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一、选择题（共12小题）
1．（2024 山阳县一模）如图，在中，点在上，，于点，是的中点，连结，若，，则为
A．3 B．4 C．1 D．2
2．（2024 喀什地区一模）在中，，尺规作图的痕迹如图所示．若，，则线段的长为
A． B． C． D．
3．（2024 泗县一模）如图，是等边三角形，点是下方的一点，，，点和点分别是和上一点，．若的周长为12，则的周长为
A．5 B．6 C．8 D．9
4．（2024 凉州区一模）如图，、分别是的边、上的点，，若，则
A． B． C． D．
5．（2024 新都区模拟）如图，点是的边上一点，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则的周长为
A．21 B．34 C．48 D．60
6．（2024 浙江模拟）如图，直线与直线，分别相交于点，，点在直线上，若，，，则的度数为
A． B． C． D．
7．（2024 南乐县一模）如图，在中，，，顶点，分别在轴，轴的正半轴上，，则点的坐标是
A． B． C． D．
8．（2024 东平县校级一模）如图，在中，是边的中点，是的角平分线，于点，连接．若，，则的长度是
A．4 B．4.5 C．5 D．5.5
9．（2024 安徽一模）如图，在中，，，，点在边上，点在边上，若，且平分的周长，则的长是
A． B． C． D．
10．（2024 安徽一模）如图，在中，、分别垂直平分和，垂足为，．且分别交于点，．若，则的度数为
A． B． C． D．
11．（2024 子洲县校级三模）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，若点，，都在格点上，则的值为
A． B． C．2 D．
12．（2024 锡山区一模）如图，为等腰直角三角形，平分，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点，于点；下列结论：①；②；③．其中正确的有
A．①②③ B．①② C．①③ D．②③
二、填空题（共12小题）
13．（2024 喀什地区一模）如图，中，，以点为圆心，的长为半径画弧交于点，，再分别以点与点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接交于点，若，则是 ．
14．（2024 怀远县一模）如图，在中，，是的角平分线，于点，若，，，则（1） ；（2）的周长是 ．
15．（2024 伊通县一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，使一块三角尺角的顶点和另一块三角尺的直角顶点重合，记为点，点在边上，点、在的两侧，以为圆心，长为半径画，分别交、于点、，则的长为 （结果保留．
16．（2024 梁溪区校级模拟）有一个直角三角形的两直角边分别为8和15，则这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为 ．
17．（2024 咸安区模拟）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，连接、，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处，沿折叠，使点落在上的点处，延长交于点，连接，则的面积为 ．
18．（2024 南山区一模）在锐角中，，分别为的中线和角平分线，，且，则 ．
19．（2024 宿豫区一模）如图，在中，为斜边的中点，为上一点，为中点，，若，则的长为 ．
20．（2024 宽城区校级一模）如图，已知与位似，位似中心为点．若，的周长与的周长之比为 ．
21．（2024 瑞昌市校级一模）在中，，，，是的中点，是线段上的一动点，若点到的一边的距离为2，则的长为 ．
22．（2024 雁塔区校级四模）如图，在中，，，点是的中点，以为直角边向外作等腰，连接，当取得最大值时，的面积为 ．
23．（2024 汝阳县一模）现有一副三角板，即含的和含的，如图放置，点在上滑动，交于，交于，且在滑动过程中始终保持在线段上，且．若，设，的面积为，则关于的函数表达式是 （结果化为一般式，不必写的取值范围．
24．（2024 兴宁区校级模拟）如图，上午8时，一条船从海岛出发，以的速度向正北航行，10时到达海岛处．从海岛，望灯塔，测得，，则从海岛到灯塔的距离 ．
三、解答题（共11小题）
25．（2024 庐江县校级模拟）如图，在四边形中，，，是的中点，的延长线交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
26．（2024 山阳县一模）如图，在中，，点，分别为边，上的点，连接，，，．求证：．
27．（2024 朝阳区模拟）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．请按要求完成作图，不写作法，保留作图痕迹．
（1）在图①中确定格点，连接、，使；
（2）在图②中的线段上确定一点，线段上确定一点，连接，使，；
（3）在图③中的线段上确定一点，使．
28．（2024 廉江市一模）综合与实践
主题：研究旋转的奥妙．
素材：一张等边三角形硬纸板和一根木棍．
步骤：如图，将一根木棍放在等边三角形硬纸板上，木棍一端与等边三角形的顶点重合，点在上（不与点，重合），将木棍绕点顺时针方向旋转，得到线段，点的对应点为，连接．
