广东省深圳中学2022-2023学年高二下学期期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省深圳中学高二（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（5分）已知函数f（x）＝xex，则f′（1）＝（ ）
A．1﹣ B．e C．2e D．e°
2．（5分）对四组数据进行统计，获得以下散点图，则其相关系数值最大的是（ ）
A．r1 B．r2 C．r3 D．r4
3．（5分）如果随机变量ξ～B（n，p），且Eξ＝7，Dξ＝6，则p等于（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随机各取一球（不放回），则第二次取到的是黑球的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）已知从某批材料中任取一件时，取得的这件材料的强度X～N（200，182），则取得的这件材料的强度介于182到236之间的概率为（ ）
附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974）．
A．0.9973 B．0.8665 C．0.8413 D．0.8185
6．（5分）某一离散型随机变量ξ的概率分布如下表，且Eξ＝1.5，则a﹣b的值为（ ）
ξ 0 1 2 3
P 0.1 a b 0.1
A．﹣0.1 B．0 C．0.1 D．0.2
7．（5分）已知函数，则y＝f（x）的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
8．（5分）当0＜x＜1时，下列不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多项选择题（共4小题，每小题均有两个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）.
（多选）9．（5分）关于的展开式，下列结论正确的是（ ）
A．奇数项的二项式系数和为32
B．所有项的系数和为243
C．只有第3项的二项式系数最大
D．含x项的系数为40
（多选）10．（5分）关于随机事件A，B，C，下列说法正确的是（ ）
A．若，则A，B独立
B．若P（AB）＝P（A）P（B），则
C．若P（A+B）＝P（A）+P（B），则P（AB）＝P（A）P（B）
D．若事件B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）
（多选）11．（5分）设函数f（x）的定义域为R，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）
A． x∈R，f（x）≤f（x0）
B．﹣x0是f（﹣x）的极大值点
C．﹣x0是﹣f（x）的极小值点
D．﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点
（多选）12．（5分）已知函数f（x）＝ex，g（x）＝axm（x＞0），其中m≠0，1，则（ ）
A．存在过点（0，0）与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
B．当，时，不存在与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
C．当，时，存在两条与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
D．最多存在三条与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）下面是一个2×2列联表：
X Y 合计
Y＝0 Y＝1
X＝0 a 21 73
X＝1 8 25 33
合计 b 46
则表中a，b处的值分别为__________；__________．
14．（5分）甲、乙两人进行羽毛球比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局比赛都结束，假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1的比分获胜的概率为__________．
15．（5分）已知随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2）．若，E（ξ）＝1，则D（2ξ﹣3）＝__________．
16．（5分）已知函数f（x）＝ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0．则a的取值范围是__________．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（10分）如图，已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB＝3，AD＝2，AA1＝2，，．
（1）求异面直线C1E与BF所成角的余弦值；
（2）求平面ADF与平面B1EF所成角的余弦值．
18．（12分）已知某绿豆新品种发芽的适宜温度在6℃～22℃之间，一农学实验室研究人员为研究温度x（℃）与绿豆新品种发芽数y（颗）之间的关系，每组选取了成熟种子50颗，分别在对应的8℃～14℃的温度环境下进行实验，得到如下散点图：
