2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）（含解析）

2022-2023学年四川省成都市锦江区嘉祥外国语学校九年级（下）月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本题共8小题，共32分）
1.数的相反数为，则的值为( )
A. B. C. D.
2.如图所示的钢块零件的俯视图为( )
A.
B.
C.
D.
3.已知、两点的坐标分别是和，则下面四个结论：
、不一定关于轴对称；
、可能关于轴对称；
、之间的距离取值范围为；
因为距离一定是正值，所以、两点的距离一定为正整数．
其中正确的是( )
A. B. C. D. 以上选项均错误
4.小王的作业本上有道题：；；；，对此，你对小王的作业评价是( )
A. 因为当时所有等式均成立，所以小王作业全对
B. 因为当时仅有成立，所以小王作业正确
C. 小王作业只对了一道
D. 小王作业全错
5.成都某高中实验班有个人，全班均参加语文知识竞赛，有位同学的成绩为：，，，，单位：分，则下面说法正确的是( )
A. 该班同学平均分为分 B. 这位同学成绩中位数为分
C. 该班最高分一定是分 D. 该班同学平均分大约为分
6.方程的解为( )
A. B. C. D.
7.将一副三角板厚度不计如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的角度为( )
A. B. C. D.
8.如图，已知抛物线经过点，对称轴为直线，下列结论中正确的是( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本题共10小题，共40分）
9.当 ______时，式子与互为倒数若不存在使得满足题意，请在横线上填写“不存在”
10.“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒，组成，两根棒在点相连并可绕转动，点固定，，点、可在槽中滑动．若，则的度数是______．
11.如果一次函数、是常数的图象不经过第二象限，那么、应满足的条件是______．
12.如图，在 中，尺规作图：以点为圆心，的长为半径画弧交于点，分别以点，为圆心，以大于的长为半径画弧交于点，做射线交与点，若，，则的长为______．
13.如图，在平面直角坐标系中，坐标已被污损，图中已标出轴和轴的方向，请你判断在下方还是上方的曲线是的局部图象：______请回答：“上方”或“下方”或“无法判断”
14.请判断下面说法正确与否：与的交点在第一象限或第四象限______判断对错
15.如图所示，是长方形地面，长，宽中间竖有一堵砖墙高一只蚂蚱从点爬到点，它必须翻过中间那堵墙，则它要走的路程取值范围是______．
16.如图，正三角形的边长为，点是边上的动点不与端点、重合，在上方作正三角形当点由点向点运动过程中求面积的最大值为______．
17.一个三角形三边长分别是，，，其面积为______．
18.如图，一张矩形纸片中，为常数将矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，与交于点．
当，若，，则的长为______．
当点落在的中点时，且，则 ______．
三、解答题（本题共8小题，共78分）
14.计算：；
解不等式：．
15.我市各学校积极响应上级“停课不停教、修课不停学”的要求，开展了空中在线教学．其校就“网络直播课”的满意度进行了随机在线问卷调在，调在结果分为四类：非常满意；很满意；一般；不满意，将收集到的信息进行了统计，绘制成不完整的统计表和统计图如图所示请你根据统计图表所提供的信息解答下列问题：
接受问卷调查的学生共有______人；______；______；
补全条形统计图；
频数分布统计表
类别 频数 频率
若该校共有学生人，请你根据上述调查结果，估计该校对“网络直播课”满意度为类和类的学生共有多少人；
为改进教学，学校决定从选填结果是类的学生中，选取甲、乙、丙、丁四人，随机抽取两名同学参与网络座谈会，求甲、乙两名同学同时被抽中的概率．
16.如图所示，，上有一点，，，
用含的表达式表示出的长度；
用含的表达式表示出点到的距离．
17.如图所示，在圆中，有一内接三角形，半径为，请证明：，并求内接三角形面积的取值范围．
18.一条过的直线交于，两点．
求的取值范围；
求面积的取值范围；
记直线于轴交于点，若是的三等分点，探究是否存在，若存在，可能取哪些值？
24.，，若为正整数且也是正整数，求取值范围．
25.在平面直角坐标系中，有一函数过点．
若，是一元二次方程的两个实数根，求的可能取值．
过作直线，讨论直线与函数的交点个数此时为确定的实数．
过原点作一条直线交该函数于另一点，再过作垂直于的直线交抛物线另一点于，请试探究面积的取值范围此时为确定的实数
