数学人教A版（2019）选择性必修第三册7.3.1离散型随机变量的均值 课件（共35张ppt）

(共35张PPT)
人教A版2019选修第三册
第 七 章 随机变量及其分布
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.1 离散型随机变量的均值
1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值；
2.理解离散型随机变量均值的性质，掌握两点分布的均值；
3.会利用离散型随机变量的均值，解决一些相关的实际问题．
教学目标
01情境导入
PART.01
情境导入
某商场如果把这三种糖果按3∶2∶1的比例混合销售，那么如何对糖果定价才比较合理呢？
18元/千克
24元/千克
36元/千克
方案1：按照糖果的最高价格定价，所以定价为36元/千克.
方案2：按照这三种糖果的平均价格定价，所以定价为 元/千克.
方案3：按照这三种糖果的加权平均价格定价，所以定价为
元/千克
思考：哪种方案更合理？
离散随机变量的均值
PART.02
问题提出
离散型随机变量的分布列全面地刻画了这个随机变量的取值规律. 但在解决有些实际问题时, 直接使用分布列并不方便 . 例如, 要比较不同班级某次考试成绩, 通常会比较平均成绩; 要比较两名射箭运动员的射箭水平,一般会比较他们射箭的成绩(平均环数或总环数)以及稳定性.
因此, 类似于研究一组数据的均值和方差, 我们也可以研究离散型随机变量的均值和方差 , 它们统称为随机变量的数字特征.
概念讲解
问题：甲、 乙两名射箭运动员射中目标箭靶的环数的分布列如下表所示.
环数X 7 8 9 10
甲射中的概率 0.1 0.2 0.3 0.4
乙射中的概率 0.15 0.25 0.4 0.2
思考：如何比较他们射箭水平的高低呢
类似两组数据的比较，首先比较击中的平均环数，如果平均环数相等，再看稳定性.
假设甲射箭n次，射中7环、8环、9环和10环的频率分别为甲n次射箭射中的平均环数为
概念讲解
即甲射中平均环数的稳定值(理论平均值)为9，这个平均值的大小可以反映甲运动员的射箭水平.
同理，乙射中环数的平均值为7×0.15+8×0.25+9×0.4+10×0.2=8.65
从平均值的角度比较，甲的射箭水平比乙高.
当n足够大时，频率稳定于概率，所以稳定于
7×0.1+8×0.2+9×0.3+10×0.4=9
概念讲解
均值或数学期望
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
则称
定义
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
E(X)为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平.
例题剖析
例1.在蓝球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分的均值是多少？
解：因为
所以
即该运动员罚球1次的得分的均值是.
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么
例题剖析
例2.抛掷一枚质地均匀的骰子，设出现的点数为，求的均值.
解：的分布列为
因此，
例题剖析
练习：北京冬奥会某个项目招募志愿者需进行有关专业、礼仪及服务等方面知识的测试，测试合格者录用为志愿者.现有备选题10道，规定每次测试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，至少答对2道题者视为合格，已知每位参加笔试的人员测试能否合格是相互独立的.若甲能答对其中的6道题，乙能答对其中的8道题.求：
（1）甲、乙两人至多一人测试合格的概率；
（2）甲答对的试题数X的分布列和数学期望.
例题剖析
解:（1）根据题意，甲测试合格的概率为 ，
乙测试合格的概率为 ，
故甲、乙两人都测试合格的概率为 ，
则甲、乙两人至多一人测试合格的概率为 ．
（2）由题可知，甲答对的试题数 的所有可能取值为0， ， ， ，
，
，
例题剖析
，
，
故 的分布列为
0 1 2 3

则 的数学期望 ．
求离散型随机变量ξ的均值的步骤
（1）根据ξ的实际意义，写出ξ的全部取值；
（2）求出 ξ的每个值的概率；
（3）写出ξ的分布列；
（4）利用定义求出均值.
其中第（1）（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率的相关知识．
反思感悟
归纳总结
离散型随机变量均值的性质
PART.03
概念讲解
思考：掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数X的均值为3.5.随机模拟这个试验，重复60次和重复300次各做6次，观测出现的点数并计算平均数.根据观测值的平均数(样本均值)绘制统计图，分别如图(1)和(2)所示.观察图形，在两组试验中，随机变量的均值与样本均值有何联系与区别？
概念讲解
观察图(1)可以发现：在这12组掷骰子试验中，样本均值各不相同，但它们都在掷出点数X的均值3.5附近波动，且重复掷300次的样本均值波动幅度明显小于重复60次的.
