鲁教版2023-2024学年山东省济宁曲阜市曲阜师范大学附属学校七年级下册数学期中模拟考试（三）
一、选择题
1. 下列各式是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
2. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 偶数一定能被整除
C. 如果两个角是直角，那么这两个角相等
D. 如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 任意一个三角形，它的内角和等于180° B. 打开电视机，正在播放广告
C. 掷一枚硬币，正面朝上 D. 明天太阳从西方升起
4. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
5. 观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（ ）
（）
A. B. C. D.
6. 在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段轴且，则点的坐标是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
7. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对
8. 不等式组的解集是x＞－1，则m的值是（ ）
A. －1 B. －2 C. 1 D. 2
9. 小明向图中的格盘中随意掷一棋子，使之落在三角形内的概率是( )
A. B. C. D.
10. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题
11. 如图，直线；，则______.
12. 李师傅的手机密码由六位数字组成，每位的数字都是0-9这10个数字中的一个.开机时，他忘记了第四位数字，李师傅拨对密码的概率是__.
13. 如图，，请你添加一个条件：___，可得.
14. 已知三角形三个内角之比为1∶2∶3，则该三角形最大的内角为_________度．
15. 已知甲队有x人，乙队有y人，若从甲队调出10人到乙队，则乙队人数是甲队人数的2倍，调整后两队人数间的数量关系用等式表示为__________．
16. 在一个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个锐角的度数是_____°．
三、解答题
17. 解方程组：
（1）
（2）
18. 如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
19. 我校开展垃圾分类网上知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分A、B、C、D四个等级），其中获得A等级和C等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数；
（3）A等级中有4名同学是女生，学校计划从A等级的学生中抽取1名参加区级垃圾分类网上知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？
20. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，且∠CDG＝∠A，求证：∠1=∠2．
21. 如图：已知在平面直角坐标系中点A（a，b）点B（a，0），且满足|2a－b|＋（b－4）2＝0
（1）求点A、点B的坐标；
（2）已知点C（0，b），点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动．同时点Q从C点出发，沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动，某一时刻，如图所示且S阴＝ S四边形OCAB，求点P移动的时间；
（3）在（2）的条件下，AQ交x轴于M，作∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，判断 是否为定值，若是定值求其值；若不是定值，说明理由．
22. 剧院举行新年专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别表示这两种方案；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
23. 在中，，，点D，E分别是边的中点，点F为直线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
（2）如图2，当时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长鲁教版2023-2024学年山东省济宁曲阜市曲阜师范大学附属学校七年级下册数学期中模拟考试（三）
一、选择题
1. 下列各式是二元一次方程组的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据满足的三个条件进行分析即可．
【详解】A、共有三个未知数，不符合二元一次方程组的定义；
B、 是分式，不符合二元一次方程组的定义；
C、是二元二次方程组，不符合．
D、符合二元一次方程组的定义；
故选D.
【点睛】此题考查二元一次方程组的定义，解题关键在于一定要紧扣二元一次方程组的定义“由两个二元一次方程组成的方程组”，细心观察排除，得出正确答案．
2. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A. 同旁内角互补，两直线平行
B. 偶数一定能被整除
C. 如果两个角是直角，那么这两个角相等
D. 如果一个数能被整除，那么这个数也能被整除
【答案】C
【解析】
【分析】先写出各命题的逆命题，分析是否为真命题，从而利用排除法得出答案．
【详解】解：（1）逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果这两条直线平行，那么同旁内角互补，是真命题；
（2）逆命题为：能被2整除的数是偶数，是真命题；
（3）逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，是假命题；
（4）逆命题为：如果一个数能被8整除，那么这个数也能被4整除，是真命题．
故选C
【点睛】此题主要考查了命题的逆命题和命题的真假判断，判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
3. 下列事件是必然事件的是（ ）
A. 任意一个三角形，它的内角和等于180° B. 打开电视机，正在播放广告
C. 掷一枚硬币，正面朝上 D. 明天太阳从西方升起
【答案】A
【解析】
【分析】根据必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件依次判定即可得出答案．
【详解】解：A、任意一个三角形，它的内角和等于180°是必然事件，故符合题意；
B、打开电视机，正在播放广告是随机事件，故不符合题意；
C、掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，故不符合题意；
D、明天太阳从西方升起，是不可能事件，故不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4. 下面四个图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据对顶角的定义，如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线,且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，对各选项进行判断即可．
