2022-2023学年福建省宁德市古田县校际联盟九年级（下）期中数学试卷(含解析）

2022-2023学年福建省宁德市古田县校际联盟九年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.实数的绝对值是( )
A. B. C. D.
2.如图所示几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
4.如图图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，，若，，则等于( )
A.
B.
C.
D.
6.一个多边形每个内角都是，这个多边形是( )
A. 九边形 B. 十边形 C. 十二边形 D. 十八形
7.随着网络技术的发展，市场对产品的需求越来越大，为满足市场需求，某大型产品生产厂家更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产万件产品，现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同．设更新技术前每天生产万件产品，依题意得( )
A. B. C. D.
8.已知点、、在下列某一函数图象上，且，那么这个函数是( )
A. B. C. D.
9.如图，坡角为的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树，当太阳光线与水平线成角沿斜坡照下时，在斜坡上的树影长为，则大树的高为( )
A. B. C. D.
10.已知点，在抛物线是常数上，若，，则下列比较大小正确的是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.分解因式：______．
12.如图，直线，被直线所截，，，则______度．
13.已知一组数据：、、、、、的众数为，则这组数据的中位数是______．
14.已知半径长为的扇形的圆心角为，则此扇形的面积为______．
15.如图，矩形的边与轴平行，顶点的坐标为，，反比例函数的图象同时经过点与点，则的值为______．
三、解答题：本题共9小题，共86分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
计算：．
17.本小题分
如图，在矩形中，点在边上，点在的延长线上，且，求证：．
18.本小题分
先化简，再求值：其中．
19.本小题分
如图，已知，平分，请用直尺不带刻度和圆规，按下列要求作图不要求写作法，但要保留作图痕迹．
作菱形，使点，分别在边，上；
若，，，求中所作菱形的周长．
20.本小题分
某校学生会准备在校艺术活动月中组织“唱歌”“舞蹈”“演讲”“书法”四项活动策划阶段，学生会随机调研了若干名学生的参与意向，被调研学生每人都选出了自己“最想参加的一项活动”，学生会统计并绘制了如图统计图均不完整．
请根据统计图，回答下列问题：
这次抽样调查的总人数为 人
在扇形统计图中，“书法”所在扇形的圆心角度数为 ．
若该校共有名学生，则最想参加“唱歌”的约有 人
活动结束后，学生会从参加“演讲”的学生中初选出名同学两男两女，并准备从中随机选取名同学主持“艺术活动月汇报展演”活动，请用列表或画树状图的方法求主持人恰为一男一女的概率．
21.本小题分
跳绳项目在中考体考中易得分，是大多数学生首选的项目，在中考体考来临前，某文具店看准商机购进甲、乙两种跳绳已知甲、乙两种跳绳进价单价之和为元；甲种跳绳每根获利元，乙种跳绳每根获利元；店主第一批购买甲种跳绳根、乙种跳绳根一共花费元．
甲、乙两种跳绳的单价分别是多少元？
若该文具店预备第二批购进甲、乙两种跳绳共根，在费用不超过元的情况下，如何进货才能保证利润最大？
22.本小题分
如图，是的直径，为上一点，为外一点，连接，，，，满足，．
证明：直线为的切线；
射线与射线交于点，若，求的长．
23.本小题分
如图，等腰直角中，，，点在直线上运动，连结，将线段绕点逆时针方向旋转得线段，连结，．
求证：≌；
如图，当点在线段上时，若，求的面积；
如图，当点在线段的延长线上时，设与的交点为，若的面积为，分别求线段和的长．
24.本小题分
如图，抛物线交轴于点和点，交轴于点．
求抛物线的表达式；
是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标；
为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的横坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为负数的绝对值等于它的相反数；
所以，的绝对值等于．
故选：．
利用绝对值的意义求解．
本题考查绝对值的含义，即：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数．
2.【答案】
【解析】解：从左边看，可得选项B的图形．
故选：．
根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．
3.【答案】
【解析】【分析】
分别根据同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，合并同类项法则以及积的乘方运算法则逐一判断即可．
本题主要考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
【解答】
解：，故本选项不合题意；
B.，故本选项不合题意；
C.，故本选项不合题意；
D.，正确．
故选：．
4.【答案】
【解析】解：选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
