2023-2024学年上海市普陀区晋元高级中学高一（下）段考数学试卷（3月份）(含解析）

2023-2024学年上海市普陀区晋元高级中学高一（下）段考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题正确的是( )
A. 与共线，与共线，则与也共线
B. 任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C. 向量与不共线，则与都是非零向量
D. 有相同起点的两个非零向量不平行
2.为了得到的图像，只需将函数的图像( )
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
3.设是某地区平均气温摄氏度关于时间月份的函数下图显示的是该地区月份至月份的平均气温数据，函数近似满足下列函数中，最能近似表示图中曲线的函数是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，，是半径为的圆周上的定点，为圆周上的动点，是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.函数的最小正周期 ．
6.若扇形的圆心角为，半径为，则扇形的面积为______．
7.在平面直角坐标系中，若角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与以点为圆心的圆交于点，则 ______．
8.函数在上的值域为______．
9.满足条件，的角的集合为______．
10.化简 ______．
11.在内，使成立的的取值范围为______
12.在中，，，面积为，则 ______．
13.定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，则的值为______．
14.函数的部分图象如图所示，则 ．
15.设函数的图像与直线相交的连续的三个公共点从左到右依次记为，，，若，则正实数的值为______．
16.设函数，，若恰有个零点，则下述结论中：
若恒成立，则的值有且仅有个；
在上单调递增；
存在和，使得对任意恒成立；
“”是“方程在内恰有五个解”的必要条件；
所有正确结论的编号是______．
三、解答题：本题共5小题，共76分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知、是方程的两根，且求：
；
．
18.本小题分
在中，设角、及所对边的边长分别为、及已知．
求角的大小；
当，时，求边长．
19.本小题分
如图，有一条宽为的笔直的河道假设河道足够长，规划在河道内围出一块直角三角形区域图中养殖观赏鱼，，顶点到河两岸的距离，，，两点分别在两岸，上，设．
若，求养殖区域面积的最大值；
现拟沿着养殖区域三边搭建观赏长廊宽度忽略不计，若，求观赏长廊总长的最小值．
20.本小题分
已知函数．
求函数的最小正周期．
当时，求函数的单调减区间；
当时，记，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知，设，并记．
若，，求集合；
若，试求的值，使得集合恰有两个元素；
若集合恰有三个元素，且对于任意的都成立，其中为不大于的正整数，求的所有可能值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了平面向量的定义与零向量的应用，是基础题．
由平面向量的定义及零向量的应用可依次对选项进行判断．
【解答】
解：对于，当时，由与共线，与共线推不出与也共线，故A错误，
对于，任意两个相等的非零向量的始点与终点也可以在一条直线上，故B错误，
对于，向量与不共线，则 与都是非零向量，故C正确，
对于，有相同起点的两个非零向量也可以平行，也称为共线，故D错误．
故选C．
2.【答案】
【解析】解：，
为了得到的图像，
只需将函数的图像向左平移个单位，
故选：．
根据三角函数图像左加右减的平移变换判断即可．
本题考查了三角函数图像的平移变换问题，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据足的部分图象，可得，
，，．
再结合图象的最低点，可得，，
求得，，故可取，不可能取得，，
故选：．
由题意，数形结合，由函数的图象的顶点坐标求出和，由周期求出，由最低点的坐标求出的值，可得函数的解析式．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出和，由周期求出，由最低点的坐标求出的值，可得函数的解析式，属于中档题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换，考查化简运算能力，属于中档题．
由题意可得，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线时，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
【解答】
解：设圆心为，由题意可得，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线时，
即有，到线段的距离为，
，
扇形的面积为，
的面积为
，
，
即有阴影区域的面积的最大值为．
故选B．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正切函数的周期性和求法，属于基础题．
根据函数的周期为，求出函数的最小正周期．
【解答】
解：函数的最小正周期为．
故答案为：．
6.【答案】
【解析】解：扇形的圆心角为，半径为，
扇形的面积为．
故答案为：．
由已知利用扇形的面积公式即可计算得解．
本题主要考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：依题意，，
所以．
故答案为：．
利用诱导公式，结合三角函数定义求值作答．
本题主要考查了三角函数定义，诱导公式的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，则，于是，
所以所求值域为．
故答案为：．
根据给定区间，求出函数相位的范围，再利用正弦函数性质求解作答．
本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：因为，所以或，
