2022-2023学年福建省漳州市东盛教育集团九年级（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省漳州市东盛教育集团九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.的倒数是( )
A. B. C. D.
2.受本土疫情波及全国多数省份，线下餐饮、购物、出行等消费需求减少等影响，消费市场持续承压，但必需类商品及汽车销售情况依旧良好前个月，社会消费品零售总额亿元，同比下降数据亿，用科学记数法表示为( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
3.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
4.一空心圆柱，如图所示，其俯视图是( )
A.
B.
C.
D.
5.不等式组的解集是( )
A. B. C. D.
6.如图，在中，，，则( )
A.
B.
C.
D.
7.孙子算经中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，木长多少尺？若设绳子长尺，木长尺，所列方程组正确的是( )
A. B. C. D.
8.祖冲之是中国数学史上伟大的数学家，他把圆周率精确到小数点后位，这是祖冲之最重要的数学贡献数学活动课上，同学们对圆周率的小数点后位数字进行了统计：
数字
频数
那么，圆周率的小数点后位数字的众数与中位数分别为( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
9.如图，点和都在反比例函数的图象上，过点分别向轴和轴作垂线，垂足分别是点，，连接，，，若四边形的面积记作，面积记作，则：( )
A. ：
B. ：
C. ：
D. ：
10.如表中，记录了二次函数中两个变量与的组对应值，其中，根据表中信息，当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.函数中，自变量的取值范围是 ．
12.大小、形状完全相同的张卡片，背面分别写着“我”“的”“中”“国”“梦”这个字，从中随机抽取一张，则这张卡片背面恰好写着“中”字的概率是______．
13.分解因式： ．
14.如图，与是位似图形，相似比为：，已知，则的长为______．
15.如图，，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点作射线，过点分别作交于点，于点若，则的长为______．
16.如图，在边长为的等边中，点，分别是高和边上的动点，且，连接，，则长的最小值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：．
18.本小题分
先化简，再求值：，其中．
19.本小题分
如图，四边形中，，与相交于点，，求证：四边形是平行四边形．
20.本小题分
如图，中，
在线段上找一点，使得要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
在的基础上，若，，，求的长．
21.本小题分
五月，本地新鲜枇杷大量上市，某水果超市从枇杷基地购进了一批、两个品种的枇杷销售，两个品种的枇杷均按的盈利定价销售，前两天的销售情况如表所示：
销售时间 销售数量 销售额
品种 品种
第一天 斤 斤 元
第二天 斤 斤 元
求该超市购进、两个品种的枇杷的成本价分别是每斤多少元？
两天后剩下的品种枇杷是剩下的品种枇杷数量的，但品种枇杷已经开始变坏，出现了的损耗该超市决定降价促销：品种枇杷按原定价打折销售，品种枇杷每斤在原定价基础上直接降价销售假如除损耗的以外，第三天把剩下的枇杷全部卖完，要保证第三天的总利润率不低于，则品种枇杷每斤在原定价基础上最多直接降价多少元？
22.本小题分
某校八年级为了解学生课堂发言情况，随机抽取该年级部分学生，对他们某天在课堂上发言的次数进行了统计，其结果如下表，并绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，已知、两组发言人数的比为：，请结合图中相关数据回答下列问题：
发言次数
求出样本容量，并补全直方图；
该年级共有学生人，请估计全年级在这天里发言次数不少于次的人数；
已知组发言的学生中恰有位女生，组发言的学生中有位男生．现从组与组中分别抽一位学生写报告，请用列表法或画树状图的方法，求所抽的两位学生恰好是一男一女的概率．
23.本小题分
如图，内接于，是的直径，过上的点作，交的延长线于点，交于点，与相切于点，交于点．
求证：点为的中点；
若，，，求的长．
24.本小题分
如图，正方形的边长为，点，分别在，上，且，过点作的垂线交边于点，交折线于点，连接和．
当点为的中点时，判断的形状是______；
当点与重合时，求的长；
当时，求的长．
25.本小题分
如图，经过点且对称轴为直线的抛物线是由抛物线平移得到的，并与轴分别交于，两点点在点的左侧．
求抛物线的解析式，并直接写出点，的坐标；
如图，在第三象限的抛物线上有一动点，若满足，求的面积；
如图，点，为抛物线对称轴上的两动点，其纵坐标的积为，直线与分别交抛物线于点，，试确定直线是否经过定点？并说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了倒数，倒数的定义：若两个数的乘积是，我们就称这两个数互为倒数．熟练掌握倒数定义是解题的关键根据倒数定义解答即可．