（1）由折线统计图看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立y关于x的回归方程，并预测在19℃的温度下，种子发芽的颗数．
参考数据：，，，．
参考公式：相关系数，回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
19．（12分）若函数f（x）＝x3+（a+2）x2+bx﹣a2．
（1）当b＝﹣（a+2）2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）在x＝﹣1处有极值为﹣2，求a+b的值．
20．（12分）深圳中学足球社团是一个受学生欢迎的社团．
（1）现社团招新，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：踢点球一次，若踢进，则被录取；若没踢进，则继续踢，直到踢进为止，但是每人最多踢点球3次．某同学进行“点球测试”，依据平时的训练数据，获得其单次点球踢进的概率为，该同学每次点球是否踢进相互独立．他在测试中所踢的点球次数记为X，求X的分布列及数学期望；
（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为Pn，即P1＝1．
（i）证明：数列为等比数列：
（ii）判断第19次还是第20次触球者是甲的概率大．
21．（12分）函数f（x）＝xlnx﹣（a+1）x+1．
（1）若函数f（x）存在过点（1，1）的切线，求实数a的取值范围；
（2）若a＞0，函数f（x）在区间[1，e]上最大值为m，最小值为n，求m﹣n的最小值．
22．（12分）已知函数f（x）＝lnx+a﹣1，a∈R．
（1）若f（x）≤x，求a的取值范围；
（2）当a∈（0，1]时，证明：．
2022-2023学年广东省深圳中学高二（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【分析】利用导数的运算性质求出函数的导数，然后令x＝1即可求解．
【解答】解：由已知可得f′（x）＝ex+xex，
则f′（1）＝e+e＝2e．
故选：C．
【点评】本题考查了导数的运算性质，属于基础题．
2．【分析】根据相关系数的定义|r|的值越接近于1关联性越强，结合图象即可求解．
【解答】解：根据相关系数的定义知，|r|越接近于1关联性越强，
结合图象知，第一、三两幅图为正相关，且第一幅图的相关性较强，所以0＜r3＜r1，
又因为第二、四幅图变量之间为负相关，且第二幅图的相关性较强，所以r2＜r4＜0，
故选：A．
【点评】本题考查了相关系数的定义与应用问题，是基础题．
3．【分析】因为ξ服从二项分布，由二项分布的期望和方差公式Eξ＝np，Dξ＝np（1﹣p）解出p即可．
【解答】解：如果随机变量ξ～B（n，p），则Eξ＝np，Dξ＝np（1﹣p）又Eξ＝7，Dξ＝6，
∴np＝7，np（1﹣p）＝6，．
故选：A．
【点评】本题考查二项分布的期望和方差公式，属基本题型基本方法的考查．
4．【分析】根据已知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：由题意可得，第二次取到的是黑球的概率为．
故选：C．
【点评】本题主要考查古典概型的概率公式，属于基础题．
5．【分析】本题根据正态分布对称性的性质，即可求出答案．
【解答】解：因为取得的这件材料的强度X～N（200，182），
所以μ＝200，σ＝18，
则P（182＜X＜218）＝0.6826，P（164＜X＜236）＝0.9544，
，
所以P（182＜X＜236）＝0.9544﹣0.1359＝0.8185．
故选：D．
【点评】本题考查正态分布曲线的性质，属于基础题．
6．【分析】根据题意，由分布列的性质可得a+b＝0.8，又由期望的计算公式可得a+2b＝0.8，联立两个式子可得a、b的值，进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，分布列可得：0.1+a+b+0.1＝1，则有a+b＝0.8①，
又由Eξ＝1.5，即0×0.1+a+2b+0.3＝1.5，则有a+2b＝0.8②，
联立①②可得：a＝b＝0.4，则a﹣b＝0．
故选：B．
【点评】本题考查随机变量的分布列，涉及随机变量的期望，属于基础题．
7．【分析】考虑函数f（x）的分母的函数值恒小于零，即可排除A，C，由f（x）的定义域能排除D，这一性质可利用导数加以证明
【解答】解：设
则
∴g（x）在（﹣1，0）上为增函数，在（0，+∞）上为减函数
∴g（x）＜g（0）＝0
得：x＞0或﹣1＜x＜0均有f（x）＞0排除A，C，
又中，，能排除D．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数解析式与函数图象间的关系，利用导数研究函数性质的应用，排除法解图象选择题，属基础题
8．【分析】利用导数法分析在区间（0，1）上的单调性，并分析函数的值域，进而可得答案．
【解答】解：令，
则，
当x∈（0，1）时，，x﹣tanx＜0，
故f′（x）＜0，
故在区间（0，1）上单调递减，
由0＜x2＜x＜1，
，
又，
故，
综上：，
故选：C．
【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，其中分析出在区间（0，1）上的单调性，是解答的关键．
二、多项选择题（共4小题，每小题均有两个选项符合题意，全对得5分，错选得0分，漏选得2分，共20分）.