猜想与证明：
（1）直接写出线段与线段的数量关系．
（2）证明（1）中你发现的结论．
29．（2024 新城区二模）如图，在某学校的明德楼和启智楼之间有一条文化长廊，文化长廊上伫立着三座名人塑像，，，点，，，，在同一条直线上，且．在明德楼的楼顶有一照明灯，塑像的影子为，塑像的影子为．该校“探数学”兴趣小组的同学测得文化长廊米，塑像的高米，塑像的影长米．
（1）求明德楼的高．
（2）求塑像的影长．
30．（2024 襄城县一模）在中，，，点是直线上的一动点（不与点，重合）连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接．
【问题发现】
（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是 ．与的位置关系是 ．
【猜想论证】
（2）当点在边上且不是的中点时，试猜想与的数量关系和位置关系．小颖通过深入思考，想到了可延长到，使，连接和，然后类比问题（1）中所用知识，仍可得到（1）中的结论，请根据小颖的思路就图（2）中的情况帮小颖完成解答过程．
【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接、．当是等边三角形时，请直接写出的面积．
31．（2024 武进区校级模拟）【问题情境】在一次数学兴趣小组活动中，小昕同学将一大一小两个三角板按照如图1所示的方式摆放．其中，，．
【问题探究】小听同学将三角板绕点按顺时针方向旋转．
（1）如图1， ．
（2）如图2，当点落在边上时，延长交于点，求的长．
（3）若点、、在同一条直线上，求点到直线的距离．
32．（2024 孝感一模）【问题情境】如图，在中，，，是边上的高，点是上一点，连接，过点作于，交于点．
（1）【特例证明】如图1，当时，求证：；
（2）【类比探究】如图2，当时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请指出此时与的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展运用】如图3，连接，若，，，求的长．
33．（2024 新都区模拟）如图1，在四边形中，，点为线段上一点，使得，，此时，连接，，且．
（1）求的长度；
（2）如图2，点为线段上一动点（点不与，重合），连接，以为斜边向右侧作等腰直角三角形．
①当时，试求的长度；
②如图3，点为的中点，连接，试问是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．
34．（2024 双流区校级一模）【问题背景】：
如图1，在中，，，，点是斜边的中点，过点作交于点．
【实验探究】：
（1）数学活动课中，小明同学将图1中的绕点按顺时针方向旋转，如图2所示，得到结论：① ；②直线与所夹锐角的度数为 ；
（2）若我们继续将绕点按顺时针方向旋转，旋转至如图3所示位置．请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．
【拓展延伸】：
（3）在以上探究中，当旋转至、、三点共线时，则的面积为多少？（请直接写出答案）
35．（2024 建平县一模）【问题发现】
（1）如图1，在和 中，，，，点是线段上一动点，连接．
①求的值；
②求的度数．
【类比探究】
（2）如图2，在和 中，，，点是线段上一动点，连接．请求出的值及的度数．
【拓展延伸】
（3）如图3，在（2）的条件下，取线段的中点，连接，，若，则当是直角三角形时，求线段的长．
一、选择题（共12小题）
1．【答案】
【解答】解：，，，
，，
，
，
，，
是的中位线，
，
故选：．
2．【答案】
【解答】解：由作法得：平分，，
，即，
，
在和中，
，
，
，
，
在中，，，，
设，则，
在中，，
，
解得：，
即．
故选：．
3．【答案】
【解答】解：如图，延长至点，使，连接，
是等边三角形，的周长为12，
，．
，
，
，
，
在和中，
，
，
，．
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
的周长，
故选：．
4．【答案】
【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
，
．
故选：．
5．【答案】
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，，
，
，
，
，
，，
，
，
的周长．
故选：．
6．【答案】
【解答】解：，，
，
，
，
故选：．
7．【答案】
【解答】解：如图，过点作轴于，
，，
，
，
轴，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
8．【答案】
【解答】解：延长，交于点．
平分，，
，，
在与中，
，
，
，，
又是中点，
，
是的中位线，
．
；
故选：．
9．【答案】
【解答】解：过点作于点，
，，，
，
平分的周长，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，
即，
，，
，
，
故选：．
10．【答案】
【解答】解：，分别垂直平分和，
，，
，，
，，
，
，
，
．
故选：．
11．【答案】
【解答】解：如图：过点作，垂足为，
由题意得：，
，，
，
的面积，
，
，
解得：，
在中，，
，
故选：．
12．【答案】
【解答】解：如图，过点作于，过点作于．