【解答】
解：的倒数是．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：亿，
故选：．
科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于时，是正整数，当原数绝对值小于时，是负整数．
本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，表示时关键是要正确确定的值以及的值．
3.【答案】
【解析】】解：该图形既不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意；
C.该图形是轴对称图，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
本题考查了轴对称图形和中心对称图形，掌握相关定义是解答本题的关键．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
4.【答案】
【解析】解：该空心圆柱的俯视图为：
故选：．
根据从上边看到的图形是俯视图，可得答案．
本题考查常见几何体的三视图，解题的关键是注意：可以看到的线用实线，看不到的线用虚线．
5.【答案】
【解析】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
故选：．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：，，
，
，
，故B正确．
故选：．
根据勾股定理，可得与的关系，根据正弦函数的定义，可得答案．
本题考查了锐角三角函数的定义，先利用勾股定理得出与的关系，再利用正弦函数的定义．掌握三角形函数的定义是解答本题的关键．
7.【答案】
【解析】解：用绳子去量长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
．
所列方程组为．
故选：．
根据“用绳子去量长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺”，即可得出关于，的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：圆周率的小数点后位数字中，出现的次数最多，故众数为，
第个和第个数字都是，故中位数是．
故选：．
直接根据众数和中位数的定义可得答案．
本题主要考查众数和中位数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题关键．
9.【答案】
【解析】解：点，点都在反比例函数的图象上．
，
，，
，，
，
作，交的延长线于，
则，，，，
，
：：，
故选：．
过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，，根据图象上点的坐标特征得到，，根据反比例函数系数的几何意义求得，然后根据求得，即可求得：：．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，分别求得、的值是解题的关键．
10.【答案】
【解析】解：由、可得抛物线对称轴，
又由、以及对称轴可得，
抛物线与轴的交点为、，则设抛物线交点式为，
与对比可得，解得，
二次函数表达式为，
当时，；
当时，；
当时，最大值，
，
当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，
，
故选：．
根据表中数据得出对称轴，进而得到抛物线与轴的交点，利用交点式得到，从而得到二次函数表达式为，根据当时，直线与该二次函数图象有两个公共点，可得．
本题考查二次函数图象与性质，掌握二次函数表达式的求法是解决问题的关键．
11.【答案】
【解析】解：根据题意得到：，
解得，
故答案为．
从两个角度考虑：分式的分母不为；偶次根式被开方数大于或等于；当一个式子中同时出现这两点时，应该是取让两个条件都满足的公共部分．
本题考查了函数自变量的取值范围问题，判断一个式子是否有意义，应考虑分母上若有字母，字母的取值不能使分母为零，二次根号下字母的取值应使被开方数为非负数．易错易混点：学生易对二次根式的非负性和分母不等于混淆．
12.【答案】
【解析】解：在我”“的”“中”“国”“梦”这个字的卡片中只有张写有“中”字，
这张卡片上面恰好写着“中”字的概率是
故答案为：．
由在我”“的”“中”“国”“梦”这个字的卡片中只有张写有“中”字，利用概率公式计算可得．
本题考查了统计与概率中概率的求法．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
13.【答案】
【解析】【分析】
直接提取公因式进而分解因式得出即可．
此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
【解答】
解：．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：与是位似图形，相似比为：，
∽
：：，
，
，
故答案为：．
根据相似比，列出比例式即可求解．
本题考查了位似图形，相似三角形的性质，属于简单题，列出比例式是解题关键．
