
D．或
三、填空题
13．已知定义域为的函数，对，若存在，对任意的，有恒成立，则称为函数的“特异点”.函数 在其定义域上的“特异点”个数是 个.
14．已知函数（为自然对数的底数），若关于的方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是 ．
15．已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则 .
16．已知函数的图象上存在不同的两点，使得曲线在点处的切线都与直线垂直，则实数的取值范围是 ．
四、解答题
17．将函数图象上所有点的横坐标伸长至原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度，得到函数的图象．
(1)求函数在区间内的所有零点之和；
(2)若，讨论函数的单调性．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；
(2)函数；若方程在上存在实根，试比较与的大小．
19．已知函数，在处取得极值．
(1)求函数的解析式；
(2)求函数的极值；
(3)设函数，若对于任意，总存在，使得，求实数a的取值范围．
20．已知函数.
(1)若是函数的一个极值点，求实数的值；
(2)若函数有两个极值点，其中，
①求实数的取值范围；
②若不等式恒成立，求实数的取值范围.
21．已知函数，若的图象在点处的切线方程为．
(1)求函数的解析式；
(2)如果在区间上是增函数，求实数的取值范围．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】利用导数的定义即可得解.
【详解】由依题意，知，
则.
故选：C.
2．A
【分析】将问题转化为，进而构造函数，求导确定函数的单调性，结合二次方程根的分布可得，进而可求解.
【详解】易知不是方程的根，
故当时，可化为，
令，得．
设，则，
令，可得或，令，可得，
故在和上单调递减，在上单调递增，，
作出的大致图象，如图，
数形结合可得方程有两个不相等的实数根，设为，，
则，且，
则，解得，
不妨设，
则
，
由，可得.
故选：A．
【点睛】方法点睛：处理多变量函数值域问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理.
3．B
【分析】由，确定，由的最小值为0，得出的解析式，进一步求出函数的零点.
【详解】因为函数的导数，所以，c为常数，
设，则恒成立，在R上单调递增，
又，所以当时，即，所以在单调递减，
当时，即，所以在单调递增，
所以在处取得最小值，即，故，
所以，故，
令，解得，函数的零点为.
故选：B.
4．A
【分析】利用导数及导函数的单调性判断极小值点在，再由函数的单调性及可得不等式的解集.
【详解】因为单调递增，且，，
所以存在唯一，使得，
所以当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
又，且，
所以由可得，
故选：A
5．B
【分析】求函数在处的导数即可.
【详解】因为，
所以
曲线在点处的切线的斜率为．
故选：B
6．D
【分析】根据对数函数的单调性即可判断AB；根据指数函数的单调性即可判断C；构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可判断D.
【详解】对于AB，因为，所以，故A错误；
因为，所以，但不一定大于1，
故不一定大于0，故B错误；
对于C，因为，则，所以，故C错误；
对于D，不等式等价于，两边取自然对数得，
因为，所以原不等式等价于，
设函数，则，
令，则，
当时，，所以在上单调递减，
故当时，，所以，
故在上单调递减，
所以，即，故D正确．
故选：D．
7．A
【分析】由奇函数性质可知，函数的定义域关于轴对称，求得，进而通过导数公式计算可得结果.
【详解】易知的定义域为．
因为函数为奇函数，所以，显然是奇函数，满足题意，
所以，故，
故选:A．
8．D
【分析】由导函数的图象，确定导函数的正负，由此得到函数的单调性，由极值的定义判断函数的极值，由此判断四个选项即可.
【详解】根据导函数的图象可知，
当时，，当时，，
可知在内单调递减，在单调递增，
所以当时，取得极小值，当时，取得极大值，当时，取得极小值，
故ABC错误，D正确.
故选：D.
9．ABD
【分析】根据绝对值的定义分类讨论去掉绝对值符号后，求导确定函数的单调性、极值，在确定方程的根的个数时需注意函数值的变化趋势.
【详解】A：当时，，则，
所以函数在上单调递减，故A正确；
B：当时，，则，
所以函数在上单调递增；
当时，，则，
所以函数在上单调递增；结合选项A的分析，
知是函数的极大值点，是函数的极小值点，故B正确；
C：当时，，，
当时，，
所以当时，方程无实根，即函数无零点，故C错误；
D：当时，，由以上讨论，知当时，，
而，如图，
由图可知，方程有3个实根，所以有3个实根，故D正确.