，，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
平分，，，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，故①正确；
，故②正确；
，，，
，
四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
，故③正确，
正确的有①②③，
故选：．
二、填空题（共12小题）
13．【答案】．
【解答】解：，，
，
由题意可知，，
，
，
．
故答案为：．
14．【答案】（1）；（2）．
【解答】解：（1）如图，延长交于，
是的角平分线，
，
，
，
在与中，
，
，
，．，
，
，，
，
，
，
，
，
是的角平分线，
．
故答案为：；
（2），
，
，
，
．
故答案为：．
15．【答案】．
【解答】解：依题意的长为一段的圆弧的长度，
其圆心角为，半径为，
的长为．
故答案为：．
16．【答案】．
【解答】解：如图中，，，，是中线，是的重心，
由勾股定理得：，
是中线，
，
是的重心，
，
是斜边的中点，
是的外心，
这个直角三角形的重心与它的外心之间的距离为．
故答案为：．
17．【答案】．
【解答】解：四边形为矩形，，，
，，，
矩形沿折叠，使点落在边上处，
，，，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
则，
同理得：，
在中，，，
，
矩形沿折叠，使点落在上点处，
，，
，
，
，
，
，，
，
的面积．
故答案为：．
18．【答案】．
【解答】解：过作，交于点，
，
是的中线，
，即，
，
，，
，
，
，
，，
，即，
，
，
设，则，，
由勾股定理得，，
为的角平分线，
，
，
，
，
，
，即，，
，
，，
，
，
，，，，由勾股定理得，
，
，
，
，
，
故答案为：．
19．【答案】．
【解答】解：为的中点，，
，
，
，
为的中点，为中点，
为的中位线，
，
故答案为：．
20．【答案】．
【解答】解：与位似，
，，
，
，
的周长与的周长之比为，
故答案为：．
21．【答案】或或．
【解答】解：是的中点，
，
①如图（1），当点到的距离为2时，过点作于点，过点作于点，则，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
②如图（2），当点到的距离为2时，过点作于点，过点作于点，则，
同理可得：，，
，
，
即，
解得：；
③如图（3），当点到的距离为2时，过点作于点，过点作于点，
则，，
，
，
，
，
，
即，
解得：；
．
综上，的长为或或．
故答案为：或或．
22．【答案】．
【解答】解：过点作，在上截取，连接，，，如图1所示：
则，
为等腰直角三角形，
，点为的中点，
，
由勾股定理得：，
在中，，，点是的中点，
，
等腰是以直角边的等腰三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
根据“两点之间线段最短”得：，
即，
，
的最大值为，
此时点，，在同一条直线上，过点作交的延长线于，如图2所示：
为等腰直角三角形，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
即，
，
．
23．【答案】．
【解答】解：作于点，如图所示，
则，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
的面积为是：，
即，
故答案为：．
24．【答案】40．
【解答】解：由题意得：（海里），
是的一个外角，，，
，
，
海里，
从海岛到灯塔的距离40海里，
故答案为：40．
三、解答题（共11小题）
25．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）证明见解答过程．
【解答】证明：（1），是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）如图，连接，
，是的中点，
，
，
，
，
，
由（1）知，，
，
，
，
是的中点，
，
，
．
26．【答案】证明过程见解答．
【解答】解：，
，
，
且，
，
又，
，
在和中，
，
．
27．【答案】见解析．
【解答】解：（1）如图1中，点即为所求；
（2）如图2中，线段即为所求；
（3）如图3中，点即为所求．
28．【答案】（1）；
（2）证明见解析过程．
【解答】（1）解：；
（2）证明：如图，连接．
由旋转的性质可知，，，
是等边三角形，
，．
是等边三角形，
，，
，
，
即．
在和中，
，
，
．
29．【答案】（1）15；
（2）4．
【解答】解：（1）， 米，
（米，
根据题意得，
，
，
，
，
，
答：明德楼的高为15米．
（2）根据题意得，
，
，
，
，
，
答：塑像的影长为4米．
30．【答案】（1），；
（2）（1）中结论仍然成立，理由见解答；
（3）或．
【解答】解：（1）如图1中，
，，，
，，
，，
，
点在线段上，
，
，
，
，，
故答案为：，．
（2）结论仍然成立：
理由：如图2中，延长到，使得，连接，．
．，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
，，
，．
（3）如图中，当是等边三角形时，过点作于．
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，
，
，
，
，
．