15.【答案】
【解析】解：过点作于，如图，
由作法得平分，则，
，，
，，
，，
，，
，，
，，
在中，，
．
．
故答案为：．
过点作于，如图，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，，再根据平行线的性质得到，，进而可得，，则有，，在中，，
可得，问题随之得解．
本题考查了作图基本作图，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质和角平分线的性质定理．
16.【答案】
【解析】解：过点作于点，如图，
在边长为的等边中，有，，
，
，，
，
，
，，
设，
，，
，
同理，
变形：，，
设，，，
可看作是点与点之间的距离，可看作是点与点之间的距离，
点关于轴的对称点坐标为：，
即当点，点，点三点共线时，有最小值，
此时最小值为，
，
即最小值为，
故答案为：．
过点作于点，根据等边三角形的性质以及三角函数的知识，可得，，，，设，即有，，则，同理，变型：，，设，，，即可将可看作是点与点之间的距离，可看作是点与点之间的距离，点关于轴的对称点坐标为：，即当点，点，点三点共线时，有最小值，此时最小值为，问题随之得解．
本题主要考查了解直角三角形，等边三角形的性质，勾股定理等知识，将可看作是点与点之间的距离，可看作是点与点之间的距离是解答本题的关键．
17.【答案】解：原式
．
【解析】先根据零次幂、绝对值、负整数次幂、特殊角的三角函数值、二次根式的性质化简，然后再合并同类二次根式即可．
本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握并灵活运用零次幂、负整数次幂、特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
18.【答案】解：原式
，
当时，
原式．
【解析】原式去括号、化除法为乘法，进行约分，得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．
本题考查了分式的化简求值．在化简的过程中要注意运算顺序和分式的化简．化简的最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要化成最简分式或整式．
19.【答案】证明：，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形是平行四边形．
【解析】根据平行线的性质得出，根据全等三角形的判定得出≌，根据全等三角形的性质得出，根据平行四边形的判定得出即可．
本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
20.【答案】解：如图，点就是所求作的点；
作，垂足为，设，
，，
，
为等腰直角三角形，
，，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
解得：，舍去，
．
【解析】本题考查了作图基本作图，三角形的面积，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的作法．
作的垂直平分线交于点，可得；
作，垂足为，设，根据，，可得，所以为等腰直角三角形，得，由，利用含度角的直角三角形性质得，，根据，即可求的长．
21.【答案】解：设枇杷的销售价为每斤元，枇杷售价为每斤元，
则，
解得，
因为两个品种的枇杷均按的盈利定价销售，则成本价的倍是售价，
成本价：元斤，
成本价：元斤，
答：、两个品种的枇杷的成本价分别是元斤和元斤；
设枇杷剩余斤，则枇杷剩余斤，枇杷每斤降价元，
第三天总销售额：，
第三天总成本：，
由题意知总利润不低于，
，
，
种枇杷最多每斤降元．
【解析】设枇杷的销售价为每斤元，枇杷售价为每斤元，根据第一天和第二天的销售额列出方程组即可求得，的售价，根据两个品种的枇杷均按的盈利定价销售，求出成本价；
设枇杷剩余斤，则枇杷剩余斤，枇杷每斤降价元，求出第三天的总销售额和总成本，即可得到总利润，根据第三天的总利润不低于列出不等式，即可求得．
本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，体现了应用意识，找到题目中的等量关系和不等关系是解题的关键．
22.【答案】解：、两组发言人数的比为：，组发言人数占，
组发言的人数占，
由直方图可知组人数为人，
所以，被抽查的学生人数为：人，
组人数为：人，
组人数所占的百分比为：，
组的人数为：，
，
，
，
样本容量为人．补全直方图如图；
组发言的人数所占的百分比为：，
所以，估计全年级在这天里发言次数不少于次的人数为：人；
组发言的学生：人，所以有位女生，位男生，
组发言的学生：人，所以有位女生，位男生，
列表如下：
画树状图如下：
共种情况，其中一男一女的情况有种，
所以一男一女．
【解析】根据、两组的发言人数的比求出组发言人数所占的百分比，再根据条形统计图中组的人数为，列式计算即可求出被抽取的学生人数，然后求出组、组的人数，补全直方图即可；
根据扇形统计图求出组人数所占的百分比，再用总人数乘以、两组人数所占的百分比，计算即可得解；
分别求出、两组的人数，确定出各组的男女生人数，然后列表或画树状图，再根据概率公式计算即可得解．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，本题根据组的人数与所占的百分比求解是解题的关键，也是本题的突破口．
