2022-2023学年河南省驻马店市遂平县九年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年河南省驻马店市遂平县九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.负数的概念最早出现在九章算术中，把向东走记做“”，向西走应记做( )
A. B. C. D.
2.年北京冬奥会国家速滑馆“冰丝带”屋顶上安装的光伏电站，据测算，每年可输出约万度的清洁电力将万度用科学记数法可以表示为( )
A. 度 B. 度 C. 度 D. 度
3.如图是由个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
4.如图，已知，含角的直角三角板的顶点在直线上，若，则等于( )
A.
B.
C.
D.
5.下列运算正确的是( )
A. B.
C. D.
6.下列说法正确的是( )
A. 为了解春节期间河南省的空气质量，采用全面调查
B. 射击运动员射击一次，命中靶心为必然事件
C. 数据，，，，的方差为
D. 数据，，，，，的众数为
7.若，则关于的一元二次方程根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 没有实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 只有一个实数根
8.如图，点，为反比例函数的图象上的两点，且满足，若点的坐标为，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共1小题，共3分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.很多家庭都用燃气热水器，为了防止一氧化碳泄漏带来的危害，一般会安装燃气报警器其中一种燃气报警器核心部件是气敏传感器图中的，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的变化而变化如图，空气中一氧化碳体积浓度与一氧化碳质量浓度的关系见图下列说法不正确的是( )
A. 空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小
B. 当时，的阻值为
C. 当空气中一氧化碳体积浓度是时，燃气报警器为报警状态
D. 当时，燃气报警器为报警状态
三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
10.若有意义，则实数的取值范围是______．
11.不等式的解集为______．
12.如图，管中放置着三根同样的绳子、、，小明在左侧选两个打一个结，小红在右侧选两个打一个结，则这三根绳子能连成一根长绳的概率为__________．
13.如图，在菱形中，，，扇形的半径为，圆心角为，则阴影部分的面积是______．
14.如图，在中，，，，，则的长的最大值为 ．
四、计算题：本大题共1小题，共10分。
15.计算：．
化简：．
五、解答题：本题共7小题，共65分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
神舟十四号载人飞船的成功发射，再次引发校园科技热．光明中学准备举办“我的航天梦”科技活动周，在全校范围内邀请有兴趣的学生参加以下四项活动，：航模制作；：航天资料收集；：航天知识竞赛；：参观科学馆．为了了解学生对这四项活动的参与意愿，学校随机调查了该校有兴趣的名学生每名学生必选一项且只能选择一项，并将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
______，______；并补全条形统计图；
根据抽样调查的结果，请估算全校名学生中，大约有多少人选择参观科学馆；
在选择项活动的人中，有甲、乙、丙、丁四名女生，现计划把这名学生平均分成两组进行培训，每组各有两名女生，则甲、乙被分在同一组的概率是多少？
17.本小题分
某数学小组要测量学校路灯的顶部到地面的距离，他们借助皮尺、测角仪进行测量，测量结果如下：
测量项目 测量数据
从处测得路灯顶部的仰角
从处测得路灯顶部的仰角
测角仪到地面的距离
两次测量时测角仪之间的水平距离
计算路灯顶部到地面的距离约为多少米？结果精确到米．参考数据：，，，
18.本小题分
如图，矩形中，．
请用无刻度的直尺和圆规按下列要求作图：不写作法，保留作图痕迹
在边上取一点，使；
在上作一点，使点到点和点的距离相等．
在中，若，，则的面积______如需画草图，请使用备用图
19.本小题分
某商场新进一批拼装玩具，进价为每个元，在销售过程中发现，日销售量个与销售单价元之间满足如图所示的一次函数关系．
求与的函数关系式不要求写出自变量的取值范围；
若该玩具某天的销售利润是元，则当天玩具的销售单价是多少元？
设该玩具日销售利润为元，当玩具的销售单价定为多少元时，日销售利润最大？最大利润是多少元？
20.本小题分