如图中，当是等边三角形时，过点作于．
同法可求：，，
，
综上所述，满足条件的的面积为或．
31．【答案】（1）；
（2）；
（3）点到直线的距离为．
【解答】（1）解：在中，，，
，
故答案为：；
（2）解：由题意得，，
在中，，，，
；
（3）①当点在上方时，
如图1，过点作，垂足为，
在中，，，，
，
，
在中，，，，，
，
点、、在同一直线上，且，
．
在中，，，，
，
．
在中，，
；
②当点在下方时，
如图2，在中，，，，
．
．
过点作，垂足为，
在中，，
．
综上，点到直线的距离为．
32．【答案】（1）见解析；
（2）当时，（1）中的结论不成立，此时，理由见解析；
（3）．
【解答】（1）证明：，，是边上的高，
，，
，
，
，
，
；
（2）解：当时，（1）中的结论不成立，此时，
理由：，是边上的高，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：如图，连接，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
33．【答案】（1）；
（2）①；②存在最小值，最小值为．
【解答】解：（1）如图1，取的中点为，连接、，设交于点，
，
，
，，
是等腰直角三角形，，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（2）①如图2，过点作于点，于点，
则，
由（1）得：，
是等腰直角三角形，
，
、都是等腰直角三角形，
，，，，
，
即，，
，
，，
，
，
，
点在上，
，，
，
，，
在上，
，
，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
；
②存在最小值，理由如下：
如图3，过点作于点，连接，
由①得：点在上运动，
当、重合时，值最小，的长即为的最小值，
设交于点，则与①中的重合，
由①得：，
是等腰直角三角形，
，
点为的中点，
，，
，
设，则，
，
，
在中，，
的最小值为．
34．【答案】（1）①；②；
（2）（1）中的结论仍然成立；理由见解答过程；
（3）的面积为或．
【解答】解：（1）①，，，
，，
，
，
点是斜边的中点，，
，，
，，
将绕点按顺时针方向旋转，
，
，，
，
，
；
故答案为：；
②，
，
设，交于点，，交于点，如图1，
则：，
字型图），即直线与所夹锐角的度数为；
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立；理由如下：
，，
，
又，
，
，，
设，交于点，，交于点，如图2，
则：，
字型图），即直线与所夹锐角的度数为；
（3）①如图3，当点在，之间时，
、、三点共线，
，
，，
，
，
，
由（2）知：，，
，
，
；
②如图4，当点在，之间时，
同①可得：，
，
，
由（2）知：，，
，
，
；
综上，的面积为或．
35．【答案】（1）①1；
②；
（2），；
（3）线段的长为．
【解答】解：（1）①，
，
即，
，，
，
，，
；
②；
（2），，
，，
在中，，
在中，，
，
又，
△，
，．
，
，
，．
（3）如图，由（2）知：，，
，
在中，，，
，，
，且点是的中点，
，
为直角三角形，
，
，
，
设，则，，
中，，
，
解之得：（负值舍去）．
．
．
线段的长为．
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考向 考查内容 考查热度
相交线与平行线 对顶角与邻补角、三线八角、平行的判定与性质、垂线及线段的垂直平分线、角及平分线 ★★★
一般三角形及性质 三角形中的重要线段：角平分线、中线、高线、中位线 ★★★
特殊三角形及锐角三角函数 等腰三角形、等边三角形、直角三角形、锐角三角函数、特殊角的三角函数值 ★★★★
全等三角形 全等三角形的性质与判定、一线三等角、半角模型 ★★★★
相似三角形 相似三角形的性质与判定、黄金分割、几何测量 ★★★
1．对顶角与邻补角 （1）对顶角的性质：对顶角相等． （2）邻补角的性质：邻补角互补，即和为180°． （3）邻补角、对顶角成对出现，在相交直线中，一个角的邻补角有两个．邻补角、对顶角都是相对与两个角而言，是指的两个角的一种位置关系．它们都是在两直线相交的前提下形成的． 2．垂线和垂线段 （1）垂线的定义具有判定和性质的双重作用，即：知直角得线垂直；反之，知线垂直得直角． （2）线段是一条线段，可以度量长度，“一点”必须在直线外，若这点在直线上，就构不成垂线段，故这一点不能在直线上． （3）垂线段和点到直线的距离是两个不同的概念，垂线段是一条线段，是图形；而点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量． （4）垂线的应用：结合垂直的条件确定已知角和未知角之间的关系，再结合角平分线、对顶角、邻补角等定义计算． （5）抽象成利用“垂线段最短”和“两点之间，线段最短”求解的模型，再借助垂线段的性质和线段的性质求解． （6）点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．它只能量出或求出，而不能说画出，画出的是垂线段这个图形． 3．平行线的判定和性质 （1）平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 （2）平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． （3）平行线的判定方法 判定方法1：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：同位角相等，两直线平行． 