【详解】解：A、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；
B、两角两边没有互为反向延长线，选项错误；
C、有公共顶点，两角两边互为反向延长线，选项正确；
D、没有公共顶点，两角没有互为反向延长线，选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查对顶角的定义．解题的关键在于熟练掌握对顶角的定义．
5. 观察下列图案，在、、、四幅图案中，能通过图案（）的平移得到的是（ ）
（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平移的性质，结合图形，对选项进行一一分析，排除错误答案．
【详解】解：、属于旋转所得到，故错误；
B、属于平移变换，故正确；
、属于旋转所得到，故错误；
、属于旋转所得到，故错误；
故选：．
【点睛】此题考查了图形的平移，解题的关键是熟记图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．
6. 在平面直角坐标系中，第二象限内的点P到x轴的距离是2，到y轴的距离是3，已知线段轴且，则点的坐标是（ ）
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点P的坐标．然后根据已知条件得到点Q的坐标．
【详解】点P到x轴的距离是2，则点P的纵坐标为±2，
点P到y轴的距离是3，则点P的纵坐标为±3，
由于点P在第二象限，故P坐标为（ 3，2）．
∵线段PQ∥y轴且PQ＝5，
∴点Q的坐标是（ 3，7）或（ 3， 3）
故选：A．
【点睛】本题考查各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（ ，＋）；第三象限（ ， ）；第四象限（＋， ）．
7. 已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（ ）
A. 12 B. 7+ C. 12或7+ D. 以上都不对
【答案】C
【解析】
【详解】解：设Rt△ABC的第三边长为x，
①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x==5，
此时这个三角形的周长=3+4+5=12；
②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x=，
此时这个三角形的周长=3+4+=7+．
故选C
8. 不等式组的解集是x＞－1，则m的值是（ ）
A. －1 B. －2 C. 1 D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】根据同大取大，同小取小，由于不等式组的解集是x＞-1，则要判断m+1=-1，解方程可得m的值．
【详解】∵不等式组的解集是x＞-1，-2＜-1，
∴根据同大取大可得，m+1=-1，
解得，m=-2，
故选：B．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集．
9. 小明向图中的格盘中随意掷一棋子，使之落在三角形内的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】【分析】先设小正方形的边长为1，求正方形和三角形的面积分别为9和3，再用面积比求概率.
【详解】设小正方形的边长为1，则正方形的面积为9，三角形的面积为，所以，棋子落在三角形内的概率是.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：几何概率. 解题关键点：本题将概率的求解设置于两种图形中，考查学生对简单几何概念的掌握情况，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．
10. 在“幻方拓展课程”探索中，小明在如图的3×3方格内填入了一些表示数的代数式，若图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，则x﹣y=( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】由图中各行、各列及对角线上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（x-y）中即可求出结论．
【详解】依题意得：，
解得：，
∴x﹣y=8﹣2=6．
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
二、填空题
11. 如图，直线；，则______.
【答案】202
【解析】
【分析】编上字母，过点B作BD∥，则BD∥，由平行线的性质易得+＝.
【详解】如图，过点B作BD∥,
∵
∴BD∥
∴
∴+=+＝.
故答案为 ：.
【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，内错角相等，同旁内角互补.掌握常用的添加辅助线方法也是解题的关键.
12. 李师傅的手机密码由六位数字组成，每位的数字都是0-9这10个数字中的一个.开机时，他忘记了第四位数字，李师傅拨对密码的概率是__.
【答案】
【解析】
【分析】第四位数字可能是0～9中任一个．总共有十种情况，其中能正确解锁开机只有一种情况．利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：第四位数字可能是0～9中任一个．总共有十种情况，其中能正确解锁开机只有一种情况，李师傅拨对密码的概率＝ ．
故答案为．
【点睛】考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
13. 如图，，请你添加一个条件：___，可得.
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题是开放题，要使，已知，AC是公共边，具备了一组边和一组角对应相等，再结合全等三角形的判定定理添加条件即可．
【详解】解：添加：BC=DA
在中，
∴.
故答案为: BC=DA(答案不唯一).
【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、判定两个直角三角形全等的方法还有HL.
14. 已知三角形三个内角之比为1∶2∶3，则该三角形最大的内角为_________度．
【答案】90
【解析】
【分析】根据三角形内角和为180°和三角形三个内角之比为1∶2∶3可以求出三角形三个内角的具体度数，即可判断出最大的内角为多少度．
【详解】解：根据题意：设三角形三个内角分别为x，2x，3x，
∵三角形的内角和为180°，
∴x+2x+3x=180°，
解得：x=30°，
∴三个内角的度数分别是30°，60°，90°
故该三角形最大的内角为90度
故答案为90
【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，根据三角形内角和为180°求出三个角的度数是解题的关键．
15. 已知甲队有x人，乙队有y人，若从甲队调出10人到乙队，则乙队人数是甲队人数的2倍，调整后两队人数间的数量关系用等式表示为__________．
【答案】y＋10＝2(x－10)
【解析】
【分析】根据等量关系：甲队调出10人到乙队，则乙队人数是甲队人数的2倍，可以列出方程．
【详解】设甲队有x人，乙队有y人，由题意得：
y+10=2（x-10）
故答案是：y+10=2（x-10）
【点睛】考查了二元一次方程的应用,根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程．
16. 在一个直角三角形中，两个锐角相等，则这两个锐角的度数是_____°．
【答案】45
【解析】
【分析】设这个直角三角形的两个锐角分别为∠A、∠B,由直角三角形的两个锐角互余可得∠A+∠B=90°;接下来根据已知条件∠A=∠B,即可求出∠A、∠B的度数.