选项中的图形既是中心对称图形又是轴对称图形，符合题意；
选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
选项选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意；
故选：．
根据中心对称和轴对称的概念得出结论即可．
本题主要考查中心对称和轴对称的知识，熟练掌握中心对称和轴对称的知识是解题的关键．
5.【答案】
【解析】解：，
．
故选：．
直接利用平行线分线段成比例定理求解．
本题考查了平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
6.【答案】
【解析】解：多边形的每个内角都等于，
多边形的每个外角都等于，
边数，
故选：．
先求出多边形的外角度数，然后即可求出边数．
本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，根据工作时间工作总量工作效率结合现在生产万件产品所需时间与更新技术前生产万件产品所需时间相同，即可得出关于的分式方程，此题得解．
【解答】
解：设更新技术前每天生产万件产品，则更新技术后每天生产万件产品，
依题意，得：．
故选：．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查一次函数的性质，反比例函数的性质及二次函数的性质，掌握相关函数的性质是解题关键，也可直接代入各个选项的函数解析中，再判断的大小，根据所学知识可判断每个选项中对应的函数的增减性，进而判断，，之间的关系，再判断即可．
【解答】
解：，因为，所以随的增大而增大，所以，不符合题意；
B.，当和时，相等，即，故不符合题意；
C.，当时，随的增大而减小，时，随的增大而减小，所以，不符合题意；
D.，当时，随的增大而增大，时，随的增大而增大，所以，符合题意，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
过点作水平地面的平行线，交的延长线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，根据等腰直角三角形的性质求出，计算即可．
本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
【解答】
解：过点作水平地面的平行线，交的延长线于，
则，
在中，，，
则，，
在中，，
则，
，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由抛物线是常数可知抛物线开口向下，对称轴为，由最大值，
点，在抛物线上，若，，
，
点离对称轴较近，
，
故，
故选：．
由解析式可知抛物线开口向下，对称轴为函数的最大值是，然后根据，，得出，即可判断点离对称轴较近，根据与对称轴的远近即可判断．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数的图象为抛物线，则抛物线上的点的坐标满足其解析式；当，抛物线开口向下；对称轴为直线，在对称轴左侧，随的增大而增大，在对称轴右侧，随的增大而减小．
11.【答案】
【解析】解：
．
故答案为：．
通过观察发现式子可以写成平方差的形式，故用平方差公式分解因式．
此题主要考查了平方差公式分解因式，掌握平方差公式是解题的关键．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了平行线的性质的应用，能根据平行线的性质求出的度数是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．
根据平行线的性质求出，根据对顶角相等得出即可．
【解答】
解：，
，
，
，
，
故答案为．
13.【答案】
【解析】解：、、、、的众数为，
，
则这组数据按照从小到大排列为：、、、、、．
中位数为，
故答案为：．
根据众数为求出的值，再把数据从小到大排列后，求出中间两个数的平均数即可得到中位数．
此题考查了中位数和众数，熟练掌握众数和中位数的定义是解题的关键．
14.【答案】
【解析】解：半径长为的扇形的圆心角为，
此扇形的面积．
故答案为：．
直接根据扇形的面积公式进行计算即可．
本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．
15.【答案】
【解析】【分析】
根据，的坐标，设、两点的坐标分别为、，再根据点与点在反比例函数的图象上求出的值，进而可得出的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中为定值是解答此题的关键．
【解答】
解：四边形是矩形，顶点的坐标为，，
设、两点的坐标分别为、，
点与点在反比例函数的图象上，
，
，
．
故答案是：．
16.【答案】解：
．
【解析】先根据特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可．
本题考查了实数的混合运算，掌握特殊角的三角函数值，负整数指数幂的运算法则，绝对值的性质是解题的关键．
17.【答案】证明：四边形是矩形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由“”可证≌，可得．
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握矩形的性质是解题的关键．
18.【答案】解：原式
；
当，
原式
．
【解析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后将字母的值代入求解．