判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行． 简单说成：内错角相等，两直线平行． 判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行简单说成：同旁内角互补，两直线平行． （4）平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等． 简单说成：两直线平行，同位角相等． 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等． 简单说成：两直线平行，内错角相等． 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补． 简单说成：两直线平行，同旁内角互补． 4．“三线八角” （1）识别同位角、内错角、同旁内角时，先在图形上标出两个角的边，然后抽取图形，并观察图形属于“F”“Z”还是“U”形，进而根据所属的形状确定角的类型． （2）在“三线八角”图形中，由两角判别截线和被截线的方法是看角的两边的位置；共线的一边所在的直线为截线，另两边所在的直线为被截线． （3）这三种角讲的都是位置关系，而不是大小关系，通常情况下，大小是不确定的；同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，没有公共顶点，但有一条边共线，且在截线上，另一边分别在两条被截线上；两条直线被第三条直线截成的8个角中共有4对同位角，2对内错角，2对同旁内角．
【典例1】 （2024 汇川区一模）如图，直线，被射线，所截，，若，则的度数为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先利用平角定义可得，然后利用平行线的性质即可解答．
【解答】解：如图：
，
，
，
，
故选：．
【典例2】 （2024 安阳县一模）如图，先在纸上画两条直线，，使，再将一块直角三角板平放在纸上，使其直角顶点落在直线上，若，则的度数是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由平角定义求出，由平行线的性质推出．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
【典例3】 （2023 高青县一模）如图，在中，于，，．
（1）求证：；
（2）若，，求及的度数．
【分析】（1）由平行线的性质、等量代换推知内错角，则易证得结论；
（2）在中，由三角形内角和是180度求得；然后根据（1）中的推知同位角；由，得，再结合即可求出．
【解答】解：（1）证明：，
．
又，
，
；
（2）在中，，，
．
又由（1）知，，
，
，，
，
．
【典例4】 （2023 长汀县模拟）如图，已知，点是上一点，连接、、，与交于点，，，求证：．
【答案】见解答．
【分析】根据，可得．再由，可得．然后根据，可得，从而得到，即可求证．
【解答】证明：，
．
，
．
，
，
即，
，
．
【典例5】 （2023 汉阳区校级模拟）如图，已知，，平分，于点，．
（1）求证：；
（2）求的度数．
【答案】（1）证明见解答过程；（2）．
【分析】（1）根据平行线的性质推出，求出，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据平行线的性质求出度数，根据角平分线的定义求出，，代入求出即可．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
；
（2）解：，，
，，
平分，
，
，
，
，
，
，
．
三角形的高三角形的中线三角形的角平分线定义如图，从的顶点向它所对的边所在的直线画垂线，垂足为，所得线段叫做的边上的高． 如图，连接的顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做的边上的中线． 如图，画的平分线交所对的边于点，所得线段叫做的角平分线． 推理语言∵是的高， ∴， （或）．∵是的中线， ∴．∵是的角平分线， ∴．用途举例（1）得到线段垂直； （2）得到角相等．（1）得到线段相等； （2）得到面积相等．得到角相等．
【典例1】 （2024 庐江县校级模拟）如图、，，分别是的中线、高和角平分线，，交于点，交于点，则下列结论一定正确的是
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念、直角三角形的性质、三角形中位线定理判断即可．
【解答】解：、，
，
，
，
，故本选项说法错误，不符合题意；
、当为等腰直角三角形时，，
是中线，
不是角平分线，
，故本选项说法错误，不符合题意；
、是的中线，
，
当时，是的中位线，
则，故本选项说法错误，不符合题意；
、，，，
，
，故本选项说法正确，符合题意；
故选：．
【典例2】 （2024 拱墅区一模）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段应该是的
A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是
【答案】
【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．