故选：ABD
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
10．AD
【分析】利用导数分别求出，的单调性，画出图像，数形结合得出的范围，根据和的单调性即可判定.
【详解】因为的定义域为R，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
的定义域为，，令，即，
所以在上为增函数，在上为减函数，且，
当时，当时，
如图：
易知，且，
因为，所以，
因为，在上为增函数，所以，即，
同理，即，
所以，
又，所以，故A正确，B错误；
又，
故D正确，C错误；
故选：AD.
【点睛】关键点点睛：本题关键是利用导数得出，的单调性，借助和的单调性可得结果.
11．BCD
【分析】根据导数的几何意义判断A，根据导数的运算法则判断B，利用导数求出函数的单调区间，即可判断C，利用特例说明D.
【详解】对于A：若不存在，说明曲线在点处切线的斜率不存在，
不是说函数在点处无切线，故A错误；
对于B：对于函数，则，故B正确；
对于C：，则，
所以当时，即在上单调递减，
则函数在上单调递减，故C正确；
对于D：函数的切线与函数的图象可以有两个公共点，
例如函数，在处的切线为，与函数的图象还有一个公共点，故D正确.
故选：BCD
12．ABD
【分析】对的取值范围进行分类讨论，并对函数求导得出单调性可判断AB正确，利用函数与方程的思想画出图象可得C错误，D正确.
【详解】当时，，得，所以在上单调递增，A正确.
当时，，得，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，1是的极大值点，B正确.
当趋近于时，趋近于0，当趋近于时时，趋近于，
且，则的图象如图所示，

由图可得或错误，D正确.
故选：ABD
13．1
【分析】根据题意知“特异点”为的极大值点，所以通过分析的极大值点个数即可得解.
【详解】由题意知“特异点”为的极大值点，
因为，所以，
当时，，
当时，，
又，
，
故不存在.
又因为，
易知：当时，单调递增，故不可能有“特异点”，
当时，设，则，
令，则；，则；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故为的极大值点，即为的“特异点”.
综上所述，在其定义域内仅有一个“特异点”.
故答案为：1.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是理解“特异点”的意义，发现其为的极大值点，从而得解.
14．
【分析】设，由题意可得当时函数有2个零点，进而方程有2个正解，利用导数的几何意义求出直线与函数图象相切时k的值，根据数形结合的思想即可求解.
【详解】设，则，所以函数为偶函数，
又，则，所以当时，有两个零点，
且当时，，则，
令，令，
则，所以函数在上单调递增.
下面讨论直线与函数图象相切的情况，
设切点为（），
则曲线在处的切线方程为，即，
有，解得，

由图可知，当时，直线与函数图象在上有2个交点，
即函数在上有2个零点，所以实数k得取值范围为.
故答案为：
【点睛】关键点点睛：本题的解题关键，是根据函数的奇偶性确定其在在上有2个零点，结合数形结合的思想从而得解.
15．/
【分析】利用导数的几何意义计算即可.
【详解】设曲线与的切点分别为，
易知两曲线的导函数分别为，，
所以，
则.
故答案为：.
16．
【分析】由题意可得有两个不相等的正实数根，法一：令，利用导数求出函数的单调区间及最值即可得解；法二：可得关于的方程有两个不相等的正实数根，再根据一元二次方程根的分布情况求解即可.
【详解】由题意知，曲线在点处的切线斜率都是2，
所以关于的方程有两个不相等的正实数根，
解法一：令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
即函数在上单调递减，在上单调递增，
又当时，，当时，，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
解法二：可得关于的方程有两个不相等的正实数根，
则，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
17．(1)
(2)在上单调递增，在上单调递减
【分析】（1）利用三角恒等变换及平移公式化简可得函数，利用正弦函数的图象及性质可得求得的零点，进而求得结果．
（2）由（1）可得，，，结果三角函数性质计算即可求得结果．
【详解】（1）由题可得，，
所以函数．
根据正弦函数的图象及性质可得，的零点为，
所以函数在区间内的所有零点之和为．
（2）由（1）可得，，所以，
所以．
令，得，
所以，解得，
所以函数的单调递增区间为；
令，得，
所以，解得，
所以函数的单调递减区间为．
综上，函数在上单调递增，在上单调递减．
18．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调性与极值；
（2）利用导数说明的单调性，即可得到，，令，则方程在，上存在实根，结合（1）中函数的单调性，可得，即，则，令，，利用导数说明函数的单调性，即可得到，从而得解.
