2023-2024学年山东省实验中学高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年山东省实验中学高一（下）第一次段考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.在平行四边形中，为的重心，满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知，，则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
4.已知是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
5.在中，为边上一点，满足，则( )
A. B. C. D.
6.测量珠穆朗玛峰的高度一直受到世界关注，年月日，中国和尼泊尔共同宣布珠穆朗玛峰的最新高度为米某课外兴趣小组研究发现，人们曾用三角测量法对珠峰高度进行测量，其方法为：首先在同一水平面上选定两个点并测量两点间的距离，然后分别测量其中一个点相对另一点以及珠峰顶点的张角，再在其中一点处测量珠峰顶点的仰角，最后计算得到珠峰高度该兴趣小组运用这一方法测量学校旗杆的高度，已知该旗杆在水平面垂直于水平面，水平面上两点，的距离为，测得，，其中，在点处测得旗杆顶点的仰角为，，则该旗杆的高度为单位：( )
A. B. C. D.
7.在中，角，，所对的边分别为，，，且，设的面积为，若，则此三角形的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形
8.在锐角中，角，，的对边分别为，，，的面积为，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，为线段上一点，且有，则下列命题正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最小值为
10.下列说法正确的是( )
A. 已知向量，则“与共线”是“”的充要条件
B. 已知非零向量满足，则
C. 若为的外心，且，则是等边三角形
D. 已知单位向量满足，则
11.的内角，，的对边分别为，，，若，则( )
A. B.
C. 角的最大值为 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，角，，的对边分别为，，，，，则 ______．
13.若在中，角，，对应边为，，，若，，，则 ．
14.如图，半径为的扇形中，，是弧上的一点，且满足，，分别是线段，上的动点，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
复数，其中．
若复数为实数，求的值；
若复数为纯虚数，求的值．
16.本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17.本小题分
在中，已知．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ请从条件：；条件：这两个条件中任选一个作为条件，求和的值．
18.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，．
求；
若点是上的点，平分，且，求面积的最小值．
19.本小题分
“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
求；
若，设点为的费马点，求；
设点为的费马点，，求实数的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由题意，，则，．
故选：．
根据复数相等列方程求出，．
本题考查复数的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：在平行四边形中，为的重心，
则，
又，
则，，
则．
故选：．
由平面向量的线性运算，结合平面向量基本定理求解．
本题考查了平面向量的线性运算，重点考查了平面向量基本定理，属中档题．
3.【答案】
【解析】解：，
，
，
．
故选：．
对两边平方可求出的值，然后根据向量夹角的余弦公式即可求出与夹角的余弦值．
本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：是夹角为的两个单位向量，
则，
向量在向量上的投影向量为，
则，即，即，解得．
故选：．
根据已知条件，结合投影向量公式，即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：如图，
，
则
．
故选：．
由题意画出图形，把问题转化为与的数量积求解．
本题考查平面向量数量积的性质及运算，考查化归与转化思想，是中档题．
6.【答案】
【解析】解：在中，，，，
由正弦定理得，，
在，．
故选：．
作出示意图，在中解出，在中解出．
本题考查正弦定理的应用，属基础题．
7.【答案】
【解析】解：因为的面积为，，
所以，得，
因为，
所以，
又，
由余弦定理，得，可得，
由，解得，
所以是等边三角形．
故选：．
由已知利用平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求，由已知利用余弦定理解得，即可判断三角形的形状．
本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形的面积公式，同角三角函数基本关系式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
8.【答案】
【解析】解：在中，，，
，
，即，
由余弦定理可得，，
故，
由正弦定理可得，，化简整理可得，，
故B或舍去，
则，
为锐角三角形，
，解得，
故，
．
故选：．
根据已知条件，结合三角形面积公式，以及正余弦定理，即可求解．
本题主要考查三角形面积公式，以及正余弦定理，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：因为为线段上一点，