几何原本是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线上是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，即如图，是的切线，直线为的割线，则下面是切割线定理的证明过程不完整：
证明：如图，连接，连接并延长交于点，连接、．
是的切线，是的半径，
．
是的直径，
______，
，
______，
，
______，
，
∽，
______，
．
任务：
请在横线上补充证明过程，在括号内补充推理的依据；
如图，已知是的直径，是的切线，为切点，割线与于点，且满足：：：：，，求的长．
21.本小题分
如图所示，一小球从地面上的点处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，以过的水平线为轴，以过且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，是一个坡度为的斜坡，若小球到达最高点的坐标为，坡度：坡角的正切
求抛物线的函数解析式；
小球在斜坡上的落点的垂直高度为______米；
若要在斜坡上的点处竖直立一个高米的广告牌，点的横坐标为，请判断小球能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由．
22.本小题分
等腰直角中，，点为延长线上一点，连接，以为斜边构造直角点与点在直线的异侧．
如图，若，，，求的长；
如图，若，连接，猜想线段与线段之间的数量关系并证明；
如图，若，，连接，取的中点，连接，当线段最短时，直接写出此时的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：向东走记做“”，
向西走应记做：．
故选：．
利用正数、负数的意义解答即可．
本题考查了正数、负数，解题的关键是掌握正数、负数的意义．
2.【答案】
【解析】解：万．
故选：．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于时，是正数；当原数的绝对值小于时，是负数．
本题考查了用科学记数法表示一个数的方法：
确定：是只有一位整数的数；
确定：当原数的绝对值时，为正整数，等于原数的整数位数减；当原数的绝对值时，为负整数，的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数含整数位数上的零．
3.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置．找到从几何体的左边看所得到的图形即可．
【解答】
解：左视图有列，每列小正方形数目分别为，．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：如图，
由题意得，
，
，
，
，
．
故选：．
由题意可求得，再由平行线的性质可求得，再利用四边形的内角和为即可求得的度数．
本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补．
5.【答案】
【解析】解：、，故正确，符合题意；
B、，故错误，不合题意；
C、，故错误，不合题意；
D、，故错误，不合题意；
故选：．
根据合并同类项，幂的乘方，同底数幂的除法以及完全平方公式法则逐一判断即可．
此题考查的是合并同类项，幂的运算法则，掌握同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，完全平方公式是解决此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：、为了解春节期间河南省的空气质量，采用抽样调查，故不合题意；
B、射击运动员射击一次，命中靶心为随机事件，故不合题意；
C、数据，，，，的方差为，故符合题意；
D、数据，，，，，的众数为和，故不合题意．
故选：．
A、根据全面调查与抽样调查的概念解答即可；、根据必然事件的意义解答即可；、根据方差的概念解答即可；、根据众数的定义解答即可．
此题考查的是随机事件，全面调查与抽样调查，众数与方差的概念，掌握其定义是解决此题的关键．
7.【答案】
【解析】解：，
而，
，即，
方程有两个不相等的实数根．
故选：．
先计算根的判别式的值得到，再利用可判断即，然后根据根的判别式的意义进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
8.【答案】
【解析】解：将绕点顺时针旋转到，连接、，作轴于，轴于，
点的坐标为，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
点为反比例函数图象上的点，
，
，
设点的坐标为，
，
，
解得负数舍去，
，
故选：．
将绕点顺时针旋转到，连接、，作轴于，轴于，通过证得≌，得到，证得≌，求得，设点的坐标为，根据，得到关于的方程，解方程求得的值，即可求得的坐标．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形全等的判定和性质，作出辅助线根据全等三角形是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：、由图可知，的阻值随空气中一氧化碳质量浓度的增大而减小，
