广西防城港高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含解析）

防城港市高级中学2024年春季学期
高一年级数学科4月月考考试试题
一 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1.若复数，则（ ）
A. B.
C. D.
2.已知在中，，且，则角所对边的长度为（ ）
A. B. C. D.3
3.如图，已知是的边上的中线，若，则等于（ ）
A. B.
C. D.
4.在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，下列结论错误的是（ ）
A. B.
C. D.
5.已知向量满足满足，则（ ）
A. B. C. D.
6.若函数的部分图象如图所示，则和的值是（ ）
A. B.
C. D.
7.镇国寺塔亦称西塔，是一座方形七层楼阁式砖塔，顶端塔刹为一青铜铸葫芦，葫芦表面刻有“风调雨顺 国泰民安”八个字，是全国重点文物保护单位 国家级旅游景区，小胡同学想知道镇国寺塔的高度，他在塔的正北方向找到一座建筑物，高为，在地面上点处（在同一水平面上且三点共线）测得建筑物顶部，镇国寺塔顶部的仰角分别为和，在处测得镇国寺塔顶部的仰角为，则镇国寺塔的高度约为（ ）
（参考数据：）
A. B. C. D.
8.在中，内角所对的边分别为，且的面积，，则（ ）
A. B. C.2 D.-2
二 多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A.
B.复数的虚部为
C.若复数为纯虚数，则
D.
10.已知的内角所对的边分别为，下列说法正确的是（ ）
A.若，则是钝角三角形
B.若，则
C.若，则是锐角三角形
D.若，则只有一解
11.已知，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知是边长为2的等边三角形，分别是上的两点，且，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.
C.
D.在方向上的投影向量的模长为
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，其中16题第一空2分，第二空3分，共20分.
13.__________.
14.若复数满足，则__________.
15.已知角的终边经过点，则__________.
16.如图所示，在中，点为边上一点，且，过点的直线与直线相交于点，与直线相交于点（交两点不重合）.若，则__________；若，则的最小值为__________.
四 解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18-22题12分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.平面内给定两个向量.
（1）求的坐标；
（2）若且三点共线，求的值.
18.已知分别为三个内角的对边，.
（1）若，求；
（2）若的面积为，求.
19.如图，平行四边形中，分别是的中点，为上一点，且.
（1）以为基底表示向量与；
（2）若与的夹角为，求.
20.在中，分别是角所对的边，且满足.
（1）求角的大小；
（2）设向量，向量，且，判断的形状.
21.设函数.
（1）求函数的最小正周期及其图象的对称轴；
（2）将函数的图象先向右平移个单位，再向上平移1个单位得到函数的图象，求函数在上的值域.
22.在中，内角所对的边分别为.
（1）若，证明：；
（2）若，求周长的最大值.
2024年春季学期高一年级数学科4月月考考试
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C B C D A C D AD ABD AD BD
13. 14. 15.-5 16.；
1.【答案】A 【详解】由复数，则.故选：A.
2.【答案】C 【详解】由余弦定理可得：，所以.
3.【答案】B 【详解】因为是的中点，所以
.故选：
4.【答案】C
5.【答案】D 【详解】，，因此.
6.【答案】A 【详解】由图象可知，所以，，由于，所以.故选：A
7.【答案】C 【详解】在中，则，
所以，而，
所以，又，
则.故选：C
8.【答案】D 【详解】解：的面积，
，则，
，
，
.故选：
9.【答案】AD 【解析】因为正确；
复数的虚部为不正确；
若，则，C不正确；
设，所以
，正确.故选：.
10.【答案】ABD
【解析】对于，因为的三个角满足，所以由正弦定理化简得，设为最大边，由余弦定理得
，所以为钝角，
所以是钝角三角形，故正确；
对于，由及正弦定理，得，解得，故B正确；
对于，因为，所以，所以，所以为锐角，但无法确定和是否为锐角，故C错误；
对于，由正弦定理得，解得，因为，所以，所以只有一解，故D正确.
11.【答案】AD
【详解】，则，
选项正确；
选项错误；
，
C选项错误；
由，有，
选项正确.故选：
12.【答案】BD 【详解】由题意可知：为中点，则，
以为原点，分别为轴，轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：
所以，，
设，
所以，
即是中点，，所以选项正确；
，所以选项错误；
因为，所以选项错误；
易知在方向上的投影向量的模长为，
所以选项D正确.故选：BD
13.【答案】 【详解】.故答案为：.
14.【详解】因为，所以.故答案为：.
15.【详解】的终边经过点.
则.故答案为：-5.
16.【详解】在中，，则，
故，
故；
又，而，
所以，则，
又三点共线，所以，结合已知可知，
故，
当且仅当，结合，即时，取等号；
即的最小值为，
故答案为：
17.【解析】
（1），
（2）由题意可得，，
且三点共线，则可得，即，解得；
18.【详解】
（1）因为，所以，由正弦定理，可得.
（2）因为的面积为，所以，
因为，所以，解得.
由余弦定理可得，即.
19.【解析】
（1）平行四边形中，是的中点，，
，
（2）与的夹角为，
.
20.【解析】
（1）解：因为，所以，因为，所以；
（2）解：因为，且，
所以，所以，
所以或（舍），当时，，所以为直角三角形.
21.解：（1）由题可得：
，
所以的最小正周期为：.
由得：，
所以该函数图象的对称轴方程为：
（2）由题可得.
因为，所以，得：，
所以的值域为.
22.【解析】
（1）证明：由余弦定理知和，得，又，则，结合正弦定理得，
（2）由（1）知，又，
故，即
，所以，
则，故，当且仅当，即时取等号，
故，即周长的最大值为6.