【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，
他所作的线段应该是的中线，
故选：．
【典例3】 （2023 宝鸡二模）如图，是的中线，若，，则与的周长之差为 ．
【分析】根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：是的中线，
，
，，
与的周长之差为：，
故答案为：1．
【典例4】 （2024 镇海区校级模拟）如图，在中，过点作交于点，点为上一点，为上一点，且，过点作交于点，交于点，，，，则三角形的面积为
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据条件可以得到，，利用四点共圆得到，可证，根据条件得到，设，则，，利用勾股定理求出值，继而得到高线的长，根据面积公式计算即可．
【解答】解：，，
，
，
又，
，
，
，，
连接、，作，垂足为，
，
点、、、四点共圆，
，，
，
，
，，
，
，
设，则，，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
．
．
故选：．
【典例5】 （2024 哈尔滨模拟）如图，在等边中，、分别为、的中点，延长至点，使，连接和．
（1）求证：；
（2）请直接写出与相等的所有角除外）．
【答案】（1）证明见解析；
（2）、、、．
【分析】（1）直接利用三角形中位线定理得出四边形是平行四边形，进而得出；
（2）根据平行四边形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：、分别为、的中点，
为的中位线，
，，
，
，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，是中点，
，
与相等的所有角是、、、．
1．等腰三角形 （1）应用“三线合一”性质的前提条件是在等腰三角形中，且必须是底边上的中线、底边上的高和顶角平分线，若是一腰上的高与中线就不一定重合． （2）等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线（或底边上的高、底边上的中线）所在的直线是它的对称轴． 2．等边三角形 （1）判定等边三角形时常用的选择方法： 若已知三边关系，一般选用：三边都相等的三角形是等边三角形； 若已知三角关系，一般选用：三个角都相等的三角形是等边三角形； 若已知该三角形是等腰三角形，一般选用：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 3．含30°角的直角三角形 （1）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半． （2）含30°角的直角三角形的性质是求线段长度和证明线段倍分关系的重要依据． 4．勾股定理及其逆定理 （1）已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先明确所求边是斜边还是直角边，再决定用勾股定理的原式还是变式． （2）勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题． （3）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形． （4）利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形． （5）利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形的一般步骤： ①确定三角形的最长边； ②分别计算出最长边的平方与另两边的平方和； ③通过比较来判断最长边的平方与另两边的平方和是否相等； ④作出结论，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，否则不是直角三角形． 5．锐角三角函数 （1）正弦、余弦、正切的概念 如图，在ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c． ①∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦 ，即sin A＝； ②∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，即cos A＝； ③∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，即tan A＝； 锐角A的正弦、余弦、正切叫做∠A的锐角三角函数． （2）特殊角的三角函数值 θ30°45°60°sin θcos θtan θ1
（3）锐角三角函数之间的关系 同一锐角的三角函数之间的关系： ①； ②．
【典例1】 （2024 怀化一模）如图，从山下乘缆车上山，缆绳与水平方向成的夹角，已知缆车速度为每分钟30米，从山脚到山顶需16分钟，则山的高度为
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】
【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．
【解答】解：由题意得：（米，
在中，，
，
（米，
故选：．
【典例2】 （2023 苏州一模）如图，在中，、的平分线相交于点，过点，且，交、于点、．求证：．