空气中一氧化碳质量浓度越大，的阻值越小，故A正确，不符合题意；
B、由图可知，当时，的阻值小于，故B错误，符合题意；
C、由图可知，时，燃气报警器为报警状态，
当空气中一氧化碳体积浓度大于时，燃气报警器为报警状态，故C正确，不符合题意；
D、由图可知，时，，而大于时，燃气报警器报警，故D错误，符合题意；
不正确的是，
故答案为：．
观察函数图象，结合已知逐项判断即可．
本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，能数形结合，从函数图象中获取有用的信息．
10.【答案】
【解析】解：有意义，
，
．
故答案为：．
根据分式有意义的条件求解即可．
本题考查分式有意义的条件．掌握分式的分母不能为是解题关键．
11.【答案】
【解析】解：，
解不等式，得：，
解不等式，得：，
原不等式组的解集为：．
故答案为：．
分别解出每一个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”的原则，即可得出原不等式组的解集．
本题考查解一元一次不等式组．掌握求不等式组解集的口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”是解题关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了树状图法：利用树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，求出概率．
小明在左侧选两个打一个结有三种可能：、、，小红在右侧选两个打一个结有三种可能：、、，然后画树状图展示所有种等可能的结果数，可找出这三根绳子能连结成一根长绳的结果数，再利用概率公式求解．
【解答】
解：小明在左侧选两个打一个结有三种可能：、、，小红在右侧选两个打一个结有三种可能：、、，
画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中这三根绳子能连结成一根长绳的结果数为种，
所以这三根绳子能连结成一根长绳的概率．
故答案为．
13.【答案】．
【解析】解：如图，连接，
四边形是菱形，，
，，
，
是等边三角形，
，，
扇形的圆心角为，
，
，
设、相交于，设、相交于点，
在和中，
，
≌，
四边形的面积等于的面积，
在等边三角形中，，
边上的高，
，
图中阴影部分的面积是：．
故答案为：．
根据菱形的性质得出是等边三角形，进而利用全等三角形的判定得出≌，得出四边形的面积等于的面积，进而求出即可．
此题主要考查了扇形的面积计算以及全等三角形的判定与性质等知识，根据已知得出四边形的面积等于的面积是解题关键．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理、等边三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质以及最值问题等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
过点作，交延长线于，由含角的直角三角形的性质得，设，，则，，再由勾股定理得，当时，最大，此时，为等边三角形，则，，即可解决问题．
【解答】
解：过点作，交延长线于，如图所示：
，，
，
，
设，，
则，，
，
在中，由勾股定理得：，
，
，
当时，取等号，
，
当时，最大，
，
最大时，为等边三角形，
此时，，
，
，
，
故答案为：．
15.【答案】解：
；
．
【解析】本题考查分式的混合运算、实数的运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
先算负整数指数幂、特殊角的三角函数值、去绝对值，然后计算加减法即可；
先算括号内的式子，然后算括号外的除法即可．
16.【答案】
【解析】解：；
航天知识竞赛的人数有：人，
航天资料收集的人数有：人，
，即，
补全统计图如下：
故答案为：，；
根据题意得：
人，
答：大约有人选择参观科学馆；
由题意列表得：
甲 乙 丙 丁
甲 甲乙 甲丙 甲丁
乙 乙甲 乙丙 乙丁
丙 丙甲 丙乙 丙丁
丁 丁甲 丁乙 丁丙
共有种等可能的结果数，其中甲、乙被分在同一组的有种，
则甲、乙被分在同一组的概率是．
用航模制作的人数和所占的百分比，求出的值，再分别求出、的人数及所占的百分比，然后补全统计图即可；
用总人数乘以选择参观科学馆的人数所占的百分比即可；
列表得出所有等可能的情况数，找出甲、乙被分在同一组的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
17.【答案】解：如图：延长，交于点，
则，，，
设，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