9．【分析】由二项展开式的二项式系数的性质判断AC；取x＝1求得所有项的系数和判断B；写出展开式的通项，由x的指数为1求得r值，可得含x项的系数判断D．
【解答】解：的展开式的所有二项式系数和为25＝32，奇数项的二项式系数和为16，故A错误；
取x＝1，可得所有项的系数和为35＝243，故B正确；
的展开式有6项，第3项与第4项的二项式系数相等且最大，故C错误；
展开式的通项为，
由5﹣2r＝1，得r＝2，
∴含x项的系数为，故D正确．
故选：BD．
【点评】本题考查二项式系数的性质，关键是熟记二项展开式的通项，是基础题．
10．【分析】由条件概率公式及独立事件的定义判断A，由独立事件的定义判断B，举实例判断C，由互斥事件的概率加法公式判断D．
【解答】解：A，若，
则P（B）＝P（A）P（B|A）+P（）P（B|），
∴P（AB）＝P（A）P（B），∴A，B独立∴正确，
B，若P（AB）＝P（A）P（B），则A，B独立，，独立，
，∴正确，
C，投掷一枚质地均匀的骰子，设出现偶数点为事件A，出现奇数点为事件B，事件A和B是两个对立事件，
则P（A）+P（B）＝1，，P（AB）＝0，
∴P（AB）≠P（A）P（B），∴错误，
D，若事件B和C是两个互斥事件，由互斥事件的概率加法公式，
则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A），∴正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查条件概率，相互独立事件，互斥事件的概率公式，属于中档题．
11．【分析】根据函数的单调性和对称性分别判断即可．
【解答】解：对于A，x0（x0≠0）是f（x）的极大值点，不一定是最大值点，
故不能满足在整个定义域上的值最大，故A错误，
对于B，f（﹣x）是把f（x）的图像转化为关于y轴对称，
故﹣x0是f（﹣x）的极大值点，故B正确，
对于C，﹣f（x）是把f（x）的图像转化为关于x轴对称，
故﹣x0是﹣f（x）的极大值点，故C错误，
对于D，﹣f（﹣x）是把f（x）的图像转化为分别关于x轴，y轴作对称，
故﹣x0是﹣f（﹣x）的极小值点，故D正确，
故选：BD．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、考查对称性问题以及推理能力与计算能力，属于中档题．
12．【分析】由题意，对选项A，因为函数g（x）的图象恒过定点（0，0），得到g（x）的切线方程，进而可判断；对于选项B，将m＝2，代入两函数解析式中，假设存在公切线与f（x）切点P1（x1，y1），P2（x2，y2），得到两函数关于切点的切线方程，列出不等式再求解，设立新函数，对新函数进行求导，利用导数得到该函数的单调性和最值，进而即可求解，同理可得选项C和选项D．
【解答】解：已知f（x）＝ex，g（x）＝axm（m≠0，1），函数定义域为（0，+∞），
可得f′（x）＝ex，g′（x）＝amxm﹣1，
对于选项A，易知函数g（x）的图象恒过定点（0，0），
所以切线斜率k＝0，
切线方程为y＝0，
显然y＝0不是函数f（x）的切线，故选项A错误；
对于选项B，当m＝2，时，
，
g′（x）＝ex，
假设存在公切线与f（x）切点P1（x1，y1），P2（x2，y2），
所以函数f（x）在点P1处的切线方程为，
即，
函数g（x）在点P2处的切线方程为y﹣y2＝ex2（x﹣x2），
即，
其满足，
所以，
此时，
整理得，
即，①
不妨设h（x）＝ex﹣1﹣2x+2，函数定义域为R，
可得h′（x）＝ex﹣1﹣2，
当x＜1+ln2时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x＞1+ln2时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以h（x）在x＝1+ln2上取得极小值也是最小值，
所以h（x）≥h（1+ln2）＝2﹣2ln2＞0，
其不满足①式，故P1不存在，
所以不存在与函数f（x）、g（x）图象均相切的直线，
故选项B正确；
对于选项C，当，时，
，
可得，
假设存在公切线与f（x）切点P3（x3，y3），P4（x4，y4），
所以函数f（x）在点P3处的切线方程为，
即y＝x﹣（x3﹣1），
函数g（x）在点P4处的切线方程为，
即，
其满足，
所以，
即，②
不妨设，函数定义域为R，
可得k′（x）＝﹣e2x+2（1﹣x）e2x＝e2x（1﹣2x），
当时，k′（x）＞0，k（x）单调递增；
当时，k′（x）＜0，k（x）单调递减，
所以k（x）在上取得极大值也是最大值，
所以，
此时方程②有两解，
所以至多存在一条公切线，故选项C正确；
对于选项D，当，时，
函数f（x）、g（x）至多存在两条公切线，
故选项D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查切线方程和利用导数研究函数的单调性，考查方程思想、推理能力和运算能力．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．【分析】根据已知条件，结合列联表之间的数据关系，即可求解．
【解答】解：由表中数据可，a＝73﹣21＝52，
b＝a+8＝52+8＝60．
故答案为：52；60．
【点评】本题主要考查列联表的应用，属于基础题．
14．【分析】以甲3胜1负而结束比赛，甲只能在1、2、3局中负1局，第4局胜，即可得出结论．
【解答】解：甲以3：1的比分获胜，甲只能在1、2、3局中负1局，第4局胜，
