数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.5正态分布 课件（共23张ppt）

(共23张PPT)
7.5 正态分布
2.二项分布：
3.超几何分布：
1.两点分布：
知识回顾
小明上学途中等公交车的时间X；
实验中测量某零件尺寸的误差Y；
郴州市5月份的降雨量Z；
某电器的使用寿命 ；
...
你还能举出几个这样的例子吗？
生活中还有许多随机变量不是离散型的随机变量，例如：
连续型随机变量：如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0。我们称这类变量为连续型随机变量。
情境导入
思考：连续型随机变量会服从什么分布呢？
（1）如何描述这100个样本误差数据的分布？
（2）如何构建适当的概率模型刻画误差X的分布？
频率分布直方图
问题1 自动流水线包装的食盐，每袋标准质量为400g. 由于各种不可控制的因素，任意抽取一袋食盐，它的质量与标准质量之间或多或少会存在一定的误差(实际质量减去标准质量). 用X表示这种误差，则X是一个连续型随机变量. 检测人员在一次产品检验中，随机抽取了100袋食盐，获得误差X (单位: g) 的观测值如下:
新知探究
追问1 随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，频率分布直方图的轮廓会发生什么变化？
n=9
n=50
n=107
随着样本数据量越来越大，让分组越来越多，组距越来越小，由频率的稳定性可知，频率分布直方图的轮廓就越来越稳定，接近一条光滑的钟形曲线.
新知探究
若数据无限增多且组距无限缩小，那么频率分布直方图的的轮廓形成一条光滑钟形的曲线，我们称此曲线为概率密度曲线．
概率密度曲线
新知探究
问题2：任意抽取一袋食盐如何根据概率密度函数计算误差[-2,-1]内的概率？
可用图中褐色阴影部分的面积表示
新知探究
曲线与水平轴之间的区域的面积为1
追问2 根据函数知识,这个钟形曲线它是函数吗？
如果是，那么，这个函数是否存在解析式呢？
　　在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式:
其中　　 　　　　为参数．
称为正态密度函数
标准差
数学期望
概念生成
其中实数μ、σ(σ>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差，称
的图象称为正态密度曲线，简称正态曲线
正态密度函数
若随机变量X的概率分布密度函数为 则称随机变量X服从正态分布,记作： ；特别地，当μ=0，σ=1时，随机变量X服从标准正态分布。
概念生成
追问3 正态分布曲线是如何刻画随机变量的概率分布的呢？
若X~N(μ，σ2)，则如右图所示，
X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积.
面积即为概率！
新知探究
由X的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点:
(1) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称；
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征
(2) 曲线在x=μ处达到峰值(最高点) ；
(3) 正态曲线在x轴上方，两侧与x轴无限接近而不相交；
(4) x轴和曲线之间的区域的面积为1.
频率
组距
o
钟型曲线
x=μ
问题3 观察正态曲线及相应的密度函数，你能发现正态曲线的哪些特点？
新知探究
3
1
2
σ=0.5
μ=-1
μ=0
μ=1
当参数σ固定时，正态曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，
故μ称为位置参数
规律：左“-”右“+”
问题4　一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征
新知探究
μ的意义：
反映总体随机变量取值的集中位置，即为均值.
μ=0

=0.5
=1
=2
σ越大，曲线越“矮胖”，
表示总体的分布越分散；
σ越小，曲线越“瘦高”，
表示总体的分布越集中.
新知探究
问题4　一个正态分布由参数μ和σ完全确定，这两个参数对正态曲线的形状有何影响？它们反映正态分布的哪些特征
σ的意义：
反映随机变量的分布相对于均值μ的离散程度，即为标准差
(1) 曲线在x轴的上方，与x轴不相交；
(3) 曲线与x轴之间的面积为1；
(4) 当μ一定时，σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.
正态曲线的性质：
(5) 参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度.
在实际问题中，参数μ, σ可以分别用样本均值和样本标准差来估计，故有
(2) 曲线是单峰的，它关于直线x=μ对称，且在x=μ处取得最大值 ；
小结归纳
0
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
0.5
1-a
a
1-a
1-2a
1. 若X～N(2, 32)，则E(X)=______，D(X)=_______.
2
9
3
2
2. X～N(μ, σ2)，若E(X)=3， σ(X)=2，则μ=______， σ=______.
3.若X～N(1, σ2)，且P(X<0)=a，则
(1) P(X>1)=_______；
(2) P(X>0)=______；
(3) P(X>2)=______；
(4) P(X<2)=______；
(5) P(0(6) P(00.5-a
关键：画出正态曲线的简图
课堂练习
例1 李明上学有时坐公交车,有时骑自行车.他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到,坐公交车平均用时30 min，样本方差为36;骑自行车平均用时34 min,样本方差为4；假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布.
(1)估计X,Y的分布中的参数;
(2）根据(1)中的估计结果,利用信息技术工具画出X和Y的分布密度曲线;
(3）如果某天有38 min可用，李明应选择哪种交通工具 如果某天只有34
min可用,又应该选择哪种交通工具 请说明理由.
例题讲解
2. 设随机变量X~N(0, 22)，随机变量Y~N(0, 32)，画出分布密度曲线草图，并指出P(X≤-2)与P(X≤2)的关系，以及P( |X|≤1)与P( |Y|≤1)之间的大小关系.
O
1
-1
x
y
σ=3
σ=2
2
-2
课堂练习
假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值.
特殊区间的概率
由图可知，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则.
新知探究
1. 设随机变量X~N(0, 1)，
则X的密度函数为___________________，P(X≤0)=_____ ，
P( |X|≤1)=________， P(X≤1)=________， P(X>1)=________ (精确到0.0001.)
0.5
0.6827
0.84135
0.15865
O
1
-1
x
y
μ=0
课堂练习
例2 设在一次数学考试中,某班学生的分数X～N(110,202)，且知试卷满分150分，这个班的学生共54人，求这个班在这次数学考试中及格（即90分以上）的人数和130分以上的人数.
例题讲解
若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布.
1. 正态分布：
正态密度函数：
2.特殊区间的概率：
课堂小结
正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.
正态分布在十九世纪前叶由德国高斯加以推广，所以通常称为高斯分布.
德莫佛
法国德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式，这一公式被认为是正态分布的首次露面.
正态分布：
在某次数学考试中,考生的成绩X服从正态分布X～N(90,100).
(1).求考试成绩X位于区间(70,110)上的概率是多少
(2).若此次考试共有2000名考生,试估计考试成绩在(80,100)间的考生大约有多少人
课后作业