26.如图，已知矩形中，，，在上找一点，使点与点、的连线将矩形分成的三个三角形相似设，请问这样的点是否存在？若存在，这样的点有几个？若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的相反数是，
的值为．
故选：．
利用相反数的定义判断．
本题考查了相反数，解题的关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】
【解析】解：从上面看是：
．
故选：．
根据从上面看得到的视图是俯视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，掌握从上面看得到的视图是俯视图是关键．
3.【答案】
【解析】解：纵坐标相同，则、不关于轴对称，故错误，不符合题意；
横坐标互为相反数，纵坐标相同，则、一定关于轴对称，故错误，不符合题意；
当时，两点重合，则、之间的距离取值范围为，故错误，不符合题意；
、两点有可能重合，故距离有可能为，故错误，不符合题意；
故选：．
根据点坐标的轴对称性，两点间的距离分别判断即可．
此题主要考查了点的坐标轴对称，两点之间的距离，关键是掌握点的坐标的变化规律．
4.【答案】
【解析】解：无法合并，故错误，
，故错误，
，故错误，
，故正确，
而，选项中的说法只对特殊值有效，故不正确，
小王作业只对了一道，
故选：．
根据合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式和幂的乘方法则分别计算即可．
本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，完全平方公式和幂的乘方，要熟练掌握相应的运算法则，并判断计算正确与否．
5.【答案】
【解析】解：这名学生平均分为，但由于缺乏最高分，最低分以及总分，故无法估计该班学生的平均分，故A错误，D错误，不符合题意；
这位同学成绩从小到大为，，，，，则中位数为分，故正确，符合题意；
该班最高分不一定是分，故错误，不符合题意；
故选：．
根据平均数，中位数的求法分别判断．
本题考查了平均数，中位数，掌握各自的求法，理解题中情境是解题的关键．
6.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】
解：去分母得：，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
检验：把代入得：，
分式方程的解为．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示：
，
，
，
故选：．
根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数．
本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：抛物线开口向下，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
抛物线交轴的正半轴，
，
，故A、B错误；
抛物线的对称轴为直线，
而点关于直线的对称点的坐标为，
当时，，故C错误；
抛物线经过点，
，
，
，即，故D正确，
故选：．
由抛物线的开口向下，对称轴，抛物线交轴的正半轴，判断，、与的关系，得到，，即可判断、；
根据对称轴和抛物线与轴的一个交点，得到另一个交点，然后根据图象确定答案即可判断；
根据抛物线经过点以及，得到，即可判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左；当与异号时即，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与轴交于；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．
9.【答案】不存在
【解析】解：由题意可得：，
，
，
，
此方程无解，
不存在这样的值，
故答案为：不存在．
根据倒数的性质得到，化简后得到一元二次方程，利用判别式判断出方程无解，可得结果．
本题考查了倒数，解一元二次方程，熟练掌握根的判别式是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为．
由等腰三角形的性质可得，，由外角性质可得，即可求解．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质进行推理是本题关键．
11.【答案】，
【解析】解：一次函数、是常数的图象不经过第二象限，
，，
故答案为：，．