【详解】（1）函数的定义域为，
又，
当时，恒成立，所以在上单调递增，无极值，
当时，令，解得，
所以当时，单调递减，
当时，单调递增，
所以当时，取到极小值，无极大值，
综上所述，当时，在上单调递增，无极值，
当时，在上单调递减，在上单调递增，极小值为，无极大值．
（2）因为，，
则，
令，解得或（舍），
所以当时，单调递增，
所以，即，
令，，则，
若方程在上存在实根，
则方程在，上存在实根，
当时在上单调，则在上有解，
即应该在上有解，但是在上无解，不合题意，
所以在上不单调，即，
由（1）知，即，
所以，，
令，，
则，
所以在上单调递增，
所以，
所以．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
19．(1)
(2)函数的极小值为，极大值为2.
(3)
【分析】（1）根据题意列出方程组，解出后验证即可；
（2）根据极值的定义结合函数单调性即可求解；
（3）分类讨论求得的最小值及的最小值，结合题意建立不等式，求解即可.
【详解】（1）∵，
则，
由题意可得 ，解得，
则函数的解析式为，
且，
令，解得：，
则当变化时，的变化情况如下表：
减 极小值 增 极大值 减
故符合题意，即.
（2）由（1）可得：当时，函数有极小值；
当时，函数有极大值2.
（3）∵函数在时，，
在时，且，
∴由（1）知：当时，函数有最小值，
又∵对任意总存在，使得，
则当时，的最小值不大于，
对于开口向上，对称轴为，
当时，则在上单调递增，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，
故的最小值为，得；
当时，则在上单调递减，在上单调递增，
的最小值为，
得或，不合题意，舍去；
综上所述：的取值范围是.
20．(1)
(2)①，②
【分析】（1）对函数求导，依题意可得，解得，经检验符合题意；
（2）①将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的正数根，再由函数与方程的思想可知函数与函数的图象在上有两个不同交点，利用数形结合可得；
②由两极值点的关系通过构造函数可将不等式恒成立问题转化为函数对任意的恒成立，利用导数并对实数的取值分类讨论即可求得.
【详解】（1）易知，又是函数的一个极值点，
，即.
此时，令，
在上单调递增，且，
当，当，
在上单调递减，在上单调递增，
所以是的极小值点，即符合题意；
因此实数的值为.
（2）①因为，且有两个极值点，
所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，
将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同交点，
则，令，解得，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且当时，，故作出的图象如下：
由图象可得满足题意，即.
即实数的取值范围为；
②由①知是的两个根，
故，则，
不妨设，又，所以可得，
可得，即，所以；
故由可得，
即，所以；
也即，化简得，
由于，所以等价于对任意的恒成立，
令，故对任意的恒成立，
则，
设，则，
（i）当时，单调递增，
故单调递减，故，不满足，舍去；
（ii）当时，单调递减，
故单调递增，故，故恒成立，符合题意；
（iii）当时，令，则，
当时，单调递增，
当时，单调递减，
又，故时，，此时单调递减，故，
因此当时，，不符合题意，舍去.
综上，实数的取值范围为.
【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用两极值点关系可得，并通过构造函数将不等式问题转化为函数在指定区间上恒成立问题，利用导函数求出函数最值即可求得实数的取值范围.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；
（2）将问题转化为对恒成立求解即可．
【详解】（1）的图象在点处的切线方程为，
又，，即①，
又，即切点为，代入得②，
联立①②得：．
（2）在上是增函数，
则对恒成立，
即对恒成立，
又在上为增函数，
则在上为增函数，
则，
∴实数的取值范围是．
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