事实上，随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.因此，我们常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
概念讲解
探究：如果X是一个离散型随机变量，X加一个常数或乘一个常数后，其均值会怎样变化 即E(X＋b)和E(aX)(其中a, b为常数)分别与E(X)有怎样的关系
设的分布列为，，，，.
根据随机变量均值的定义，
.
类似地，可以证明.
概念讲解
(2)当a=1时, E(X+b)=E(X )+b.
离散型随机变量的均值的性质：
若X, Y 是两个随机变量, 且Y=aX+b, 则有
即随机变量X 的线性函数的均值等于这个随机变量的均值E(X )的同一线性函数.
E(Y )=aE(X )+b,
(1)当a=0时, E(b)=b.
(3)当b=0时,E(aX )=aE(X ).
概念辨析
判断正误.
(1)随机变量的数学期望是个变量，其随的变化而变化.( )
(2)随机变量的均值与样本的平均值相同.( )
(3)随着样本容量的增加，样本的平均值越来越接近总体平均值.( )
(4)若随机变量的数学期望，则.( )
(5)若随机变量的数学期望，则.( )
×
×
√
√
√
例题剖析
例题剖析
概念讲解
反思感悟
归纳总结
离散型随机变量均值的应用
PART.03
例题剖析
例4.猜歌名游戏是根据歌曲的主旋律制成的铃声来猜歌名.某嘉宾参加猜歌名节目，猜对每首歌曲的歌名相互独立，猜对三首歌曲A，B，C歌名的概率及猜对时获得相应的公益基金如表7. 3-3所示.
规则如下: 按照A，B，C的顺序猜，只有猜对当前歌曲的歌名才有资格猜下一首. 求嘉宾获得的公益基金总额X的分布列及均值.
歌曲 A B C
猜对的概率 0.8 0.6 0.4
获得的公益基金额/元 1000 2000 3000
例题剖析
解：分别用表示猜对歌曲歌名的事件，则相互独立.
的分布列如图所示：
的均值为
X 0 1000 3000 6000
P 0.2 0.32 0.288 0.192
例题剖析
X 0 1000 4000 6000
P 0.2 0.48 0.128 0.192
X的均值为
解：如果按ACB的顺序来猜歌,分别用A,B,C表示猜对歌曲A,B,C歌名的事件，
A,B,C相互独立; ( =0)= ()=0.2,
( =1000)= (A)=0.8×0.4=0.32,
( =3000)= ( C)=0.8×0.4×0.4=0.128,
( =6000)= ( CB)=0.8×0.4×0.6=0.192.
X的分布列如下表所示：
思考：如果改变猜歌的顺序，获得公益基金的均值是否相同？如果不同，你认为哪个顺序获得的公益基金均值最大？
例题剖析
所以：按由易到难的顺序来猜歌，获得的公益基金的均值最大
猜歌顺序 E(X)/元 猜歌顺序 E(X)/元
ABC 2336 BCA 2112
ACB 2144 CAB 1904
BAC 2256 CBA 1872
例题剖析
例4.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元。为保护设备，有以下三种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元。
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能挡住小洪水。
方案3：不采取措施，希望不发生洪水。
工地的领导该如何决策呢
例题剖析
分析:决策目标为总损失(投入费用与设备损失之和)越小越好,根据题意,各种方案在不同状态下的总损失如表所示：
天气状况 大洪水 小洪水 没有洪水
概率 0.01 0.25 0.74
总损失/元 方案1 3800 3800 3800
方案2 62000 2000 2000
方案3 60000 10000 0
方案2和方案3的总损失都是随机变量,可以采用期望总损失最小的方案。
例题剖析
解:设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1,X2,X3.
采用方案1,无论有无洪水,都损失3800元.因此,P(X1=3800)=1.
采用方案2,遇到大洪水时,总损失为2000+6000=62000元;没有大洪水时,
总损失为2000元,因此,P(X2=62 000)=0.01,P(X2=2000)=0.99.
采用方案3,P(X3=60 000)=0.01,P(X3=10000)=0.25,P(X3=0)=0.74.
于是,E(X1)=3800,
E(X2)=62 000×0.01+2 000×0.99=2 600,
E(X3)=60 000×0.01+10 000×0.25+0×0.74=3 100.
因此,从期望损失最小的角度,应采取方案2.
课堂小结
PART.05
课堂小结