根据一次函数、是常数的图象不经过第二象限，即可确定，．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象与系数的关系是解题的关键．
12.【答案】
【解析】解：由题意可知：，，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，
在中，，
．
故答案为：．
证明四边形是菱形，利用勾股定理求出即可解决问题．
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是判定四边形是菱形．
13.【答案】无法判断
【解析】解：如图，作一，三象限的角平分线，分别交两个图象于点和点过点作轴于点，交上方双曲线于点，过点作轴于点，交下方双曲线于点．
假设下方双曲线为对应解析式为，设上方双曲线为，由题意可知，．
根据题意，点在直线上，
，
解得，
点坐标为，
点坐标为，点坐标为，
，
，
即此时，下方双曲线为的局部图象；
假设当上方双曲线为对应解析式为，设下方双曲线为，由题意可知，．
同理，点坐标为，
点坐标为，
，
此时，上方双曲线为的图象；
综上可知，上、下方双曲线都可以为的局部图象；
故答案为：无法判断．
根据双曲线的轴对称性，作一，三象限的角平分线，分别交两个图象于点和点过点作轴于点，交上方双曲线于点，过点作轴于点，交下方双曲线于点分别讨论当上下方双曲线是的情况，确定与的大小关系，通过讨论发现，上下方双曲线均可以是的局部图象，故说明无法判断．
本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是利用数形结合思想解决问题．
14.【答案】解：；
．
【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、算术平方根四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；
根据一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法先移项，再化简同乘除．
本题考查了解简单不等式的能力和实数的混合运算，解答不等式题目时学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错．解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．
15.【答案】
【解析】解：受问卷调查的总人数为人，
，
，
故答案为：，，；
如图，
人．
答：估计该校学生中类和类共有人；
列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁
乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁
丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁
丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙
共有种等可能的结果，其中甲、乙两位同学同时被抽中的结果有种，
所以甲、乙两位同学同时被抽中的概率．
用类人数除以它的频率得到调查的总人数，再用总人数乘以类的频率得到的值，然后用类的人数除以总人数得到的值；
利用、类人数补全条形统计图；
用乘以、的频率和即可；
通过列表展示所有种等可能的结果，找出甲、乙两位同学同时被抽中的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后根据概率公式计算事件或事件的概率．也考查了统计图．
16.【答案】解：在中，，，，
，
在中，，，
；
解：在中，，，
，
则，
设点到的距离为，
由得，
．
【解析】利用正切和余弦定义分别表示、即可；
再利用正切定义表示出、，然后利用三角形的等面积法求解即可．
本题考查锐角三角函数、三角形的面积公式，熟练掌握锐角三角函数的定义以及应用是解答的关键．
17.【答案】证明：如图所示，连接并延长交于点，
，
为直径，
是直角三角形，
，
，
，
如图所示，以为底时，当对应的高线经过圆心时最大，
，
，
，是以为底边的等腰三角形；
同理，以为底时，当对应的高线经过圆心时最大，
同理可证，是以为底边的等腰三角形时，最大，
综上所述，是等边三角形时，圆内接三角形面积最大；
如图所示，当是等边三角形时，连接，并延长交于点，
由圆内接正三角形的性质，
得：，
，，
；
综上所述，．
【解析】连接并延长，构造以为直角边的圆内接直角三角形，根据圆周角性质即可证明；圆内接三角形面积最大时，是等边三角形，用假设法验证非等边三角形面积并非最大，进而求得圆内接等边三角形的面积即可．
本题主要考查圆周角的性质，垂径定理，圆内接三角形中等边三角形面积最大，解题的关键是构造以直径为斜边的直角三角形，解题的难点是用假设法证明圆内接三角形中等边三角形面积最大．