【分析】由、的平分线相交于点，，，利用两直线平行，内错角相等，利用等量代换可，，然后即可证明．
【解答】解：、的平分线相交于点，
，，
，，，
，，
，，
，即．
【典例3】 （2022 攸县校级一模）如图，在中，点是边上一点，点在边上，且，，．
（1）如图1，求证：是等腰三角形；
（2）如图2，若平分，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与相等的角除外）．
【答案】（1）见解析；
（2）图中所有与相等的角有，，，．
【分析】（1）根据平角的定义和三角形的内角和定理得到，根据全等三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据全等三角形的性质得到，根据角平分线定义得到，等量代换得到结论．
【解答】解：（1），，，
，
在与中，
，
，
，
是等腰三角形；
（2），
，
平分，
，
，
，
故图中所有与相等的角有，，，．
【典例4】 （2023 江源区一模）如图所示，在中，，，．动点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向终点运动．过点作 于点（点不与点，重合），作，边交射线于点．设点的运动时间为秒．
（1）用含的代数式表示线段的长；
（2）当点与点重合时，求的值；
（3）设与重叠部分图形的面积为，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，结合图形计算，得到答案；
（2）根据等腰三角形的判定定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据题意列式计算即可；
（3）分、两种情况，根据三角形的面积公式计算，得到与之间的函数关系式．
【解答】解：（1）在中，，，
，
由勾股定理得，，
，
，
在中，，，
，，
；
（2）在中，，
，
，
，
，
．
当点和点重合时，，
解得，；
答：当点与点重合时，秒；
（3）当时，；
当时，如图2，
，
在中，，
，
，
．
【典例5】 （2023 五通桥区模拟）如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”得到如图2所示大小两个正方形．
（1）用含的代数式表示图2中小正方形的边长；
（2）若图2中，大正方形面积是小正方形面积的13倍，求值．
【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）图2中小正方形的边长等于直角三角形的两直角边的差；
（2）依据大正方形面积是小正方形面积的13倍，列方程求解即可．
【解答】解：（1）图2中小正方形的边长为；
（2）由题得：，
化简得：，
，
或．
1．判定两个三角形全等常用的思路方法如下： 2．找等角的常用方法证三角形全等时，常见的隐含等角有 （1）公共角； （2）对顶角相等； （3）等角加（或减）等角仍得等角； （4）角平分线得两等角； （5）同角（或等角）的余角或补角相等； （6）平行线得同位角、内错角相等； （7）垂直定义得两角相等； （8）一些自然规律：“太阳光线可以看作是平行线”“光的入射角等于反射角”等也是常见的隐含条件． 3．根据对应顶点的字母写在对应位置上准确确定出全等三角形的对应边和对应角是解题关键． 4．全等三角形的性质 （1）全等三角形性质的应用：可用来证明两条线段相等，两个角相等． （2）平移、折叠、旋转属于全等变换，都能产生全等图形，利用全等的性质得到对应边相等、对应角相等解决问题．
【典例1】 （2024 长沙县一模）如图，在中，，是的平分线，过点作于点，延长交的延长线于点，且．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解答；
（2）的长为4．
【分析】（1）由角平分线的性质证明，而，即可根据“”证明，得；
（2）由，，，根据“”证明，得，，由勾股定理得，求得．
【解答】（1）证明：，
，
是的平分线，，，
，，
在和中，
，
，
．
（2）解：，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
的长为4．
【典例2】 （2024 子洲县校级二模）如图，在四边形，，，，，求证：．
【答案】证明见解析过程．
【分析】根据，得到，结合得到，利用证明即可，
【解答】证明：，，
，
，
．
在与中，
，
，
．
【典例3】 （2024 扶风县一模）如图，在中，，、分别为、上一点，．若，求证：．
【答案】证明过程请看解答．
【分析】先根据条件得出，，再根据判定，即可得到．
【解答】证明：，
，
，
，
，，
，
在与中，
，
，
．
【典例4】 （2024 陕西模拟）如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点、．求证：．
【答案】证明见解答．
【分析】由，得，而，，即可根据“”证明，得．
【解答】证明：，
，
在和中，
，
，
．
【典例5】 （2024 通榆县一模）如图，点、在上，且，，，求证：．
【答案】见解析．
【分析】根据证明即可推出结论．
【解答】证明：，
，
即，
在和中，
，
，
，
．
