湖南省永州市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（含解析）

永州市第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为( )
A. B. C. D.
2．的展开式中的系数为( )
A.12 B.4 C. D.
3．曲线在点处的切线方程为( )
A. B. C. D.
4．函数的图象大致为( )
A.B.C.D.
5．用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为( )
A.478 B.479 C.480 D.481
6．某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有( )种
A. B. C. D.
7．将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是( )
A.事件A与B相互独立 B.事件A与C相互独立
C. D.
8．已知定义在R上的函数满足.若，则( )
A. B.
C. D.与的大小关系不确定
二、多项选择题
9．在的展开式中，下列说法正确的是( )
A.不存在常数项 B.所有二项式系数的和为32
C.第3项和第4项二项式系数最大 D.所有项的系数和为1
10．为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是( )
A.从六位专家中选两位的不同选法共有20种
B.“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种
C.“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种
D.“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种
11．已知，，是的导函数，则下列结论正确的是( )
A.在上单调递增.
B.在上两个零点
C.当时，恒成立，则
D.若函数只有一个极值点，则实数
三、填空题
12．已知盒中有3个红球，2个蓝球，若无放回地从盒中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次抽到蓝球的概率为__________.
13．设，，且能被6整除，则__________.
14．已知当时，不等式恒成立，则正实数a的取值范围是__________.
四、解答题
15．已知数列的前n项和为，.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项n和.
16．（1）若，求的值；
（2）在的展开式中，
①求二项式系数最大的项；
②系数的绝对值最大的项是第几项.
17．如图，在三棱锥中，平面ABC，，，于点D，点E在侧棱PC上，且.
（1）证明：平面ACD；
（2）是否存在λ，使二面角的余弦值为？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.
18．已知椭圆E：（）的离心率为，右焦点到直线的距离为.
（1）求椭圆E的方程；
（2）已知点，斜率为的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率分别为，.
①若直线l过椭圆E的左顶点，求此时，的值；
②试猜测，的关系，并给出你的证明.
19．已知函数.
（1）讨论函数的单调区间；
（2）若，是曲线上的两点，.问:是否存在a，使得直线的斜率等于？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：D
解析：每个班均有4种不同的选择，由分步乘法计数原理可得选法种数有种.故选：D.
2．答案：C
解析：的展开式的通项公式为，则的展开式中的系数为，故选：C.
3．答案：A
解析：，，所以，又当时，，所以在点处的切线方程为：，即.故选：A.
4．答案：A
解析：，当时，，故当时，恒成立，排除BD，，
令得：，此时单调递增，令得：，此时单调递减，其中，排除C，故当时，取得最大值，故A正确.故选：A.
5．答案：B
解析：用数字0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数的个数为.
以1为十万位的没有重复数字的六位数的个数为，由于201345是以2为十万位的没有重复数字的六位数中最小的一个，所以没有重复数字且大于201345的六位数的个数为.故选：B.
6．答案：C
解析：先将五个人分为三组，每组的人数分别为3、1、1或2、2、1，
若三组的人数分别为3、1、1，则教师夫妇必在三人的一组，
则教师夫妇这组还需从剩余的三人中抽1人，此时，不同的分组方法数为种；
若三组人数分别为2、2、1，则两人一组的有一组是教师夫妇，
只需将剩余三人分为两组，且这两组的人数分别为2、1，此时，不同的分组方法种数为种.
接下来，将所分的三组分配给三所不同的学校，因此，不同的安排方案种数为种.故选：C.
7．答案：D
解析：将《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，共有种基本事件，事件A包含的基本事件数为：，则，
同理，事件AB包含的基本事件数为：，则，
事件AC包含的基本事件数为：，则，
因为，故A错误；因为，故B错误；
因为，故C正确；因为，故C错误；故选：D
8．答案：A
解析：因为，所以，构造函数，
则，所以函数在R上单调递增，
又，所以，即，所以，故选：A.
9．答案：ABC
解析：
，因此在的展开式中没有常数项，A正确；
的展开式的所有二项式系数的和为，B正确；
的展开式的第3项和第4项二项式系数相等，并且最大，C正确；
当时，的展开式的所有项的系数和为，D错误.故选：ABC.
10．答案：BC
解析：对于A：从六位专家中选两位的不同选法共有种，故A错误；
对于B：从前5天中任选一天排“呼吸类专家”，再排其他专家共有种，故B正确；
对于C：将“护理”，“感染类专家”视为一个元素，不同的排法共有种，故B正确；
对于D：先排疾控、药剂、呼吸，再用插空法排护理、感染、儿科类专家，共有种，故D错误.
故选：BC.
11．答案：ACD
解析：，令，得，故A正确；，，令得，得，故在上为减函数，在上为增函数.当时，；当时，且，的大致图象如图，只有一个零点，故B错.
记，则在上为减函数，对恒成立，对恒成立，，.故C正确.
，，设，
只有一个极值点，只有一个解，即直线与的图象只有一个交点.，
在上为增函数，令，得，
当时，；当时，.
在上为减函数，在上为增函数，
，时，，即，且时，，又时，，因此的大致图象如下（不含原点）：直线与它只有一个交点，则.故D正确.故选：ACD.
12．答案：或0.4
解析：设第一次抽红球为事件，第一次抽蓝球为事件，第二次抽蓝球为事件B，.故答案为：.
13．答案：5
解析：
，
被6整除，
由能被6整除，可得能被6整除，则n的值可以为5.故答案为：5.
14．答案：
解析：由题意，原不等式可变形为，
即，设，则当时，恒成立，
因为，所以函数在上单调递减，在上单调递增，
因为，，所以，，因为在上单调递增，
所以要使，只需，取对数，得，
因为，所以.令，因为，
所以在上单调递增，所以，所以，则.
15．答案：（1）
（2）
解析：（1）当时，，得，
当时，由得，，两式相减得：，，
所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，且.
（2）由（1）知，所以时，，
因此，数列是以0为首项，1为公差的等差数列，所以.
16．答案：（1）
（2）①；②第6项和第7项
解析：（1），
令，可得，令，可得，
.
（2）①.
二项式系数最大的项为中间项，即第5项.所以.
②设第项系数的绝对值最大，则，所以，解得.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项.
17．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：平面ABC，，又，，
平面PBC，，又，，平面ACD.
（2）如图建系，不妨设，，，，
，，，，
，，，
设平面CAD和平面ADE的一个法向量分别为，，
，
，
设二面角的平面角为θ，，所成角为φ，
.
，故存在，.
18．答案：（1）
（2）①，；②证明见解析
解析：（1）设椭圆的右焦点，由右焦点到直线的距离为，
可得，解，又由椭圆的离心率为，可得，解得，则，
所以椭圆E的方程为.
（2）①若直线过椭圆的左顶点，则直线的方程是，
联立方程组，解得或，
所以，，此时.
②猜测：.证明如下：
设直线在y轴上的截距为m，所以直线的方程为，
联立方程组，整理得，
设，，则，，
又由，，
故，
因为，，
所以
故.
19．答案：（1）见解析
（2）存在实数，满足题意
解析：（1）的定义域是，，.令，则.当，即时，对恒成立，的增区间为，无减区间；当，即时，则解得，，若，则由得或，得，此时函数的增区间为和，减区间为；同理可得当时，，，此时的减区间为，增区间为.
（2）若函数图象上存在两点，使得，即，所以.
①当时，对任意的，，且都成立；
②当时，有，设，则，
记函数，则.
所以当时，，所以函数在区间上单调递增.又因为，所以当时，，即方程在区间上无解，综上，存在实数，满足题意.