因此所求概率为：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查n次独立重复实验中恰好发生k次的概率，等可能事件的概率，属于基础题．
15．【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量分布列的性质，以及期望公式，求出，再结合方差公式，即可求解．
【解答】解：随机变量ξ的取值为i（i＝0，1，2），P（ξ＝0）＝，E（ξ）＝1，
则，解得，
所以，
故D（2ξ﹣3）＝22D（ξ）＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查离散型随机变量期望与方差的求解，考查转化能力，属于中档题．
16．【分析】分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，求出函数的导数，利用导数和极值之间的关系转化为求极小值f（）＞0，解出即可．
【解答】解：当a＝0时，f（x）＝﹣3x2+1＝0，解得，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；
当a＞0时，令f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＞0，列表如下：
x （﹣∞，0） 0 （0，） （，+∞）
f′（x） + 0 ﹣ 0 +
f（x） 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
∵x→﹣∞，f（x）→﹣∞，而f（0）＝1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）＝0，
不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．
当a＜0时，f′（x）＝3ax2﹣6x＝3ax（x﹣）＝0，解得x＝0或x＝＜0，列表如下：
x （﹣∞，） （，0） 0 （0，+∞）
f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣
f（x） 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减
而f（0）＝1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）＝0，
∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值f（）＝a（）3﹣3（）2+1＞0，
化为a2＞4，
∵a＜0，∴a＜﹣2．
综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．
故答案为：（﹣∞，﹣2）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，，利用异面直线所成角公式即可求解；
（2）分别求得平面ADF的法向量为，平面B1EF的法向量为，代入二面角公式即可求解．
【解答】解：（1）建立如图空间直角坐标系，
∵AB＝3，AD＝2，AA1＝2，，，
∴C1（0，3，2），E（2，1，0），B（2，3，0），F（0，3，1），A（2，0，0），B1（2，3，2），D（0，0，0），
，，
则异面直线C1E与BF所成角的余弦值为；
（2）由（1）知，，
设平面ADF的法向量为，
则，
令y＝1，则z＝﹣3，
∴平面ADF的法向量为，
，，
设平面B1EF的法向量为，
则，令b＝1，则c＝﹣1，，
∴平面B1EF的法向量为，
平面ADF与平面B1EF所成角的余弦值为．
【点评】本题考查了异面直线所成角和二面角的计算，属于中档题．
18．【分析】（1）直接套公式求出系数r，即可判断；（2）套公式求出回归方程，把x＝19代入，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可知：，
则，
又，
所以相关系数．
所以y与x的线性相关性较高，可以利用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2）由（1）知，，，．
所以，
所以．
所以y与x的回归直线为y＝2.5x﹣3.5．
当x＝19时，y＝2.5×19﹣3.5＝44．即在19℃的温度下，种子发芽的颗数为44．
【点评】本题主要考查了相关系数的求解及应用，还考查了线性回归方程的应用，属于中档题．
19．【分析】（1）求导数并求出导数的零点、﹣（a+2），讨论（a+2）的符号，解出导数大于零、小于零或等于零的解，得到原函数的单调区间；
（2）求出导数，然后根据极值点处的导数为0，导数值为﹣2，列出a，b的方程组，最后利用导函数为零所得方程的判别式验证即可．
【解答】解：由题知定义域为R，f′（x）＝3x2+2（a+2）x+b，
（1）令f′（x）＝3x2+2（a+2）x﹣（a+2）2＝0得或﹣（a+2），
①当a+2＞0，即a＞﹣2时，f′（x）＞0 x＜﹣（a+2）或x＞，f′（x）＜0 ﹣（a+2）＜x＜，
所以f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣（a+2）），（，+∞）；单调递减区间为（﹣（a+2），）；
同理得：
②当a+2＜0，即a＜﹣2时，f（x）的单调递增区间为（﹣（a+2），+∞），（﹣∞，）；单调递减区间为（，﹣（a+2））；
③当a+2＝0，即a＝﹣2时，f′（x）≥0恒成立，f（x）是增函数．