【详解】设这个直角三角形的两个锐角分别为∠A、∠B.
∴ ∠A+∠B=90° (直角三角形的两个锐角互余)
∵ ∠A=∠B ，∠A+∠B=90°，
∴ ∠B=45°，∠A=45°.
故这两个锐角的度数为:45°,45°.
【点睛】本题考查直角三角形的性质，解题的关键是熟悉直角三角形的性质.
三、解答题
17. 解方程组：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键．
（1）用代入消元法求解即可；
（2）化简后用加减消元法求解即可．
[小问1详解】
，
把①代入②，得
，
解得，
把代入①，得
．
∴；
【小问2详解】
化简，得
，
，得
，
∴，
把代入①，得
，
∴，
∴．
18. 如图，，，直线与，的延长线分别交于点，．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据已知条件，，得到，从而得到，即可证明．
【详解】证明：∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
【点睛】本题考查平行线的性质和判定．平行线的性质：两直线平行，内错角相等．平行线的判定：同位角相等，两直线平行．
19. 我校开展垃圾分类网上知识竞赛，并从本校七年级随机抽取了部分学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（根据成绩共分A、B、C、D四个等级），其中获得A等级和C等级的人数相等．相应的条形统计图和扇形统计图如下：根据以上信息，解答下列问题：
（1）共抽取了 名学生；
（2）补全条形统计图，并求出扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数；
（3）A等级中有4名同学是女生，学校计划从A等级的学生中抽取1名参加区级垃圾分类网上知识竞赛，则抽到女生的概率是多少？
【答案】（1）40；（2）图见解析，135°；（3）．
【解析】
【分析】（1）用A等级的人数除以所占的百分比即可；
（2）计算出D等级的人数，用360°乘以B等级所占的百分比即可；
（3）用女生人数除以总人数即可得出抽到女生的概率．
【详解】解：（1）共抽取的学生数是：10÷25%＝40（名）．
故答案为：40．
（2）扇形统计图中B等级对应的圆心角的度数是360°135°．
条形统计图如图：D等级的人数=40-15-10-10=5
（3）∵A等级中共有10人，其中有4名女生，
∴抽到女生的概率是．
【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及概率的知识．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
20. 如图，在△ABC中，BD⊥AC于D，EF⊥AC于F，且∠CDG＝∠A，求证：∠1=∠2．
【答案】见解析
【解析】
【分析】先根据∠CDG＝∠A得到AB//DG，再根据平行线的性质得到∠1=∠ABD；再根据BD⊥AC, EF⊥AC证得EF//BD，即∠2=∠ABD；最后根据等量代换即可证明．
【详解】证明：∵∠CDG=∠A
∴AB//DG
∴∠1=∠ABD
∵BD⊥AC, EF⊥AC
∴∠AEF=∠ADB=90°
∴EF//BD
∴∠2=∠ABD
∴∠1=∠2.
【点睛】本题主要考查了平行的判定与性质，灵活运用平行线的判定定理和性质定理是正确解答本题的关键．
21. 如图：已知在平面直角坐标系中点A（a，b）点B（a，0），且满足|2a－b|＋（b－4）2＝0
（1）求点A、点B的坐标；
（2）已知点C（0，b），点P从B点出发沿x轴负方向以1个单位每秒的速度移动．同时点Q从C点出发，沿y轴负方向以2个单位每秒的速度移动，某一时刻，如图所示且S阴＝ S四边形OCAB，求点P移动的时间；
（3）在（2）的条件下，AQ交x轴于M，作∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，判断 是否为定值，若是定值求其值；若不是定值，说明理由．
【答案】（1）点A（2，4）、点B（2，0）；（2）3s；（3）是定值，
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质易得a＝2，b＝4，则点A的坐标为（2，4）、点B的坐标（2，0）；
（2）设P点运动时间为t，则t＞2，则P点坐标可表示为（2－t，0），Q点坐标表示为（0，4－2t），用待定系数法确定直线AQ的解析式为y＝tx＋4－2t，则可确定直线AQ与x轴交点坐标为（，0），根据题意得（＋t－2）×4＋××（2t－4）＝×2×4，然后解方程求出t的值；
（3）先根据角平分线定义得∠ACN＝45°，∠1＝∠2，再由AC∥BP得∠CAM＝∠AMB＝2∠1，然后根据三角形内角和定理得∠ACN＋∠CAM＝∠N＋∠1，所以∠N＝45°＋∠1，再根据三角形外角性质得∠AMB＝∠APB＋∠PAQ，即∠APB＋∠PAQ＝2∠1，接着根据三角形内角和定理得∠AQC＋∠OMQ＝90°，利用∠OMQ＝2∠1可得∠AQC＝90°－2∠1，最后用∠1表示式子中的角，约分即可得到＝．
【详解】解：（1）∵|2a－b|＋（b－4）2＝0.