18.【答案】解：直线交于，两点，
，
，
，
直线中，，
且．
由得，，
，，
，
，
且，
或，
，
．
如图：
当时，存在是的三等分点，
是的三分点，
；
；
，，
；
，
解得：；无解；
，
当时，点在线段之外，
不满足条件；
综上所述，当时，存在是的三等分点．
【解析】直线交于，，得；整理得：；根据有两个交点，则，即可求出的取值范围；
由得，解得：，；根据，即可得到面积的取值范围；
分类讨论：当和，存在是的三等分点，根据相似三角形的性质，即可求出．
本题考查函数和相似三角形的知识，解题的关键掌握反比例函数和一次函数的综合应用，二次函数的性质，相似三角形的性质．
19.【答案】错误
【解析】解：在中，，
的图象经过第一、三象限，
交点不可能在第四象限，
故说法错误，
故答案为：错误．
根据正比例函数图象经过的象限即可判断．
本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是掌握根据值确定函数图象经过的象限．
20.【答案】
【解析】解：如图所示，将图展开，图形长度增加，
原图长度增加，则，
连接，
四边形是长方形，，宽，
，
蚂蚱从点爬到点，它要走的路程．
故答案为：．
连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的长方形长度增加而宽度不变，求出新长方形的对角线长即可得到范围．
本题考查的是平面展开最短路线问题及勾股定理，根据题意画出图形是解答此题的关键．
21.【答案】
【解析】解：，是等边三角形，
，，，
，
，
≌，
四边形的面积为：，
的面积等于四边形面积，
当时，最小，最小，最大，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，
故答案为：．
根据，是等边三角形，得，，，根据等量代换，全等三角形的判定，得≌，得四边形的面积为：，根据的面积等于四边形面积，当最小时，的面积最大，即可．
本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，勾股定理的运用．
22.【答案】
【解析】解：如图，，，，为高，
设，则，
在和中，
，
即，
解得：，
，
，
故答案为：．
画出图形，作出高，利用和的公共边，利用勾股定理列出方程，进一步求出高，再利用面积公式计算．
本题考查了勾股定理解三角形，解题的关键是利用勾股定理列出方程，求出三角形的高．
23.【答案】
【解析】解：过点作于，
则，，，
四边形是矩形，
，
在中，
，
，
设，，，
则，
由折叠的性质得，，，，，
，
，，
，
，
解得，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
∽，
，
即，
解得，，
，
，，
∽，
，
即，
解得，
，
，
在中，，
，
解得，
；
故答案为：；
，
设，则，
点是的中点，
，
∽，
，
即，
，
，，，
，
在中，，
，
解得，
，
，
．
故答案为：．
过点作于，则，，，根据在中，，得到，设出，，，利用勾股定理求得，进一步求得，，再证得∽，利用相似三角形的性质求得，，得到，在中，利用勾股定理求得即可求得；
根据，设，则，根据∽，得到，在中，利用勾股定理得到，解即可求解．
本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质，从复杂的图形中找出相似三角形是解题的关键．
24.【答案】解：，
为正整数且也是正整数，
解得：，
，
解得：．
【解析】根据，为正整数解二元一次方程．
本题考查了二元一次方程的解，解题的关键是求出相应的正整数解．
25.【答案】解：，
即，
解得：，，
，或，，
过点
当，时，
解得：
当，时，
解得：，
综上所述，或；
设过的直线，解析式为，
联立，
即，
，
，的值不确定，
，，都有可能，
随的取值变化而变化，直线与函数的交点个数可以是个，也可以是个，也可以是个；
面积的取值范围为大于的任何实数．
【解析】先根据因式分解法解一元二次方程，根据题意得出，或，，然后分类讨论代入函数解析式，待定系数法即可求解；
设过的直线，解析式为，根据已知，，，都有可能；
面积的取值范围为大于的任何实数．
本题考查了二次函数图象的性质，理解二次函数的性质是解题的关键．
26.【答案】解：假设这样的点存在，由三个三角形相似知：，即，
，
由于，
即当时，，这样的点只有一个；
当时，，这样的点只有两个；
当时，，这样的点不存在．
【解析】根据相似三角形的性质建立、、的二次方程，由根的判别式分析讨论点的情况．
本题主要利用了相似三角形的性质和一元二次方程的根与系数的关系求解．
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