23.【答案】证明：连接，
是的直径，
，，
，
与相切于点，
，即，
，
，，
，
，即，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
点为的中点；
解：在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
根据可知，
的长为．
【解析】连接，根据直径所对的圆周角是直角，得出，与相切于点，可得，进而可得，，则有，根据，可得，，即可得，即，根据直角三角形两锐角互余可得，即有，则，即可得证；
解，求得，，证明∽，求得，进而求得，由，即可求解．
本题考查了切线的性质，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，熟练掌握切线的判定以及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
24.【答案】等腰直角三角形
【解析】解：连接，如图，
根据正方形的性质可知对角线必过对角线的中点，
，
正方形中，，
又，
≌，
，
又，
是等腰三角形，
，
，，
，
，
，，
≌，
，
，
≌，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
将绕点顺时针旋转，得到，如图，
根据旋转的性质有：，，，
根据正方形的性质可知：点在的延长线上，
设，
在正方形中，，，且，
，则，
，
，
，
∽，
，
，，，
，即，
，，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
，
，，
≌，
，
，
，，
在中，，
，
解得：，经检验，符合题意，
；
当点与重合时，过点作于点，作于点，如图，
根据可知：，，
，，
，，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
利用勾股定理可得：，，
，
点应该在线段上，才存在情况，
如图，过点作于点，直线交于点，过点作于点，连接，
，，
在中，，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，，
，，
即，，
，
，，
，，，，
四边形是矩形、四边形是正方形，
，，
，
，
，
，即，
，
，
∽，
，
，
解得：，
．
连接，先证明≌，即可得，结合，可得是等腰三角形，再证明≌，可得，结合，可证明≌，进而可得，问题得解；
将绕点顺时针旋转，得到，根据正方形的性质可知点在的延长线上，设，即，由，可得∽，即有，即可得，，，，进而可得，证明、、、四点共圆，可得，即可证明≌，则有，在，有，即可得到关于的方程，解方程即可求解；
当点与重合时，过点作于点，作于点，根据可知：，，进而可得：，，根据，可确定点应该在线段上，才存在情况，过点作于点，直线交于点，过点作于点，连接，根据可得，证明、、、四点共圆，即有，进而可得，即可得，，则有，，进而有，，，，即，，即，再证明∽，可得，即可得，问题得解．
本题是一道几何综合题，难度大，主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，圆周角定理等知识，作出合理的辅助线，灵活运用四点共圆是解答本题的关键．
25.【答案】解：根据题意设抛物线解析式为：，
抛物线经过点，
，
解得：，
抛物线解析式为：，
整理得：，
令，则有，
解得：，，
即，；
连接，过点作于点，过点作轴于点，作轴于点，如图，
设点坐标为：，且，
即有：，，
即有：，，
，，，
，，，，
，，，
在中，，
又，
，
，
，
，
，
如图：
结合图形可得：，
，
，
解得：，经检验，符合题意，
，
，，
，
，
；
恒过定点，理由如下：
根据抛物线解析式为：，可知抛物线对称轴为：，
如图，设点，，且，
，
设直线的解析式为：，
，
解得：，
直线的解析式为：，
联立：，
整理可得方程：，
，
，
，即，
，
同理可得：，
设直线的解析式为：，
，且，
解得：，
直线的解析式为：，
整理为：，
当时，，
即直线恒过定点．
【解析】根据题意设抛物线解析式为：，代入，即可得抛物线解析式，令，则有，解方程即可求得点，的坐标；
连接，过点作于点，过点作轴于点，作轴于点，设点坐标为：，且，即有：，，即有：，，可得，，，根据，，可得，即有，利用三角形面积可得，即有，结合图形可得：，即有，可得，解得：，则有，进而可得，，再根据即可求解；
根据抛物线解析式为：，可知抛物线对称轴为：，设点，，且，设直线的解析式为：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，联立：，整理可得方程：，可得 ，即有，即，即，同理可得：，设直线的解析式为：，利用待定系数法可得直线的解析式为：，整理为：，可知直线恒过定点．
本题是一道二次函数的综合题，主要考查了解直角三角形，二次函数的图象与性质，待定系数法求解一次函数解析式，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理等知识，根据，，得出是解答本题的关键．
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