∴2a－b＝0，b－4＝0，
∴a＝2，b＝4，
∴点A的坐标为（2，4）、点B的坐标（2，0）；
（2）如图2，设P点运动时间为t，则t＞2，所以P点坐标为（2－t，0），Q点坐标为（0，4－2t），
设直线AQ的解析式为y＝kx＋4－2t，
把A（2，4）代入得2k＋4－2t＝4，解得k＝t，
∴直线AQ的解析式为y＝tx＋4－2t，
直线AQ与x轴交点坐标为（，0），
∴S阴影＝（＋t－2）×4＋××（2t－4），
而S阴＝S四边形OCAB，
∴（＋t－2）×4＋××（2t－4）＝×2×4，
整理得t2－3t＝0，
解得t1＝0（舍去），t2＝3，
∴点P移动的时间为3s；
（3）为定值．理由如下：
如图3，∵∠ACO，∠AMB的角平分线交于点N，
∴∠ACN＝45°，∠1＝∠2，
∵AC∥BP，
∴∠CAM＝∠AMB＝2∠1，
∵∠ACN＋∠CAM＝∠N＋∠1，
∴45°＋2∠1＝∠N＋∠1，
∴∠N＝45°＋∠1，
∵∠AMB＝∠APB＋∠PAQ，
∴∠APB＋∠PAQ＝2∠1，
∵∠AQC＋∠OMQ＝90°，
而∠OMQ＝2∠1，
∴∠AQC＝90°－2∠1，
∴＝＝．
【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°．也考查了三角形外角性质、坐标与图形性质以及三角形面积公式．
22. 剧院举行新年专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款．某校有4名老师与若干名（不少于4人）
（1）设学生人数为x（人），付款总金额为y（元），分别表示这两种方案；
（2）请计算并确定出最节省费用的购票方案．
【答案】（1），
（2）见解析
【解析】
【分析】本题根据实际问题考查了一次函数的运用．解决本题的关键是根据题意正确列出两种方案的解析式，进而计算出临界点x的取值，再进一步讨论．
（1）首先根据优惠方案①：付款总金额＝购买成人票金额＋除去4人后的学生票金额；
优惠方案②：付款总金额＝（购买成人票金额＋购买学生票金额）×打折率，列出y关于x的函数关系式，
（2）根据（1）的函数关系式求出当两种方案付款总金额相等时，购买的票数．再就三种情况讨论．
【小问1详解】
按优惠方案1可得：，
按优惠方案2可得：，
【小问2详解】
，
①当时，得，解得，
∴当购买24张票时，两种优惠方案付款一样多；
②当时，得，解得，
∴时，，优惠方案1付款较少．
③当时，得，解得，
∴当时，，优惠方案2付款较少．
23. 在中，，，点D，E分别是边的中点，点F为直线上一动点，连接，将线段绕点E逆时针旋转，连接．
（1）如图1，当时，请直接写出线段和线段之间的数量关系；
（2）如图2，当时，其它条件不变，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，若，请直接写出线段的长
【答案】（1）
（2）成立，理由见解析
（3）或
【解析】
【分析】（1）结论：，连接，证明是等边三角形，可得，根据证明，可得结论．
（2）成立．如图2中，连接，证明是等腰直角三角形得，根据证明，可得结论．
（3）分两种情形：当点F在线段上和当点F在的延长线上时求解即可．
【小问1详解】
结论：．
理由：如图1中，连接．
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∵点D，E分别是边的中点，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【小问2详解】
成立．
证明：如图2中，连接．
连接，由题意得，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵点D，E分别是边的中点，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小问3详解】
如图2中，
由（2）知，，是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴过点C．
在中，，，
∴，
∴，
由（2）可知，，
∴，
如图3中，当点F在的延长线上时，
同法可得，，
综上所述，的长为或．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，以及三角形的中位线等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．