（2）由题意得，解得或，
令f′（x）＝3x2+2（a+2）x+b＝0，
当时，Δ＝4（a+2）2﹣12b＝36＞0，符合题意；
当时，Δ＝0，此时f′（x）≥0恒成立，不符合题意，
故a+b＝﹣5即为所求．
【点评】本题考查利用导数研究函数单调区间的方法，极值点处性质的应用，属于中档题．
20．【分析】（1）由题意，X可能取1，2，3，计算出各自对应的概率即可求解；
（2）（i）第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为Pn﹣1，第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，则，化简整理即可得证；
（ii）由（i）知，代入整理即可求解．
【解答】解：（1）由题意，X可能取1，2，3，
则P（X＝1）＝0.6，P（X＝2）＝0.4×0.6＝0.24，
P（X＝3）＝0.4×0.4＝0.16，
X的分布列为：
X 1 2 3
P 0.6 0.24 0.16
即E（X）＝1×0.6+2×0.24+3×0.16＝1.56；
（2）证明：（i）第n次触球者是甲的概率记为Pn，则当n≥2时，第n﹣1次触球者是甲的概率为Pn﹣1，第n﹣1次触球者不是甲的概率为1﹣Pn﹣1，
则，
从而，又，
是以为首项，公比为的等比数列；
（ii），，
，
P19＞P20，故第19次触球者是甲的概率大．
【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题．
21．【分析】（1）设切线切于点P（t，tlnt﹣（a+1）t+1），从而得切线方程为y﹣tlnt+（a+1）t﹣1＝（lnt﹣a）（x﹣t），再将（1，1）代入切线方程，最后再根据题意可得关于t的方程有解，从而可得a的范围；
（2）分类讨论a，求出m，n，得到m﹣n，再构造函数求出最小值即可得解．
【解答】解：（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx+1﹣（a+1）＝lnx﹣a，
设切线切于点P（t，tlnt﹣（a+1）t+1），
则切点P处的切线方程为y﹣tlnt+（a+1）t﹣1＝（lnt﹣a）（x﹣t），又该切线过（1，1），
∴1﹣tlnt+（a+1）t﹣1＝（lnt﹣a）（1﹣t）在t＞0上有解，
即a＝lnt﹣t在t＞0上有解，
设g（x）＝lnx﹣x，x＞0，，x＞0，
∴当x∈（0，1）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴g（x）≤g（1）＝﹣1，
∴a＝lnt﹣t在t＞0上有解，
则a≤﹣1，∴实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1]；
（2）f′（x）＝lnx﹣a，x∈[1，e]，lnx∈[0，1]，
①当a≥1时，f′（x）≤0恒成立，函数f（x）在区间[1，e]上为减函数，
所以m＝f（1）＝﹣a，n＝f（e）＝1﹣ae，所以m﹣n＝（e﹣1）a﹣1，
令h（a）＝（e﹣1）a﹣1，则函数h（a）在区间[1，+∞）上单调递增，
所以h（a）的最小值为h（1）＝e﹣2，即m﹣n的最小值为e﹣2．
②当0＜a＜1时，由f′（x）＞0，得ea＜x≤e，由f′（x）＜0，得1≤x＜ea，
所以f（x）在区间[1，ea）上单调递减，在（ea，e]上单调递增，
所以n＝f（ea）＝1﹣ea，
当≤a＜1时，f（1）﹣f（e）＝（e﹣1）a﹣1≥0，此时m＝f（1）＝﹣a，
所以m﹣n＝f（1）﹣f（ea）＝ea﹣a﹣1，
令φ（a）＝ea﹣a﹣1，φ′（a）＝ea﹣1＞0，
所以φ（a）在区间[，1）上单调递增，
所以函数φ（a）的最小值为；
当0＜a＜时，f（1）﹣f（e）＝（e﹣1）a﹣1＜0，所以m＝f（e）＝1﹣ae，
所以m﹣n＝f（e）﹣f（ea）＝ea﹣ae，
令q（a）＝ea﹣ae，则q′（a）＝ea﹣e＜0，
所以函数q（a）在区间（0，）上单调递减，
所以，
综上所述，m﹣n的最小值为．
【点评】本题主要考查方程有解问题，利用导数研究函数的单调性与最值，分类讨论思想，属难题．
22．【分析】（1）构造g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣x+a﹣1，利用导数的性质判断g（x）的单调性进行求解即可；
（2）构造，利用导数的性质判断h（x）的单调性，结合函数零点存在原理进行求解即可．
【解答】解：（1）记g（x）＝f（x）﹣x＝lnx﹣x+a﹣1．
则g（x）≤0恒成立，即g（x）max≤0，
，当x∈（0，1），g'（x）＞0；当x∈（1，+∞），g'（x）＜0；
∴g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
∴g（x）max＝g（1）≤0，解得a≤2．∴实数a的取值范围是（﹣∞，2]．
（2）证明：记，
，∵在（0，+∞）上单调递增．
令，，
则，所以φ（x）即h'（x）在（0，+∞）上单调递增．
由a∈（0，1]，知，，，，即，
∴当x∈（0，x0），h'（x）＜0，h（x）单调递减；当x∈（x0，+∞），h'（x）＞0，h（x）单调递增，
，
由（*）式，可得，，
代入（**）式，得，
由（1）知，当a＝2时有lnx≤x﹣1，
故﹣lnx0≥1﹣x0．，
由，∴h（x0）≥0，
故h（x）≥0，即，原不等式得证．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．