经检验：是原方程的根，
，
，
路灯顶部到地面的距离约为米．
【解析】延长，交于点，则，设，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义列出关于的方程，进行计算即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
18.【答案】
【解析】解：如图，点，点即为所求；
连接．
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
设，则有，
，
在和中，
，
≌，
，
．
以为圆心，为半径作弧交于点，连接，作线段的垂直平分线交于点，点，点即为所求；
利用勾股定理求出，设，在中，利用勾股定理求出即可．
本题考查作图复杂作图，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19.【答案】解：设一次函数的关系式为，
由题图可知，函数图象过点和点．
把这两点的坐标代入一次函数，
得，
解得，
一次函数的关系式为；
根据题意，设当天玩具的销售单价是元，
由题意得，
，
解得：，，
当天玩具的销售单价是元或元；
根据题意，则，
整理得：；
，
当时，有最大值，最大值为；
当玩具的销售单价定为元时，日销售利润最大；最大利润是元．
【解析】直接用待定系数法，求出一次函数的关系式；
根据题意，设当天玩具的销售单价是元，然后列出一元二次方程，解方程即可求出答案；
根据题意，列出与的关系式，然后利用二次函数的性质，即可求出答案．
本题考查了二次函数的应用，二次函数的最值，一次函数的应用，一元二次方程的应用，解题的关键是理解掌握题意，正确的找出题目中的等量关系，列出方程或函数关系式，从而进行解题．
20.【答案】直径所对的圆周角相等 相似三角形的对应边成比例
【解析】证明：如图，连接，连接并延长交于点，连接、．
是的切线，是的半径，
．
是的直径，
直径所对的圆周角相等，
，
．
，
．
，
∽，
相似三角形的对应边成比例，
．

故答案为：直径所对的圆周角相等；；；相似三角形的对应边成比例；
解：图中，连接，，
：：：：，
设，，，则，
是的切线，是割线，
由割线定理得，则，
解得负值舍去，
，，，则，
是的直径，是的切线，
，
；
，，
∽，则，
，
．
根据圆周角定理、等角的余角相等、等量代换、相似三角形的性质等补充证明过程；
先根据已知和割线定理求得，，，则，再根据切线性质和勾股定理求得；利用圆周角定理和相似三角形的判定证明∽，则，进而求得即可求解．
本题主要考查了切线性质、圆周角定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，理解切割线定理，掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．
21.【答案】
【解析】解：小球到达的最高的点坐标为，
设抛物线的表达式为，
把代入得，，
解得：，
抛物线的表达式为；
联立方程组，
解得或，
，
小球在斜坡上的落点的垂直高度为米，
故答案为：；
当时，，，
，
小球不能飞过这个广告牌．
设抛物线的表达式为，把代入即可得到答案；
联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出点坐标即可；
把分别代入和，即可得到答案．
本题考查了二次函数的应用，其中涉及到两函数图象交点的求解方法，待定系数法求二次函数的解析式，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．
22.【答案】解：，，，
，，
，
，
或舍去，
；
，理由如下：
如图，取的中点，连接，
，，，
，，，
，
是的中点，
，
，
，
∽，
，
；
如图，过点作于，
，，
，
，
，
，
设，，且，
，
，
解得：，
，，
，，
∽，
，即，
，，
，，
，，
延长至，使，连接，以为直径作，连接，，
与交于点，
点是线段的中点，点是的中点，
，
当线段最短时，最短，
点在上，
最短时，点为与的交点，即与重合，
，，
，，，
，
，
，
的最小值为，
过点作于点，则，
，即，
，
；
当线段最短时，．
【解析】由锐角三角函数可求，的长，由勾股定理可求的长；
取的中点，连接，通过证明∽，可得，即可求解；
过点作于，根据，设，，且，运用勾股定理求出，再由∽，得出，，，延长至，使，连接，以为直径作，连接，，与交于点，根据三角形中位线定理可得，当线段最短时，最短，即与重合，运用勾股定理可求出，过点作于点，即可求得答案．
本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形性质、点到直线的距离、勾股定理、线段垂直平分线的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，掌握解直角三角形和相似三角形的判定和性质是解题的关键．
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