解得或，
因为，所以或，即；
故答案为：．
根据特殊角的三角函数值与正弦函数的性质计算可得．
本题主要考查终边相同的角，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：．
故答案为．
直接利用三角函数的诱导公式化简求值．
本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式的应用，是基础题．
11.【答案】或
【解析】解：不等式，即，即，
令，
解得，
又，
所以或，
故使成立的的取值范围为或．
故答案为：或．
先将不等式利用辅助角公式进行化简，然后利用正弦函数的性质，列出不等式求解即可．
本题考查了三角不等式的求解，辅助角公式的应用，正弦函数性质的应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：，，面积为，
，解得：，
，
．
故答案为：．
由已知利用三角形面积公式可求，利用余弦定理可求，利用比例的性质即可计算得解．
本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，比例的性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：定义在上的函数既是偶函数又是周期函数，若的最小正周期是，且当时，，
所以．
故答案为：．
由题意利用函数的周期性偶函数，转化为，即可求出它的值．
本题是基础题，考查函数的周期性，偶函数，函数值的求法，利用性质化简是解题关键，仔细体会．
14.【答案】
【解析】解：由题图知，，则，解得，
设的最小正周期为，
易知，所以，
因为，所以，解得，
当且仅当时，符合题意，此时．
故答案为：．
由图象可知，即可推出进而根据图象可推得，即可得出，进而可得出答案．
本题主要考查了三角函数的周期性，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：作出函数的大致图象，如图，
令，
解得，
函数的图象与直线连续的三个公共点，，可以同时往左或往右移动正整数倍周期长度，
，关于直线对称，，
由于，故，
而，关于直线对称，故A点横坐标为，
将点横坐标代入，得．
故答案为：．
作出正弦型三角函数的图象，利用其对称性和周期性求出点横坐标，再代入计算即可．
本题考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：设函数，，恰有个零点，
令，，
由有个解，得到，解得，
在中，恒成立，，
由右面的函数的图象得的值有且仅有个，故正确；
在中，当时，，
若取接近的值，此时接近，有增有减，故错误；
在中，存在和，使得对任意恒成立，
取最小值的同时，取最大值，
若存在和，则，，解得，故正确；
在中，方程，
要想有个解，则必定有，解得，故正确．
故答案为：．
三角函数的性质分析一般用数形结合，图象的简化十分重要，通常都是把中的整体当作来作图分析，借助图象的直观性分析问题．
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
17.【答案】解：因为、是方程的两根，
所以，
所以；
因为，
所以，，
故，所以，
所以．
【解析】利用韦达定理可得，再利用两角和的正切公式即可得解；
先判断、的符号，从而可求得，的范围，即可得出的范围，从而可得出答案．
本题主要考查两角和的正切公式，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由正弦定理得，
由于，
则，
展开得，即，
因为，
化简得，
则，
又，
所以；
由正弦定理，得，即有，
因为，
所以是锐角，即，
所以，
由正弦定理可得，
所以．
【解析】借助正弦定理将边化为角，结合及两角和的正弦公式计算化简即可得；
根据正弦定理即可计算出，结合可求出，再使用正弦定理即可得到．
本题考查正弦定理、和角公式在解三角形的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：时，，
所以，
又因为当且仅当时等号成立，
所以，
于是，
因此，养殖区域面积的最大值为．
由题意，，
所以，
所以的周长，
其中．
设，则
所以．
所以，
于是当时，，
因此，观赏长廊总长的最小值为．
【解析】本题考查三角函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
时，，利用基本不等式可得，可求养殖区域面积的最大值．
，，令，可得，，可求的最小值．
20.【答案】解：函数，
则函数的最小正周期为；
由，，可得，，
由，可得，
由，可得，
又，可得函数的单调减区间为，；
当时，，
可得，的值域为．
不等式恒成立，即为恒成立．
由，可得，
即的取值范围是．
【解析】由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简函数，再由周期公式可得所求；
由正弦函数的减区间，解不等式可得所求函数的减区间；
由正弦函数的单调性可得的值域，再由参数分离和不等式恒成立思想，可得所求取值范围．
本题考查三角函数的化简和性质，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
21.【答案】解：当时，，
函数是以为周期的周期函数，
故，
由于，
得；
若，则，
由题意知，又，得，知，
由于恰有两个元素，故或，
即或，
若，由于，解得，此时，满足题目要求，
若，即，
所以或，
由于，解得，
此时，满足题目要求，
综上可知，或；
由于中恰有个元素，显见，
首先说明、、、都是可能的，
当时，取，，由知，满足要求，
当时，取，，经计算知，满足要求，
当时，取，，经计算知，满足要求，
当时，取，，经计算知，满足要求，
下面证明不成立，
假设存在、，使得，且恰有个元素，注意，
故，，，，这个数恰好取个不同的值，知其中至少有个数相等，
不妨设，其中，
即，
知、、中必有两个角的终边重合，
不妨设，则，
进而有，
结合知，
与恰有个元素矛盾，
综上可知，的所有可能值为、、、．
【解析】当时，找出周期计算即可；
若，则，然后根据已知所给条件进行分析讨论即可；
根据定义以及结合所给条件进行计算，然后讨论分析即可．
本题考查了周期函数和集合的新定义，属于中档题．
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