又，
因为，，三点共线，
故，A错误，B正确；
，当且仅当，即，时取等号，
所以，C正确；
，
当且仅当，即，时取等号，D正确．
故选：．
由已知结合向量的线性表示及向量共线定理可得，检验选项A，，然后结合基本不等式检验选项C，即可判断．
本题主要考查了向量的线性表示及基本不等式求解最值，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于，当时，满足与共线，但不成立，选项A错误；
对于，因为，所以，即，所以，选项B正确；
对于，因为为的外心，所以，因为，所以，所以，
同理可得，，所以是的垂心，所以是等边三角形，选项C正确；
对于，因为，所以，所以，因为，，是单位向量，所以，解得，
同理，，所以，解得，所以，选项D正确．
故选：．
根据向量共线的充要条件可判断选项A；
根据向量垂直的充要条件可判断选项B；
根据向量数量积的运算律判断选项C，．
本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于：若，，则，故A正确；
对于：，且，即，即，故B正确；
对于：，即，解得，当且仅当时，等号成立，
，即，即的最大值为，故C正确；
对于：面积为，即面积的最大值为，故D错误．
故选：．
由向量的数量积的定义和余弦定理可判断、；由基本不等式可判断；由三角形的面积公式可判断．
本题考查三角形的余弦定理和向量的数量积的定义、基本不等式的运用，考查转化思想和运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：在中，，，，
因为，所以，
因为，
所以，所以．
故答案为：．
直接利用正弦定理即可得解．
本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，特殊角的三角函数值以及比例的性质，属于中档题．
利用三角形面积公式求出的值，再利用余弦定理求出的值，最后根据正弦定理及比例性质即可得到所求式子的比值．
【解答】
解：由，得到，，
又，，
，
解得，
根据余弦定理得：，
解得，
根据正弦定理，
则 ．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】解：由题可得，以为坐标原点，为轴，建立平面直角坐标系，
则，，
因为，
所以，
设，，
所以，，
所以
，
因为，，
所以可知，
所以的最大值为．
故答案为：．
建立坐标系，把已知问题坐标化，然后结合向量数量积的坐标表示及不等式的性质即可求解．
本题主要考查了向量的数量积的基本运算，坐标系的建立可以简化基本运算，属于中档题．
15.【答案】解：复数为实数，则，即或；
若复数为纯虚数，则，解得．
【解析】复数为实数，则，求解即可；
复数为纯虚数，则，求解即可．
本题考查了复数的概念，属基础题．
16.【答案】解：因为向量，，且，
则，，则，可得，
所以，，解得．
当时，，则，
因为与的夹角为锐角，则，解得，
且与不共线，则，可得，
综上所述，实数的取值范围是．
【解析】求出向量、的坐标，根据这两个向量均为非零向量可得出，再由，结合平面向量数量积的坐标运算可求得实数的值；
当时，求出向量的坐标，由题意可知，且与不共线，结合平面向量的坐标运算可求得实数的取值范围．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：Ⅰ因为，可得，
又
所以由正弦定理得，
因为，所以或；
Ⅱ若选条件：，则，故A，
在中，因为，所以，
所以，
因为，
所以
，
所以，
由正弦定理得，即，
因为，所以．
若选条件：，则，故，
在中，因为，所以，
所以，
因为，
所以
，
所以，
由正弦定理得．
【解析】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的余弦公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
Ⅰ由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，进而根据正弦定理可求，可求的值；
Ⅱ若选条件：，判断，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的余弦公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理结合已知即可求解的值；
若选条件：，判断，求出，利用同角三角函数基本关系式可求，利用两角和的余弦公式可求的值，利用同角三角函数基本关系式可求，由正弦定理结合已知即可求解的值．
18.【答案】解：因为，
所以由正弦定理得：，
即，
即，
所以，
因为，所以，
所以，即，
又因为，所以；
因为点是上的点，平分，且，
所以，
因为，
所以，
化简得：，所以，当且仅当时取等号，
解得：，当且仅当时取等号，
所以，
所以面积的最小值为．
【解析】利用正弦定理边化角结合两角和的正弦公式，化简已知等式，可得，结合同角的三角函数关系，即可求得答案；
利用面积相等，即，推出，利用基本不等式结合三角形面积公式，即可求得答案．
本题考查利用正、余弦定理，三角恒等变换知识，三角形的面积公式解三角形，属于中档题．
19.【答案】解：由已知中，即，
故，由正弦定理可得，
故直角三角形，
即；
由可得，所以三角形的三个角都小于，
则由费马点定义可知：，
设，
由，得，
整理得，
则；
点为的费马点，则，
设，，，，，，
则由，得；
由余弦定理得，
，
，
故由，得，
即，而，，故，
当且仅当，结合，解得时，等号成立，
又，即有，解得或舍去．
故实数的最小值为．
【解析】根据二倍角公式结合正弦定理角化边化简可得，即可求得答案；
利用等面积法列方程，结合向量数量积运算求得正确答案；
由结论可得，设，，，推出，利用余弦定理以及勾股定理即可推出，再结合基本不等式，即可求得答案．
本题考查正弦定理及余弦定理的应用，利用基本不等式的应用，属于中档题．
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