本题考查了分式的化简求值，分母有理化，掌握分式的混合运算是解题的关键．
19.【答案】解：如图，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、得四边形即为所求菱形；理由如下：
由作图可知，垂直平分线段，
，，
平分，
，
，
，
，
四边形为菱形；
四边形是菱形，
，，
，，，
，
设，则，
由勾股定理得：，
，
解得：，即，
菱形的周长．
【解析】作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接、得四边形即为所求菱形，通过证明四条边相等即可证明；
由四边形是菱形、，可得为直角三角形，通过勾股定理求得的长度即可．
本题考查了尺规作图，菱形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，掌握菱形的判定方法，利用勾股定理求出菱形的边长是解决本题的关键．
20.【答案】
【解析】解：人，
这次抽样调查的总人数为人，
故答案为：；
，
“书法”所在扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
人，
最想参加“唱歌”的约有人；
列表如下：
男 男 女 女
男 男，男 女，男 女，男
男 男，男 女，男 女，男
女 男，女 男，女 女，女
女 男，女 男，女 女，女
由列表可得共有种等可能结果，其中恰好选取一男一女的结果有种，
选取的两人恰为一男一女的概率．
利用演讲的人数和所占的百分比求解即可；
用乘以参加“书法”的人数所占的百分比，即可求解；
用乘以参加“唱歌”的人数所占的百分比，即可求解；
根据题意，列出表格，再根据概率公式计算，即可求解．
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，利用树状图或列表法求概率，根据题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．
21.【答案】解：设甲、乙两种跳绳的单价分别是元和元，根据题意得，
，
解得：，
答：甲、乙两种跳绳的单价分别是元和元；
解：设第二批购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，由题意得，
，
，
随的增大而减小，
费用不超过元，
，
解得：，
根，
当购进甲种跳绳根，购进乙种跳绳根，利润最大．
【解析】设甲、乙两种跳绳的单价各是元和元，根据题意列出方程即可解决问题；
设第二批购进甲种跳绳根，乙种跳绳根，列出函数关系式和不等式即可解决问题．
本题考查一次函数的性质、二元一次方程组、一元一次不等式等知识，解题的关键是学会设未知数列出方程或不等式或函数解决问题，属于中考常考题型．
22.【答案】解：证明：连接，如图所示：
是的直径，，
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，即，
直线为的切线；
如图所示：
由可知，
，
，
，，
，
，
∽，
，即，
，
，
，
，
设，
在中，由勾股定理得：，
解得：负根舍去，
．
【解析】连接，由题意易得，，然后可得，则有，进而问题可求证；
由可知，则有，然后可得，则可知∽，进而可得，最后根据勾股定理建立方程可进行求解．
本题主要考查切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握切线的判定、相似三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．
23.【答案】证明：是等腰直角三角形，，
，，
，，
，
，
在和中，，
≌；
解：≌，
，，
，
，
，，
，，
，
是等腰直角三角形，
，
的面积；
如图，过点作于点．
在和中，
，
≌，
，，
，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，，
∽
，
，
，
，
．
【解析】求证，进而得证≌；
由≌，得，，于是；运用勾股定理求解，，进而求解．
过点作于点可证≌，得，，可证，求证，勾股定理求解，，于是，求得，；求证∽，得，求解，于是，．
本题考查三角形综合，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质；添加辅助线构造相似三角形，从而寻求线段间的数量关系是解题的关键．
24.【答案】解：把点和代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
过点作轴，交于点，如图所示：
设，直线的解析式为，
由可得：，
，解得：，
直线的解析式为，
，
，
轴，
∽，
，
，
当时，的值最大，
；
由题意可得如图所示：
过点作轴的平行线，分别过点、作于，于，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
设点，
由题意可知：抛物线的对称轴为直线，，
，，
当时，解得：，
当时，解得：．
综上：点的横坐标为或或或．
【解析】把点和代入解析式求解即可；
过点作轴，交于点，由设，直线的解析式为，然后可求出直线的解析式，则有，进而可得，最后根据∽可进行求解；
由题意可作出图象，设，然后根据题意及型相似可进行求解．
本题是二次函数的综合题，主要考查待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，三角函数及相似三角形的性质与判定，熟练掌握二次函数的性质、三角函数及相似三角形的性质与判定是解题的关键．
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