1．相似三角形的判定定理 判定定理1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似． 判定定理2：三边成比例的两个三角形相似． 判定定理3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似． 判定定理4：两角分别相等的两个三角形相似． 2．判定三角形相似的几条思路： （1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定定理1； （2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定定理1]或再找夹边成比例[用判定定理2]； （3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等； （4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例； （5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例． 3．相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，这里要特别注意“对应”，在应用时，要注意找准对应线段．
【典例1】 （2024 巴东县模拟）如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，点为线段上一点，将绕点旋转时，线段与交于点，线段与直线交于点．
（1）如图①，点在线段上且时，求证：；
（2）如图②，点在线段的延长线上时，求证：；
（3）如图③，点在线段的延长线上，若，，，求，两点间的距离．（用含的代数式表示）
【答案】（1）见解析；
（2）见解析；
（3）．
【分析】（1）根据三角形外角的性质得．再根据即可证明结论；
（2）由（1）同理得，，根据两个角相等即可证明；
（3）由（2）知，可得、的长，进而表示出和的长，利用勾股定理可得答案．
【解答】（1）证明：和是两个全等的等腰直角三角形．
，
，
，
．
，
．
（2）证明：，
即，
，
，
又，
；
（3）解：由（2）得，
，
，
解得：，
，
，
，，
在中，．
，两点间的距离为．
【典例2】 （2024 汝阳县一模）如图所示，将矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上．
（1）求证：；
（2）若，求的值．
【答案】（1）见解答；
（2）．
【分析】（1）因为是由翻折得到，推出，推出，，推出，由此即可证明．
（2）由，推出，设，则，，由，得，，根据计算即可．
【解答】（1）证明：四边形是矩形，
，，，
是由翻折得到，
，
，，
，
，
．
（2），
，设，则，，
矩形纸片沿折叠得到，且点恰好落在上，
，，
，
，
，
，
，
．
【典例3】 （2024 河南一模）“度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望．触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入”就是说，使用多次测量传递的方法，就可以测量出各点之间的距离和高度差．
——刘徽《九章算术注序》
某市科研考察队为了求出某海岛上的山峰的高度，如图，在同一海平面的处和处分别树立标杆和，标杆的高都是5.5米，两处相隔80米，从标杆向后退11米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上；从标杆向后退13米的处，可以看到顶峰和标杆顶端在一条直线上．求山峰的高度及它和标杆的水平距离．
注：图中各点都在一个平面内．
【答案】山峰的高度为225.5米，它和标杆的水平距离为440米．
【分析】根据题意可得：，，，从而可得，然后证明字模型相似，，从而利用相似三角形的性质进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得：，
，
解得：，
山峰的高度为225.5米，它和标杆的水平距离为440米．
【典例4】 （2024 江汉区一模）如图，点，，分别是的边，，上的点，，．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，直接写出的值为 ．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【分析】（1）根据平行线的判定与性质求出，根据“对边分别平行的四边形是平行四边形”即可得解；
（2）根据平行线的性质求出，，即可判定，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”求解即可．
【解答】（1）证明：，
，
，
，
，
又，
四边形为平行四边形；
（2）解：，，
，，
，
，
，
，
故答案为：．
【典例5】 （2024 沭阳县校级模拟）如图，小华和小康想用标杆来测量校园中的一棵树的高，小康在处竖立了一根标杆，小华走到处时，站立在处恰好看到标杆顶端和树的顶端在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离米，米，米，米，点、、在一条直线上，，，，根据以上测量数据，请你求出树的高度．
【答案】树的高度为8.8米．
【分析】过作于，交于，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解答】解：过作于，交于，
则米，米，
（米，（米，
由题意得，，，
，
，
，
（米，
答：树的高度为8.8米．
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